17．3 一元二次方程根的判别式
知识点1 不解方程，判断一元二次方程根的情况
1．一元二次方程x2＋2x－1＝0的根的情况是( )
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
2．关于x的一元二次方程x2＋x－m2＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
3．(广西柳州期中)请填写一个常数，使得关于x的方程x2－4x＋__ __＝0有两个不相等的实数根．
知识点2 依据一元二次方程根的情况，求方程中待定系数的值或取值范围4.关于x的一元二次方程kx2＋4x－2＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A．k≥－2 B．k＞－2且k≠0
C．k≥－2且k≠0 D．k≤－2
5．(广西柳州北海期中)已知关于x的一元二次方程(k＋1)x2－(2k＋1)x＋k－1＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A．k≥－
B．k≠－1
C．k＞－且k≠－1
D．k≥－且k≠－1
6．已知关于x的一元二次方程x2－2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是__ __．
易错易混点 忽视分类讨论出错
7．(广西崇左期中)已知：关于x的方程(k－1)x2－4x＋1＝0有实数根，试确定k 的取值范围．
8．已知关于x的一元二次方程x2－2x－3m＋1＝0有两个相等的实数根，则此方程的根是( )
A．x1＝x2＝5 B．x1＝x2＝2
C．x1＝x2＝1 D．x1＝x2＝－3
9．(广西来宾期中)若实数b，c满足c－b＋2＝0，则关于x的方程x2＋bx＋c＝0根的情况是( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
10．(广西南宁期中)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)已知方程一个根为2，求k的值．
11．已知关于x的一元二次方程x2－3mx＋2m2＋m－1＝0.
(1)当m＝2时，解这个方程；
(2)试判断方程根的情况，并说明理由．
【母题P36习题17.3T2】求证：关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根．
【变式】试判断关于x的方程x2－(2m－1)x＋m2－m＝0根的情况．
12．(运算能力)(广西钦州月考)我们规定：方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝0.例如，方程2x2－3x＋4＝0的变形方程为2(x＋1)2－3(x＋1)＋4＝0.
(1)直接写出方程x2＋2x－5＝0的变形方程；
(2)若方程x2＋2x＋m＝0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为x2＋2x＋1＝0，直接写出a＋b＋c的值．17．3 一元二次方程根的判别式
知识点1 不解方程，判断一元二次方程根的情况
1．一元二次方程x2＋2x－1＝0的根的情况是( C )
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
2．关于x的一元二次方程x2＋x－m2＝0的根的情况是( A )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
3．(广西柳州期中)请填写一个常数，使得关于x的方程x2－4x＋__1(答案不唯一)__＝0有两个不相等的实数根．
知识点2 依据一元二次方程根的情况，求方程中待定系数的值或取值范围4.关于x的一元二次方程kx2＋4x－2＝0有实数根，则k的取值范围是( C )
A．k≥－2 B．k＞－2且k≠0
C．k≥－2且k≠0 D．k≤－2
5．(广西柳州北海期中)已知关于x的一元二次方程(k＋1)x2－(2k＋1)x＋k－1＝0有实数根，则k的取值范围是( D )
A．k≥－
B．k≠－1
C．k＞－且k≠－1
D．k≥－且k≠－1
6．已知关于x的一元二次方程x2－2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是__－1__．
易错易混点 忽视分类讨论出错
7．(广西崇左期中)已知：关于x的方程(k－1)x2－4x＋1＝0有实数根，试确定k 的取值范围．
(1)当k＝1时，方程变为一元一次方程－4x＋1＝0，此时方程有实数根；
(2)当k≠1时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程(k－1)x2－4x＋1＝0有实根，
∴Δ＝(－4)2－4(k－1)×1≥0，
解得k≤5.
∵二次项系数不为零，即k－1≠0.
∴k≤5且k≠1.
8．已知关于x的一元二次方程x2－2x－3m＋1＝0有两个相等的实数根，则此方程的根是( C )
A．x1＝x2＝5 B．x1＝x2＝2
C．x1＝x2＝1 D．x1＝x2＝－3
9．(广西来宾期中)若实数b，c满足c－b＋2＝0，则关于x的方程x2＋bx＋c＝0根的情况是( B )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
10．(广西南宁期中)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)已知方程一个根为2，求k的值．
(1)∵Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋k)＝4k2＋4k＋1－4k2－4k＝1＞0，
故方程有两个不相等的实数根．
(2)把x＝2代入一元二次方程，得4－2(2k＋1)＋k2＋k＝0，
∴k2－3k＋2＝0，
∴(k－1)(k－2)＝0，
∴k－1＝0或k－2＝0，
解得k＝1或k＝2.
11．已知关于x的一元二次方程x2－3mx＋2m2＋m－1＝0.
(1)当m＝2时，解这个方程；
(2)试判断方程根的情况，并说明理由．
(1)m＝2时，方程为x2－6x＋9＝0，
∴(x－3)2＝0，
∴x1＝x2＝3；
(2)Δ＝(－3m)2－4(2m2＋m－1)
＝9m2－8m2－4m＋4
＝m2－4m＋4
＝(m－2)2≥0，
∴方程有实数根．
【母题P36习题17.3T2】求证：关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根．
Δ＝(2k＋1)2－4(k－1)＝4k2＋5.
∵4k2≥0，
∴4k2＋5＞0，即Δ＞0，
∴关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根．
【变式】试判断关于x的方程x2－(2m－1)x＋m2－m＝0根的情况．
∵Δ＝b2－4ac＝[－(2m－1)]2－4(m2－m)
＝4m2－4m＋1－4m2＋4m
＝1＞0，
∴关于x的方程x2－(2m－1)x＋m2－m＝0有两个不相等的实数根．
12．(运算能力)(广西钦州月考)我们规定：方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝0.例如，方程2x2－3x＋4＝0的变形方程为2(x＋1)2－3(x＋1)＋4＝0.
(1)直接写出方程x2＋2x－5＝0的变形方程；
(2)若方程x2＋2x＋m＝0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为x2＋2x＋1＝0，直接写出a＋b＋c的值．
(1)用x＋1表示方程x2＋2x－5＝0里的x，可得(x＋1)2＋2(x＋1)－5＝0.
(2)用x＋1表示方程x2＋2x＋m＝0里的x，
得(x＋1)2＋2(x＋1)＋m＝0.
整理，得x2＋4x＋3＋m＝0.
∵变形后的方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝42－4(3＋m)＝4－4m＞0，
∴m＜1.
(3)a＋b＋c＝1.
方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝0，
整理，得ax2＋2ax＋a＋bx＋b＋c＝0，
即ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋c)＝0.
由于方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为x2＋2x＋1＝0，
所以a＋b＋c＝1.
