18．2 勾股定理的逆定理
知识点1 勾股定理的逆定理
1．(广西柳州期中)下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是( )
A．1，2，3 B．2，3，4
C．3，4，5 D．4，5，6
2．(广西北海月考)如图，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝2，BD＝12，DC＝4，则∠DBA＝__ __．
知识点2 勾股数
3．若5，13，m是一组勾股数，则m的值为( )
A．5 B．12 C．13 D．
4．有一组勾股数，两个较小的数为8和15，则第三个数为__ __．
5．写出一组全是偶数的勾股数是__ __．
易错易混点 忽视分类讨论出错
6．如图所示，等腰三角形ABC的底边BC为8 cm，腰长为5 cm，一动点P在底边上从点B向点C以0.25 cm/s的速度移动，请你探究：当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直？
7．(广西崇左期中)有下列说法：(1)一个直角三角形的两条直角边长分别为1，，则它的斜边长是2；(2)一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5；(3)“一个三角形的三条边长分别是2，3，4，因为22＋32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
8．如图，在网格图(每个小方格均是边长为1的正方形)中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是( )
A．C1 B．C2 C．C3 D．C4
9．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，A，B，C，D都是格点，AB与CD相交于点P，则∠BPD＝__ __°.
10．(广西南宁月考)勾股定理a2＋b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a，b，c)通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，….分析上面勾股数组可以发现，4＝1×(3＋1)，12＝2×(5＋1)，24＝3×(7＋1)，…，分析上面规律，第5个勾股数组为__ __．
11．若a，b，c满足(6－a)2＋|b－8|＋＝0.
(1)求a，b，c的值．
(2)以a，b，c为边长能否构成直角三角形？请说明理由．
12．(广西柳州月考)如图，在△ABC中，AD，AE分别是高和角平分线.
(1)若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度数；
(2)若AB＝15，AC＝20，AD＝12，求证：∠BAC是直角．
【母题P60习题18.2T2】已知：△ABC的三边长分别为a＝9 cm，b＝40 cm，c＝41 cm.求△ABC的面积.
【变式1】如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上．请你判断以AB，CD，EF＝2为边的三角形的形状．
【变式2】已知等腰△ABC的底边BC＝5，D是腰AB上一点，且CD＝4，BD＝3，求AD的长．
13．(应用意识&运算能力)为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝17 m，AD＝8 m，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了∠ABC＝90°.
(1)请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定∠ABC＝90°的依据；
(2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？18．2 勾股定理的逆定理
知识点1 勾股定理的逆定理
1．(广西柳州期中)下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是( C )
A．1，2，3 B．2，3，4
C．3，4，5 D．4，5，6
2．(广西北海月考)如图，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝2，BD＝12，DC＝4，则∠DBA＝__45°__．
知识点2 勾股数
3．若5，13，m是一组勾股数，则m的值为( B )
A．5 B．12 C．13 D．
4．有一组勾股数，两个较小的数为8和15，则第三个数为__17__．
5．写出一组全是偶数的勾股数是__6，8，10(答案不唯一)__．
易错易混点 忽视分类讨论出错
6．如图所示，等腰三角形ABC的底边BC为8 cm，腰长为5 cm，一动点P在底边上从点B向点C以0.25 cm/s的速度移动，请你探究：当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直？
如图所示，
作AD⊥BC，交BC于点D.
∵BC＝8 cm，AB＝AC＝5 cm，
∴BD＝CD＝BC＝4 cm，
∴AD＝＝3 cm.
分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时，
∵AP2＝PD2＋AD2＝PC2－AC2，
∴PD2＋AD2＝PC2－AC2，
∴PD2＋32＝(PD＋4)2－52，∴PD＝2.25，
∴BP＝4－2.25＝1.75＝0.25t，∴t＝7秒；
当点P运动t秒后有PA⊥AB时，
同理可证得PD＝2.25，
∴BP＝4＋2.25＝6.25＝0.25t，∴t＝25秒，
∴点P运动的时间为7秒或25秒．
综上所述，当P运动7 s或25 s时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．
7．(广西崇左期中)有下列说法：(1)一个直角三角形的两条直角边长分别为1，，则它的斜边长是2；(2)一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5；(3)“一个三角形的三条边长分别是2，3，4，因为22＋32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是( B )
A．3 B．2 C．1 D．0
(1)一个直角三角形的两条直角边长分别为1，，则它的斜边长是2；正确；(2)一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5或；错误；(3)“一个三角形的三条边长分别是2，3，4，因为22＋32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．正确；其中，正确的个数是2.
