17．2 一元二次方程的解法
1．配方法
知识点1 用开平方法解一元二次方程
1．一元二次方程(x＋2 024)2＝－1根的情况是( D )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2．(广西柳州期中)x1，x2是一元二次方程(x－1)2＝5的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( A )
A．x1小于－1，x2大于3
B．x1小于－2，x2大于3
C．x1，x2在－1和3之间
D．x1，x2都小于3
3．方程(2x＋3)2－81＝0的根为__x1＝3，x2＝－6__．
知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程4.若用配方法解方程x2－4x＝1，则方程两边都加上( A )
A．4 B．3 C．2 D．1
5．(广西玉林期中)用配方法解一元二次方程x2－6x－3＝0，下列变形正确的是( D )
A．(x－6)2＝39 B．(x－3)2＝3
C．(x－3)2＝6 D．(x－3)2＝12
6．填空：
①x2－2x＋__1__＝(x－__1__)2；②x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；③x2－5x＋____＝(x－____)2.
知识点3 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
7．用配方法解方程4x2－4x＝3时，方程的两边都应加上( B )
A．3 B．1 C．2 D．5
8．用配方法解方程2x2－x－6＝0，开始错误的步骤是( C )
A．2x2－x＝6 B．x2－x＝3
C．x2－x＋＝3＋ D．(x－)2＝3
9．用配方法解一元二次方程：3x2－6x＝48.第一步化二次项系数为1，得__x2－2x＝16__，方程两边同时加__1__，配方得__(x－1)2＝17__．
易错易混点 解一元二次方程丢解
10．(广西来宾模拟)阅读材料，并回答问题．
小明在学习一元二次方程时，解方程2x2－8x＋5＝0的过程如下：
解：∵2x2－8x＋5＝0，∴2x2－8x＝－5，①
∴x2－4x＝－，②
∴x2－4x＋4＝－＋4，③
∴(x－2)2＝，④
∴x－2＝，⑤
∴x＝2＋.⑥
问题：(1)上述过程中，从第__⑤__步开始出现了错误(填序号)；
(2)发生错误的原因是：__开方后正负号丢失__；
(3)写出这个方程的解：__x＝2±__．
(1)上述过程中，从⑤步开始出现了错误(填序号)；
(2)发生错误的原因是：开方后正负号丢失；
(3)这个方程的解为x＝2±.
11．(山东东营中考)用配方法解一元二次方程x2－2x－2 023＝0，将它转化为(x＋a)2＝b的形式，则ab的值为( D )
A．－2 024 B．2 024
C．－1 D．1
由题知，x2－2x－2 023＝0，∴x2－2x＝2 023，∴x2－2x＋1＝2 023＋1，∴(x－1)2＝2 024，∴a＝－1，b＝2 024，∴ab＝(－1)2 024＝1.
12．下面是小明用配方法解方程：x2＋8x－9＝0的过程的一部分，横线上应填写( B )
第一步：把常数项移到方程的右边，得x2＋8x＝9；
第二步：两边都加__________．
A．22 B．42 C．82 D．92
13．下面是用配方法解关于x的一元二次方程3x2＋2x－1＝0的具体过程．
解：第一步：x2＋x－＝0，
第二步：x2＋x＝，
第三步：x2＋x＋()2＝＋()2，
第四步：(x＋)2＝，
∴x＋＝±，
∴x1＝，x2＝－1.
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是__④①③②__．
14．若方程ax2＋c＝0的解是x＝1，则方程a(x－1)2＋c＝0的解是__x1＝2，x2＝0__．
∵方程ax2＋c＝0的解是x＝1，∴x2＝－＝1，∴方程a(x－1)2＋c＝0中，(x－1)2＝－＝1，
∴x－1＝±1，∴x1＝2，x2＝0.
15．解方程：
(1)(3x－2)2＝16；
(2)x2＋4x－7＝0.
(1)∵(3x－2)2＝16，∴3x－2＝±4，
则3x－2＝4或3x－2＝－4，
所以x1＝2，x2＝－.
(2)x2＋4x－7＝0，x2＋4x＝7，
x2＋4x＋4＝7＋4，(x＋2)2＝11，
则x＋2＝±，
所以x1＝－2＋，x2＝－2－.
【母题P25练习T1】(1)x2－8x＋( 4 )2＝(x－ 4 )2；
(2)y2＋5y＋( )2＝(y＋ )2；
(3)x2－x＋( )2＝(x－ )2；
(4)x2＋px＋( )2＝(x＋ )2.
【变式1】用配方法解方程：x2－4x＋1＝0.
∵x2－4x＋1＝0，∴x2－4x＋4＝3，
∴(x－2)2＝3，∴x－2＝±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
【变式2】用配方法解方程：2x2－4x－1＝0.
∵2x2－4x－1＝0，∴2x2－4x＝1，
∴x2－2x＝，配方得x2－2x＋1＝＋1，
∴(x－1)2＝，开方得x－1＝±，
解得x1＝，x2＝.
16．(推理能力&运算能力)阅读下列材料：
有人研究了利用几何图形求解方程x2＋34x－71 000＝0的方法，该方法求解的过程如下：
第一步：构造
已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形(如图).
