17．2 一元二次方程的解法
3．因式分解法
知识点 用因式分解法解一元二次方程
1．一元二次方程x2＝x的根是( A )
A．x1＝0，x2＝1
B．x1＝0，x2＝－1
C．x1＝x2＝0
D．x1＝x2＝1
2．(广西钦州期中)方程(x－2)2＝2x(x－2)的解是( B )
A．x1＝2，x2＝1
B．x1＝2，x2＝－2
C．x1＝2，x2＝0
D．x1＝2，x2＝－1
3．(广西柳州期中)一元二次方程x(x－1)＝2(x－1)的解完全正确的是( B )
A．x＝2
B．x1＝2，x2＝1
C．x1＝－2，x2＝1
D．x1＝3，x2＝－1
4．下列方程的解正确的是( C )
A．方程x2＝9的解为x＝3
B．方程x2＝3x的解为x＝3
C．方程(x－3)2＝0的解为x1＝x2＝3
D．方程(x＋3)(x－4)＝0的解为x1＝3，x2＝－4
5．当x＝__0或3__时，代数式x2－6与6－3x的值互为相反数．
易错易混点 忽视隐含条件出错
6．(广西玉林模拟)若关于x的方程x2－6x＋8＝0的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两边长，则△ABC的周长为( B )
A．8 B．10
C．12 D．8或10
由x2－6x＋8＝0得，(x－2)(x－4)＝0，所以x1＝2，x2＝4.因为此方程的两个实数根是等腰三角形的两边长，则当2为腰时，2＋2＝4，此情况舍去；当4为腰时，4＋2＞4，符合要求，所以△ABC的周长为4＋4＋2＝10.
7．一元二次方程x(x－5)＝5－x的根是( C )
A．－1 B．0
C．－1或5 D．1或5
∵x(x－5)＝5－x，∴x(x－5)＋(x－5)＝0，∴(x－5)(x＋1)＝0，∴x－5＝0或x＋1＝0，解得x1＝5，x2＝－1.
8．(广西北海期中)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为( C )
A．17或13 B．13或21
C．17 D．13
∵x2－10x＋21＝0，∴(x－3)(x－7)＝0，
∴解得x1＝3，x2＝7，当等腰三角形的边长是3，3，7时，3＋3＜7，不符合三角形的三边关系，应舍去；当等腰三角形的边长是7，7，3时，这个三角形的周长是7＋7＋3＝17.
9．如图，数轴上点A代表的数字为3x＋1，点B代表的数字为x2＋2x，已知AB＝5，且点A在数轴的负半轴上，则x的值为__－2__．
10．方程x2＋x＝31＋的实数根为__x1＝，x2＝－－1__．
11．解下列方程：
(1)2(x－2)2＝3(2－x)；
(2)x2＋2x＝3.
(1)∵2(x－2)2＝3(2－x)，
∴2(x－2)2＋3(x－2)＝0，
∴(x－2)(2x－4＋3)＝0，
∴x－2＝0或2x－1＝0，
∴x1＝2，x2＝.
(2)∵x2＋2x＝3，
∴x2＋2x－3＝0，
∴(x－1)(x＋3)＝0，
∴x－1＝0或x＋3＝0，
∴x1＝1，x2＝－3.
【母题P31习题17.2T5】用因式分解法解下列方程：
(1)x2＝7x；(2)2x2＋x＝0；
(3)(x＋1)2－2(x＋1)＝0；(4)x2－3x＋2＝0.
(1)∵x2＝7x，
∴x2－7x＝0，
∴x(x－7)＝0，
∴x1＝0，x2＝7.
(2)∵2x2＋x＝0，
∴x(2x＋1)＝0，
∴x1＝0，x2＝－.
(3)∵(x＋1)2－2(x＋1)＝0，
∴(x＋1)(x＋1－2)＝0，
∴x1＝－1，x2＝1.
(4)∵x2－3x＋2＝0，
∴(x－1)(x－2)＝0，
∴x1＝1，x2＝2.
【变式1】用因式分解法解方程：x2＋6x－7＝0.
∵x2＋6x－7＝0，
∴(x＋7)(x－1)＝0，
∴x1＝－7或x2＝1.
【变式2】用因式分解法解方程：x2－6x＋8＝0.
∵(x－2)(x－4)＝0，
∴x－2＝0或x－4＝0，
∴x1＝2，x2＝4.
12．(应用意识&运算能力)阅读材料：解方程x2＋2x－35＝0，我们可以按下面的方法解答：
(1)分解因式x2＋2x－35. ①竖分二次项与常数项： x2＝x·x， －35＝(－5)×(＋7). ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x－5)(x＋7). (2)若ab＝0，则a＝0或b＝0，所以方程x2＋2x－35可以这样求解： 方程左边分解因式得 (x－5)(x＋7)＝0， ∴x－5＝0或x＋7＝0， ∴x1＝5，x2＝－7.
