*17.4 一元二次方程的根与系数的关系
知识点1 运用根与系数的关系求含两根的代数式的值1.若方程x2－4x－2＝0的两根为x1，x2，则＋ 的值为( )
A．2 B．－2 C． D．－
2．(广西柳州期中)若m，n是一元二次方程x2－6x－1＝0的两个根，则m2n＋mn2的值是( )
A．－1 B．－5 C．－6 D．6
3．若x1，x2是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根，则x1·x2＝__ __．
知识点2 运用根与系数的关系求字母系数的值或另一根4.已知关于x的一元二次方程x2－2x－b＝0的一个解是x＝－1，则方程的另一个解为( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
5．(广西南宁期中)关于x的一元二次方程x2＋kx＋3＝0(k＞0)有实数根，此方程的根可能是( )
A．x1＝1，x2＝3
B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝－1，x2＝3
D．x1＝－1，x2＝－3
6．一元二次方程x2－2x＝0其中一个根是0，则另一个根的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．－2
7．已知关于x的方程3x2－(k－1)x＋2＝0的一个根是1，则另一个根是__ __．
易错易混点 忽视方程二次项系数a≠0
8．若x＝0是关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2＋2m－8＝0的一个解，求实数m的值和另一个根．
9．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a(y－2)2＋b(y－2)＋c＝0的两根之积是( )
A．2p＋q＋4 B．2p－q＋4
C．q－2p＋4 D．q－2p－4
10．关于x的一元二次方程2x2＋4mx＋m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x＋x＝，则m＝__ __．
11．(广西河池期中)若m，n是关于x的一元二次方程x2－2 024x＋2 025＝0的两根，求代数式(m2－2 023m＋2 024)(n2－2 023n＋2 024)的值．
【母题P39练习T4】设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
(1)(x1＋1)(x2＋1)；
(2)＋.
【变式1】设α，β是一元二次方程x2＋3x－17＝0的两个根，求α2＋5α＋2β的值．
【变式2】设实数s，t分别满足19s2＋99s＋1＝0，t2＋99t＋19＝0，并且st≠1，求的值.
12．(运算能力)(广西桂林期中)关于x的方程：x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，用含k的代数式表示|x1－x2|；
(3)是否存在实数k，使得|x1|－|x2|＝？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由．*17.4 一元二次方程的根与系数的关系
知识点1 运用根与系数的关系求含两根的代数式的值1.若方程x2－4x－2＝0的两根为x1，x2，则＋ 的值为( B )
A．2 B．－2 C． D．－
2．(广西柳州期中)若m，n是一元二次方程x2－6x－1＝0的两个根，则m2n＋mn2的值是( C )
A．－1 B．－5 C．－6 D．6
3．若x1，x2是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根，则x1·x2＝__3__．
知识点2 运用根与系数的关系求字母系数的值或另一根4.已知关于x的一元二次方程x2－2x－b＝0的一个解是x＝－1，则方程的另一个解为( D )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
5．(广西南宁期中)关于x的一元二次方程x2＋kx＋3＝0(k＞0)有实数根，此方程的根可能是( D )
A．x1＝1，x2＝3
B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝－1，x2＝3
D．x1＝－1，x2＝－3
6．一元二次方程x2－2x＝0其中一个根是0，则另一个根的值是( C )
A．0 B．1 C．2 D．－2
7．已知关于x的方程3x2－(k－1)x＋2＝0的一个根是1，则另一个根是____．
易错易混点 忽视方程二次项系数a≠0
8．若x＝0是关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2＋2m－8＝0的一个解，求实数m的值和另一个根．
把x＝0代入方程(m－2)x2＋3x＋m2＋2m－8＝0，得m2＋2m－8＝0，
∴m1＝－4，m2＝2.
∵m－2≠0，∴m≠2，
∴m＝－4.
把m＝－4代入原方程，得－6x2＋3x＝0，
解得另一个根为0.5.
9．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a(y－2)2＋b(y－2)＋c＝0的两根之积是( A )
A．2p＋q＋4 B．2p－q＋4
C．q－2p＋4 D．q－2p－4
设关于y的方程a(y－2)2＋b(y－2)＋c＝0的两根分别为y1，y2.
∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根之和为p，两根之积为q，
∴x1＋x2＝p，x1x2＝q，
∴(y1－2)＋(y2－2)＝p，(y1－2)(y2－2)＝q，化简，得y1＋y2＝p＋4，y1y2－2(y1＋y2)＋4＝q，整理，可得y1y2＝2p＋q＋4.
10．关于x的一元二次方程2x2＋4mx＋m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x＋x＝，则m＝__－__．
∵关于x的一元二次方程2x2＋4mx＋m＝0有两个不同的实数根x1，x2，∴x1＋x2＝－2m，x1·x2＝.Δ＝b2－4ac＝(4m)2－4×2m＝16m2－8m.
∵x＋x＝，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝，
∴4m2－2×＝，(8m－3)(8m＋1)＝0，解得m1＝，m2＝－.当m1＝时，Δ＝16×－8×＝－3＜0，不符合题意，舍去；当m2＝－时，Δ＝16×－8×(－)＝＞0，符合题意；综上，m＝－.
11．(广西河池期中)若m，n是关于x的一元二次方程x2－2 024x＋2 025＝0的两根，求代数式(m2－2 023m＋2 024)(n2－2 023n＋2 024)的值．
∵m，n是关于x的一元二次方程x2－2 024x＋2 025＝0的两根，
∴m2－2 024m＋2 025＝0，n2－2 024n＋2 025＝0，m＋n＝2 024，mn＝2 025，
∴m2－2 023m＋2 024＝m－1，n2－2 023n＋2 024＝n－1，
∴(m2－2 023m＋2 024)(n2－2 023n＋2 024)＝(m－1)(n－1)＝mn－(m＋n)＋1＝2 025－2 024＋1＝2.
【母题P39练习T4】设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
(1)(x1＋1)(x2＋1)；
(2)＋.
由题意，得x1＋x2＝－＝－2，
x1x2＝＝－；
(1)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－＋(－2)＋1＝－；
(2)＋＝＝＝.
【变式1】设α，β是一元二次方程x2＋3x－17＝0的两个根，求α2＋5α＋2β的值．
∵α，β是一元二次方程x2＋3x－17＝0的两个根，
∴α2＋3α－17＝0，α＋β＝－3，
∴α2＋3α＝17，
∴α2＋5α＋2β＝(α2＋3α)＋2(α＋β)＝17－6＝11.
【变式2】设实数s，t分别满足19s2＋99s＋1＝0，t2＋99t＋19＝0，并且st≠1，求的值.
把方程t2＋99t＋19＝0转化为19＋99＋1＝0，
∴s和是方程19x2＋99x＋1＝0的两个根，
∴s＋＝－，s·＝，
＝s＋＋＝－＋＝－＝－5.
故的值为－5.
12．(运算能力)(广西桂林期中)关于x的方程：x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，用含k的代数式表示|x1－x2|；
(3)是否存在实数k，使得|x1|－|x2|＝？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由．
(1)∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－2k＋3)＞0，得4k－11＞0，
∴k＞；
(2)由一元二次方程的求根公式，得x1＝，x2＝.
∵k＞，
∴2k－1＞0，＞0，
∴x1＞0.
又∵x1·x2＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2＞0，
∴x2＞0，
x1－x2＝－＝；
∵k＞，
∴4k－11＞0，
∴|x1－x2|＝；
(3)当|x1|－|x2|＝时，有x1－x2＝，
即－＝＝，
∴4k－11＝3，
∴k＝，
∴存在实数k＝，使得|x1|－|x2|＝.
