17．5 一元二次方程的应用
第2课时 一元二次方程的应用(2)
知识点1 数字问题
1．一个两位数，它的十位数字比个位数字大3，且十位数字与个位数字的积是28，求这个两位数．设这个两位数的个位数字为x，则可列方程( A )
A．x2＋3x－28＝0 B．x2－3x－28＝0
C．x2＋3x＋28＝0 D．x2－3x＋28＝0
2．三个连续偶数，其中两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数是( A )
A．－2，0，2或6，8，10
B．－2，0，2或－8，－8，－6
C．6，8，10或－8，－8，－6
D．－2，0，2或－8，－8，－6或6，8，10
知识点2 利润问题
3．某商场将每件进价为20元的玩具以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件．经调查，当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3 750元利润，则每件玩具应涨多少元？这道应用题如果设每件玩具应涨x元，则下列说法错误的是( D )
A．涨价后每件玩具的售价是(30＋x)元
B．涨价后每天少售出玩具的数量是10x件
C．涨价后每天销售玩具的数量是(300－10x)件
D．可列方程为(30＋x)(300－10x)＝3 750
4．某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定，每件商品的利润不得超过30%，若每件商品售价定为x元，则可卖出(170－5x)件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为( A )
A．20元 B．20.8元
C．20或30元 D．30元
5．一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3 596元，每件工艺品需降价( B )
A．4元 B．6元
C．4或6元 D．5元
知识点3 可化为一元二次方程的分式方程
6．一组学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2个参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊3元，原来这组学生人数是( D )
A．15人 B．10人 C．12人 D．8人
7．(广西北海月考)A，B两座城市相距40千米，甲骑自行车从A城出发前往B城，1小时后，乙才骑摩托车从A城出发前往B城，已知乙的速度是甲的2.5倍，且乙比甲早30分钟到B城，求甲、乙两人的速度各是多少？
设甲的速度为x km/h，则乙的速度为2.5x km/h.
根据行驶时间的等量关系，得－＝1＋0.5，
解得x＝16，
检验：当x＝16时，2.5x≠0；
所以x＝16是原方程的解；乙的速度为2.5x＝40，
答：甲的速度为16 km/h，乙的速度为40 km/h.
易错易混点 忽视实际背景要求出错
8．(广西柳州期中)某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其每月销售量将减少10个．为实现平均每月10 000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为多少元？
设售价为x元，根据题意，得
(x－30)[600－10(x－40)]＝10 000，
解得x＝50或x＝80，
从消费者的角度考虑，x＝80舍去，
答：这种台灯的售价应定为50元．
9．如图1，有一张长32 cm，宽16 cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形(图中阴影部分)之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是130 cm2，则纸盒的高为( C )
A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm
设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是130 cm2，依题意，得×(16－2x)＝130，化简，得x2－24x＋63＝0，解得x1＝3，x2＝21.
当x＝3时，16－2x＝10＞0，符合题意；当x＝21时，16－2x＝－26＜0，不符合题意，舍去，答：若纸盒的底面积是130 cm2，纸盒的高为3 cm.
10．(广西南宁模拟)一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成．求两队单独完成此项工程各需多少天？
设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队单独完成此项工程需(x－5)天，
根据题意，得＋＝1，
解得x1＝2(不合题意，舍去)，x2＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
则x－5＝10，
答：甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天．
【母题P45习题17.5T4】某中学开展植树活动，连续四年共植树1 999棵．已知第一年植树344棵，第二年植树500棵．如果第三年和第四年植树棵数的增长率相同，那么该校第三年和第四年各植树多少棵？
设后两年植树棵数的年增长率为x，依题意，得第三年植树500(1＋x)棵，第四年植树500(1＋x)2棵，∴四年累计植树为344＋500＋500(1＋x)＋500(1＋x)2＝1 999，
整理，得100x2＋300x－31＝0，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝－3.1(不合题意舍去)；
第三年植树500×1.1＝550(棵)；
第四年植树500×1.21＝605(棵)；
答：第三年和第四年各植树550棵和605棵．
【变式1】据调查，2023年11月底某景点累计接待游客为16万人次，但2024年1月底，该景点火出圈了，接待游客突破25万人次．景点附近某宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．
(1)求2023年11月底到2024年1月底该景点累计接待游客的月平均增长率；
(2)为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天利润为9 450元．
(1)设景点累计接待游客的月平均增长率为x，
由题意，得16(1＋x)2＝25，解得x1＝＝25%，x2＝－(不符合题意，舍去)，
答：景点接待游客的月平均增长率为25%；
(2)设房价定为y元时，宾馆当天的利润为9 450元，
由题意，得(y－20)(50－)＝9 450，
解得x1＝230，x2＝470，
∵为了尽可能让游客享受更低的单价，∴x＝230，
答：当房价定为230元时，宾馆当天的利润为9 450元．
【变式2】某市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．该市某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6 000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
(1)设该品牌头盔销售量的月增长率x，
由题意，得375(1＋x)2＝540，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)，
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
(2)设该品牌头盔每个应涨价m元，
由题意，得(10＋m)(500－20m)＝6 000，