上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：
(1)x2＋5x＋4＝0；
(2)2x2＋x－10＝0.
(1)∵x2＋5x＋4＝0，
∴(x＋4)(x＋1)＝0，
∴x＋4＝0或x＋1＝0，
∴x1＝－4，x2＝－1；
(2)∵2x2＋x－10＝0，
∴(2x＋5)(x－2)＝0，
∴2x＋5＝0或x－2＝0，
∴x1＝2，x2＝－.
13．(应用意识&运算能力)阅读下面的例题，解方程(x－1)2－5|x－1|－6＝0.
例：解方程x2－|x|－2＝0；
解：令y＝|x|，原方程化成y2－y－2＝0，
解得y1＝2，y2＝－1
当|x|＝2，x＝±2；
当|x|＝－1时(不合题意，舍去)，
∴原方程的解是x1＝2，x2＝－2.
令y＝|x－1|，原方程可化为y2－5y－6＝0，
解得y＝－1或y＝6.
当|x－1|＝－1时，不符合题意，舍去；
当|x－1|＝6时，
即x－1＝6或x－1＝－6，
解得x＝7或x＝－5.
方法专题训练（三） 选择合适的方法解一元二次方程
思路1 不(直接)含有一次项的一元二次方程
1．解下列方程：
(1)2y2＝8；(2)2(x＋3)2－4＝0；
(3)(x＋1)2＝25；(4)(2x＋1)2＝(x－1)2.
(1)2y2＝8，y2＝4，y＝±2，解得y1＝2，y2＝－2；
(2)2(x＋3)2－4＝0，(x＋3)2＝2，x＋3＝±，解得x1＝－3＋，x2＝－3－；
(3)(x＋1)2＝25，(x＋1)2＝100，x＋1＝±10，解得x1＝－11，x2＝9；
(4)(2x＋1)2＝(x－1)2，2x＋1＝x－1，2x＋1＝－(x－1)，解得x1＝0，x2＝－2.
思路2 可转化为一边为0，另一边易于因式分解的
一元二次方程
2．解下列方程：
(1)(4x－1)(5x＋7)＝0；
(2)3x(x－1)＝2－2x；
(3)(2x＋3)2＝4(2x＋3)；
(4)2(x－3)2＝x2－9.
(1)(4x－1)(5x＋7)＝0，4x－1＝0或5x＋7＝0，解得x1＝，x2＝－；
(2)3x(x－1)＝2－2x，3x(x－1)＋2(x－1)＝0，(x－1)(3x＋2)＝0，
x－1＝0或3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝－；
(3)(2x＋3)2＝4(2x＋3)，(2x＋3)2－4(2x＋3)＝0，(2x＋3)(2x＋3－4)＝0，2x＋3＝0或2x＋3－4＝0，解得x1＝－，x2＝.
(4)2(x－3)2＝x2－9，2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，x－3＝0或2(x－3)－(x＋3)＝0，解得x1＝3，x2＝9.
思路3 二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元
二次方程
3．解方程：
(1)x2＋4x－2＝0；(2)x2－2x－4 899＝0.
(1)x2＋4x＋22＝2＋22，即(x＋2)2＝6，x＋2＝±，x1＝－2＋，x2＝－2－；
(2)x2－2x＝4 899，x2－2x＋1＝4 899＋1，
即(x－1)2＝4 900，x－1＝70或x－1＝－70，
解得x1＝71，x2＝－69.
思路4 适合所有方程的公式法
4．用公式法解下列方程：
(1)3x2－10x－8＝0；(2)y(2y＋7)＝4.
(1)这里a＝3，b＝－10，c＝－8，
∵b2－4ac＝100＋96＝196，
∴x＝，
解得x1＝4，x2＝－；
(2)方程整理，得2y2＋7y－4＝0，这里a＝2，b＝7，c＝－4，
∵b2－4ac＝49＋32＝81，∴y＝，解得y1＝，y2＝－4.
思路5 用指定的方法解一元二次方程
5．用指定的方法解方程：
(1)x2－2x＝0(因式分解法);
(2)x2－2x－3＝0(用配方法)；
(3)2x2－9x＋8＝0(用公式法)；
(4)(x－2)2＝(2x＋3)2(用合适的方法)
(1)∵x2－2x＝0，x(x－2)＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
(2)∵x2－2x－3＝0，x2－2x＝3，x2－2x＋1＝4，(x－1)2＝4，
∴x－1＝±2，∴x1＝3，x2＝－1；
(3)∵b2－4ac＝81－4×2×8＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
(4)(x－2)2－(2x＋3)2＝0，
∴[(x－2)＋(2x＋3)][(x－2)－(2x＋3)]＝0，
∴(3x＋1)(－x－5)＝0，
∴x1＝－，x2＝－5.
