17．5 一元二次方程的应用
第1课时 一元二次方程的应用(1)
知识点1 图形问题
1．(广西北海模拟)如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80 cm，宽为50 cm的挂图，设边框的宽为x cm，如果风景画的面积是2 800 cm2，下列方程符合题意的是( D )
A．(50＋x)(80＋x)＝2 800
B．(50＋2x)(80＋2x)＝2 800
C．(50－x)(80－x)＝2 800
D．(50－2x)(80－2x)＝2 800
2．如果用长20米的铁丝围成一个面积为24平方米的长方形，那么长方形的长和宽分别是( B )
A．8米，2米 B．6米，4米
C．7米，3米 D．9米，1米
3．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( B )
A．100 m2 B．64 m2
C．121 m2 D．144 m2
知识点2 增长(或降低)率问题
4．(广西柳州月考)电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为( D )
A．3(1＋x)＝10
B．3(1＋x)2＝10
C．3＋3(1＋x)2＝10
D．3＋3(1＋x)＋3(1＋x)2＝10
5．某公司今年10月的营业额为2 500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9 100万元，求该公司11，12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为( B )
A．2 500(1＋x)2＝9 100
B．2 500[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝9 100
C．2 500[(1＋x)＋(1＋x)2]＝9 100
D．9 100(1＋x)2＝2 500
6．(广西柳州期中)俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为(参考数据：≈1.414)( C )
A．20.3% B．25.2%
C．29.3% D．50%
易错易混点 忽视实际问题中的数量关系
7．如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，求劳动基地中的道路的宽．
设劳动基地中的道路宽为x米，
由题意，得(34－2x)(18－x)＝480，
整理，得x2－35x＋66＝0，
解得x1＝2，x2＝33(不符合题意，舍去)，
答：劳动基地中的道路宽为2米．
8．用长100 cm的铁丝制成一个长方形框，框的面积是600 cm2，此时框的长和宽分别约为( A )
A．30 cm，20 cm B．35 cm，15 cm
C．25 cm，25 cm D．28 cm，22 cm
设框的长为x cm，
则宽为＝(50－x)cm，根据题意，
得x(50－x)＝600，解得x1＝30，x2＝20.
∵x＞50－x，即x＞25，∴框的长为30 cm，
则宽为20 cm.
9．如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则AB长为__－1__．
如图，设AB＝b，图1中的正方形面积为4，∴正方形边长为2，直角三角形①中的长直角边为2，∴b(2＋b)＝4，解得b＝－1(负值已舍去)，
∴AB＝－1.
10．(广西贺州模拟)如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P，Q两点同时出发，一点先到达终点时P，Q两点同时停止，则几秒后，△PCQ的面积等于4
设t秒后，△PCQ的面积等于4，
由题意，得BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5－t.
∵S△PCQ＝CQ·CP，
∴4＝×2t×(5－t)，
整理得t2－5t＋4＝0，
解得t1＝1，t2＝4(不合题意，舍去)，
答：1秒后，△PCQ的面积等于4.
【母题P44练习T1】如果两个连续偶数的积是288，求这两个数．
设这两个偶数分别为x和x＋2.
根据题意，得x(x＋2)＝288.
整理，得x2＋2x－288＝0.
解得x1＝16，x2＝－18.
当x＝16时，x＋2＝18，
当x＝－18时，x＋2＝－16.
答：这两个数为16和18或－16和－18.
【变式】今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有多少人？
设该群共有x人，
依题意，有x(x－1)＝90，
解得x1＝10，x2＝－9(舍去)，
答：这个群共有10人．
11．(应用意识&运算能力)2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件 35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8 400元？
(1)设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，根据题意，得256(1＋x)2＝400，
解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不符合题意，舍去).
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；
(2)设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为(y－35)元，月销售量为400＋20(58－y)＝(1 560－20y)件，
根据题意，得(y－35)(1 560－20y)＝8 400，
整理，得y2－113y＋3 150＝0，
解得y1＝50，y2＝63(不符合题意，舍去).
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8 400元．17．5 一元二次方程的应用
第1课时 一元二次方程的应用(1)
知识点1 图形问题
1．(广西北海模拟)如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80 cm，宽为50 cm的挂图，设边框的宽为x cm，如果风景画的面积是2 800 cm2，下列方程符合题意的是( )
A．(50＋x)(80＋x)＝2 800
B．(50＋2x)(80＋2x)＝2 800
C．(50－x)(80－x)＝2 800
D．(50－2x)(80－2x)＝2 800
2．如果用长20米的铁丝围成一个面积为24平方米的长方形，那么长方形的长和宽分别是( )
A．8米，2米 B．6米，4米
C．7米，3米 D．9米，1米
3．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( )
A．100 m2 B．64 m2
C．121 m2 D．144 m2
知识点2 增长(或降低)率问题
4．(广西柳州月考)电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为( )
A．3(1＋x)＝10
B．3(1＋x)2＝10
C．3＋3(1＋x)2＝10
D．3＋3(1＋x)＋3(1＋x)2＝10
5．某公司今年10月的营业额为2 500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9 100万元，求该公司11，12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为( )
A．2 500(1＋x)2＝9 100
B．2 500[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝9 100
C．2 500[(1＋x)＋(1＋x)2]＝9 100
D．9 100(1＋x)2＝2 500
6．(广西柳州期中)俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为(参考数据：≈1.414)( )
A．20.3% B．25.2%
C．29.3% D．50%
易错易混点 忽视实际问题中的数量关系
7．如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，求劳动基地中的道路的宽．
8．用长100 cm的铁丝制成一个长方形框，框的面积是600 cm2，此时框的长和宽分别约为( )
A．30 cm，20 cm B．35 cm，15 cm
C．25 cm，25 cm D．28 cm，22 cm
9．如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则AB长为__ __．
10．(广西贺州模拟)如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P，Q两点同时出发，一点先到达终点时P，Q两点同时停止，则几秒后，△PCQ的面积等于4
【母题P44练习T1】如果两个连续偶数的积是288，求这两个数．
【变式】今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有多少人？
11．(应用意识&运算能力)2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件 35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8 400元？