整理，得m2－15m＋50＝0，
解得m1＝5，m2＝10，
∵要尽可能让顾客得到实惠，∴m＝5，
答：该品牌的头盔每个应涨价5元．
11．(应用意识&运算能力)如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用墙长为60 m)，其他的边用总长70 m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1 m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．(备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位)
(1)若设车棚宽度AB为x m，则车棚长度BC为__(72－3x)__m；
(2)若车棚面积为285 m2，试求出自行车车棚的长和宽．
(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为450 m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
(1)由题意，可知BC＝70－2(x－1)－x＝(72－3x)(m)；
(2)设车棚宽度AB的长为x m，则车棚长度BC为(72－3x)m，由题意，得x(72－3x)＝285，
整理，得x2－24x＋95＝0，
解得x1＝5，x2＝19(不符合题意，舍去)，
∴72－3x＝72－3×5＝57，
答：自行车车棚的长为57 m，宽为5 m；
(3)不能围成面积为450 m2的自行车车棚．理由如下：设车棚宽度AB的长为y m，则车棚长度BC为(72－3y)m，由题意，得y(72－3y)＝450，
整理，得y2－24y＋150＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×1×150＝－24＜0，
∴原方程无解，
∴不能围成面积为450 m2的自行车车棚．17．5 一元二次方程的应用
第2课时 一元二次方程的应用(2)
知识点1 数字问题
1．一个两位数，它的十位数字比个位数字大3，且十位数字与个位数字的积是28，求这个两位数．设这个两位数的个位数字为x，则可列方程( )
A．x2＋3x－28＝0 B．x2－3x－28＝0
C．x2＋3x＋28＝0 D．x2－3x＋28＝0
2．三个连续偶数，其中两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数是( )
A．－2，0，2或6，8，10
B．－2，0，2或－8，－8，－6
C．6，8，10或－8，－8，－6
D．－2，0，2或－8，－8，－6或6，8，10
知识点2 利润问题
3．某商场将每件进价为20元的玩具以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件．经调查，当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3 750元利润，则每件玩具应涨多少元？这道应用题如果设每件玩具应涨x元，则下列说法错误的是( )
A．涨价后每件玩具的售价是(30＋x)元
B．涨价后每天少售出玩具的数量是10x件
C．涨价后每天销售玩具的数量是(300－10x)件
D．可列方程为(30＋x)(300－10x)＝3 750
4．某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定，每件商品的利润不得超过30%，若每件商品售价定为x元，则可卖出(170－5x)件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为( )
A．20元 B．20.8元
C．20或30元 D．30元
5．一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3 596元，每件工艺品需降价( )
A．4元 B．6元
C．4或6元 D．5元
知识点3 可化为一元二次方程的分式方程
6．一组学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2个参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊3元，原来这组学生人数是( )
A．15人 B．10人 C．12人 D．8人
7．(广西北海月考)A，B两座城市相距40千米，甲骑自行车从A城出发前往B城，1小时后，乙才骑摩托车从A城出发前往B城，已知乙的速度是甲的2.5倍，且乙比甲早30分钟到B城，求甲、乙两人的速度各是多少？
易错易混点 忽视实际背景要求出错
8．(广西柳州期中)某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其每月销售量将减少10个．为实现平均每月10 000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为多少元？
9．如图1，有一张长32 cm，宽16 cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形(图中阴影部分)之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是130 cm2，则纸盒的高为( )
A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm
10．(广西南宁模拟)一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成．求两队单独完成此项工程各需多少天？
【母题P45习题17.5T4】某中学开展植树活动，连续四年共植树1 999棵．已知第一年植树344棵，第二年植树500棵．如果第三年和第四年植树棵数的增长率相同，那么该校第三年和第四年各植树多少棵？
【变式1】据调查，2023年11月底某景点累计接待游客为16万人次，但2024年1月底，该景点火出圈了，接待游客突破25万人次．景点附近某宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．
(1)求2023年11月底到2024年1月底该景点累计接待游客的月平均增长率；
(2)为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天利润为9 450元．
【变式2】某市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．该市某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6 000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
11．(应用意识&运算能力)如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用墙长为60 m)，其他的边用总长70 m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1 m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．(备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位)
(1)若设车棚宽度AB为x m，则车棚长度BC为__ __m；
(2)若车棚面积为285 m2，试求出自行车车棚的长和宽．
(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为450 m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