思路6 换元法解与一元二次方程相关的特殊方程
6．(广西钦州模拟)读下列材料：已知实数m，n满足(2m2＋n2＋1)(2m2＋n2－1)＝80，试求2m2＋n2的值.
解：设2m2＋n2＝t，则原方程变为(t＋1)(t－1)＝80，整理得t2－1＝80，t2＝81，
∴t＝±9，∵2m2＋n2≥0，∴2m2＋n2＝9，
上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)设a，b满足等式(a2＋b2)(2a2＋2b2－1)＝3，求3a2＋3b2－1的值；
(2)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数．
(1)设a2＋b2＝m，
则原方程变为m(2m－1)＝3，
整理，得2m2－m＝3，
解得m＝或m＝－1.
∵a2＋b2≥0，
∴a2＋b2＝，
∴3a2＋3b2－1＝3×－1＝；
(2)设最小正整数为x，由题意，得x(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝24，
整理，得(x2＋3x)(x2＋3x＋2)＝24.
设x2＋3x＝y，则方程化为y2＋2y－24＝0，
解得y1＝－6，y2＝4.
∵x为正整数，
∴y＝x2＋3x＝4，
解得x1＝1，x2＝－4＜0(舍去)，
故这四个连续正整数为1，2，3，4.17．2 一元二次方程的解法
3．因式分解法
知识点 用因式分解法解一元二次方程
1．一元二次方程x2＝x的根是( )
A．x1＝0，x2＝1
B．x1＝0，x2＝－1
C．x1＝x2＝0
D．x1＝x2＝1
2．(广西钦州期中)方程(x－2)2＝2x(x－2)的解是( )
A．x1＝2，x2＝1
B．x1＝2，x2＝－2
C．x1＝2，x2＝0
D．x1＝2，x2＝－1
3．(广西柳州期中)一元二次方程x(x－1)＝2(x－1)的解完全正确的是( )
A．x＝2
B．x1＝2，x2＝1
C．x1＝－2，x2＝1
D．x1＝3，x2＝－1
4．下列方程的解正确的是( )
A．方程x2＝9的解为x＝3
B．方程x2＝3x的解为x＝3
C．方程(x－3)2＝0的解为x1＝x2＝3
D．方程(x＋3)(x－4)＝0的解为x1＝3，x2＝－4
5．当x＝__ __时，代数式x2－6与6－3x的值互为相反数．
易错易混点 忽视隐含条件出错
6．(广西玉林模拟)若关于x的方程x2－6x＋8＝0的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两边长，则△ABC的周长为( )
A．8 B．10
C．12 D．8或10
7．一元二次方程x(x－5)＝5－x的根是( )
A．－1 B．0
C．－1或5 D．1或5
8．(广西北海期中)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为( )
A．17或13 B．13或21
C．17 D．13
9．如图，数轴上点A代表的数字为3x＋1，点B代表的数字为x2＋2x，已知AB＝5，且点A在数轴的负半轴上，则x的值为__ __．
10．方程x2＋x＝31＋的实数根为__ __．
11．解下列方程：
(1)2(x－2)2＝3(2－x)；
(2)x2＋2x＝3.
【母题P31习题17.2T5】用因式分解法解下列方程：
(1)x2＝7x；(2)2x2＋x＝0；
(3)(x＋1)2－2(x＋1)＝0；(4)x2－3x＋2＝0.
【变式1】用因式分解法解方程：x2＋6x－7＝0.
【变式2】用因式分解法解方程：x2－6x＋8＝0.
12．(应用意识&运算能力)阅读材料：解方程x2＋2x－35＝0，我们可以按下面的方法解答：
(1)分解因式x2＋2x－35. ①竖分二次项与常数项： x2＝x·x， －35＝(－5)×(＋7). ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x－5)(x＋7). (2)若ab＝0，则a＝0或b＝0，所以方程x2＋2x－35可以这样求解： 方程左边分解因式得 (x－5)(x＋7)＝0， ∴x－5＝0或x＋7＝0， ∴x1＝5，x2＝－7.
上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：
(1)x2＋5x＋4＝0；
(2)2x2＋x－10＝0.
13．(应用意识&运算能力)阅读下面的例题，解方程(x－1)2－5|x－1|－6＝0.
例：解方程x2－|x|－2＝0；
解：令y＝|x|，原方程化成y2－y－2＝0，
解得y1＝2，y2＝－1
当|x|＝2，x＝±2；
当|x|＝－1时(不合题意，舍去)，
∴原方程的解是x1＝2，x2＝－2.