第二步：推理
根据图形中面积之间的关系，可得(x＋17)2＝x2＋2×17x＋172，
由原方程x2＋34x－71 000＝0，得x2＋34x＝71 000，所以(x＋17)2＝71 000＋172，
所以(x＋17)2＝71 289，
直接开方可得正根x＝250，
依照上述解法，要解方程x2＋bx＋c＝0(b＞0)，请写出第一步“构造”的具体内容：__已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形__；
与第二步中“(x＋17)2＝71 000＋172”相应的等式是__(x＋)2＝－c＋()2__．
解方程x2＋bx＋c＝0(b＞0)，
第一步“构造”：已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形；
第二步：推理，
根据图形面积之间的关系，可得(x＋)2＝x2＋2×x＋()2.
由原方程x2＋bx＋c＝0，得x2＋bx＝－c.
所以(x＋)2＝－c＋()2.
17．(运算能力)当x满足条件时，求出方程x2－2x－4＝0的根．
解不等式x＋1＜3x－3，得x＞2，
解不等式3(x－4)＜2(x－4)，得x＜4，
则不等式组的解集为2＜x＜4.
∵x2－2x＝4，
∴x2－2x＋1＝4＋1，即(x－1)2＝5，
则x－1＝±，∴x＝1＋或x＝1－.
∵2＜x＜4，∴x＝1＋.17．2 一元二次方程的解法
1．配方法
知识点1 用开平方法解一元二次方程
1．一元二次方程(x＋2 024)2＝－1根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2．(广西柳州期中)x1，x2是一元二次方程(x－1)2＝5的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( )
A．x1小于－1，x2大于3
B．x1小于－2，x2大于3
C．x1，x2在－1和3之间
D．x1，x2都小于3
3．方程(2x＋3)2－81＝0的根为__ __．
知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程4.若用配方法解方程x2－4x＝1，则方程两边都加上( )
A．4 B．3 C．2 D．1
5．(广西玉林期中)用配方法解一元二次方程x2－6x－3＝0，下列变形正确的是( )
A．(x－6)2＝39 B．(x－3)2＝3
C．(x－3)2＝6 D．(x－3)2＝12
6．填空：
①x2－2x＋__ __＝(x－__ __)2；②x2＋6x＋__ __＝(x＋__ __)2；③x2－5x＋__ __＝(x－__ __)2.
知识点3 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
7．用配方法解方程4x2－4x＝3时，方程的两边都应加上( )
A．3 B．1 C．2 D．5
8．用配方法解方程2x2－x－6＝0，开始错误的步骤是( )
A．2x2－x＝6 B．x2－x＝3
C．x2－x＋＝3＋ D．(x－)2＝3
9．用配方法解一元二次方程：3x2－6x＝48.第一步化二次项系数为1，得__ __，方程两边同时加__ __，配方得__ __．
易错易混点 解一元二次方程丢解
10．(广西来宾模拟)阅读材料，并回答问题．
小明在学习一元二次方程时，解方程2x2－8x＋5＝0的过程如下：
解：∵2x2－8x＋5＝0，∴2x2－8x＝－5，①
∴x2－4x＝－，②
∴x2－4x＋4＝－＋4，③
∴(x－2)2＝，④
∴x－2＝，⑤
∴x＝2＋.⑥
问题：(1)上述过程中，从第__ __步开始出现了错误(填序号)；
(2)发生错误的原因是：__ __；
(3)写出这个方程的解：__ __．
11．(山东东营中考)用配方法解一元二次方程x2－2x－2 023＝0，将它转化为(x＋a)2＝b的形式，则ab的值为( )
A．－2 024 B．2 024
C．－1 D．1
12．下面是小明用配方法解方程：x2＋8x－9＝0的过程的一部分，横线上应填写( )
第一步：把常数项移到方程的右边，得x2＋8x＝9；
第二步：两边都加__________．
A．22 B．42 C．82 D．92
13．下面是用配方法解关于x的一元二次方程3x2＋2x－1＝0的具体过程．
解：第一步：x2＋x－＝0，
第二步：x2＋x＝，
第三步：x2＋x＋()2＝＋()2，
第四步：(x＋)2＝，
∴x＋＝±，
∴x1＝，x2＝－1.
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是__ __．
14．若方程ax2＋c＝0的解是x＝1，则方程a(x－1)2＋c＝0的解是__ __．
15．解方程：
(1)(3x－2)2＝16；
(2)x2＋4x－7＝0.
【母题P25练习T1】(1)x2－8x＋( 4 )2＝(x－ 4 )2；
(2)y2＋5y＋( )2＝(y＋ )2；
(3)x2－x＋( )2＝(x－ )2；
(4)x2＋px＋( )2＝(x＋ )2.
【变式1】用配方法解方程：x2－4x＋1＝0.
16．(推理能力&运算能力)阅读下列材料：
有人研究了利用几何图形求解方程x2＋34x－71 000＝0的方法，该方法求解的过程如下：
第一步：构造
已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形(如图).
第二步：推理
根据图形中面积之间的关系，可得(x＋17)2＝x2＋2×17x＋172，
由原方程x2＋34x－71 000＝0，得x2＋34x＝71 000，所以(x＋17)2＝71 000＋172，
所以(x＋17)2＝71 289，
直接开方可得正根x＝250，
依照上述解法，要解方程x2＋bx＋c＝0(b＞0)，请写出第一步“构造”的具体内容：__ __；
与第二步中“(x＋17)2＝71 000＋172”相应的等式是__ __．
17．(运算能力)当x满足条件时，求出方程x2－2x－4＝0的根．