8．如图，在网格图(每个小方格均是边长为1的正方形)中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是( D )
A．C1 B．C2 C．C3 D．C4
∵AB2＝10，AC＝5，BC＝5，
∴AB2＝AC＋BC，
∴△ABC1是直角三角形．
∵AC＝10，AB2＝10，BC＝20，
∴BC＝AC＋AB2，∴△ABC2是直角三角形．
∵AB2＝10，AC＝20，BC＝10，
∴AC＝AB2＋BC，
∴△ABC3是直角三角形．
∵AC＝16，BC＝18，AB2＝10，
∴BC≠AC＋AB2，
∴△ABC4不是直角三角形，
所以△ABC2，△ABC3，△ABC1是直角三角形，但△ABC4不是直角三角形．
9．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，A，B，C，D都是格点，AB与CD相交于点P，则∠BPD＝__135__°.
连接BE，EF，由题意，得BE2＝12＋32＝10，BF2＝12＋22＝5，EF2＝12＋22＝5，∴BF2＋EF2＝BE2，∴△BEF是直角三角形，∴∠BFE＝90°.
∵BF＝EF＝，
∴∠FBE＝∠FEB＝45°，由题意，得BE∥CD，
∴∠BPD＝180°－∠FBE＝135°.
10．(广西南宁月考)勾股定理a2＋b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a，b，c)通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，….分析上面勾股数组可以发现，4＝1×(3＋1)，12＝2×(5＋1)，24＝3×(7＋1)，…，分析上面规律，第5个勾股数组为__(11，60，61)__．
由勾股数组(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)…中，4＝1×(3＋1)，12＝2×(5＋1)，24＝3×(7＋1)，…可得第4组勾股数中间的数为4×(9＋1)＝40，即勾股数为(9，40，41)；第5组勾股数中间的数为5×(11＋1)＝60，即(11，60，61).
11．若a，b，c满足(6－a)2＋|b－8|＋＝0.
(1)求a，b，c的值．
(2)以a，b，c为边长能否构成直角三角形？请说明理由．
(1)∵(6－a)2＋|b－8|＋＝0，
∴6－a＝0，b－8＝0，10－c＝0，
∴a＝6，b＝8，c＝10.
(2)能构成直角三角形．
理由：∵a2＋b2＝62＋82＝100，c2＝102＝100，
∴a2＋b2＝c2，
∴以a，b，c为边长能构成直角三角形．
12．(广西柳州月考)如图，在△ABC中，AD，AE分别是高和角平分线.
(1)若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度数；
(2)若AB＝15，AC＝20，AD＝12，求证：∠BAC是直角．
(1)∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC＝43°.
∵AD⊥BC，∴∠DAC＝90°－∠C＝58°，
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝58°－43°＝15°.
(2)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴BD＝＝＝9，
CD＝＝＝16，
∴BC＝BD＋DC＝9＋16＝25.
∵AB2＋AC2＝152＋202＝625，BC2＝625，
∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，
即∠BAC是直角．
【母题P60习题18.2T2】已知：△ABC的三边长分别为a＝9 cm，b＝40 cm，c＝41 cm.求△ABC的面积.
∵a＝9 cm，b＝40 cm，c＝41 cm，
∴a2＋b2＝c2，∴∠ACB＝90°，
∴S△ABC＝ab＝×9×40＝180(cm2)，
∴△ABC的面积是180 cm2.
【变式1】如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上．请你判断以AB，CD，EF＝2为边的三角形的形状．
由图，可得AB2＝42＋22＝20，CD2＝22＋22＝8.
∵EF2＝(2)2＝12，
∴CD2＋EF2＝12＋8＝20＝AB2，
∴以AB，CD，EF三条线段为边的三角形的形状为直角三角形．
【变式2】已知等腰△ABC的底边BC＝5，D是腰AB上一点，且CD＝4，BD＝3，求AD的长．
设AB＝AC＝a，
∵BC＝5，CD＝4，BD＝3，
∴BD2＋CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2＝AD2＋CD2，
∴a2＝(a－3)2＋42，
∴a＝，
∴AD＝－3＝.
13．(应用意识&运算能力)为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝17 m，AD＝8 m，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了∠ABC＝90°.
(1)请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定∠ABC＝90°的依据；
(2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？
(1)施工人员测量的是AC的距离．
依据：若AC＝15 m，则∠ABC＝90°.
在△ABC中，AB2＋BC2＝92＋122＝225，AC2＝152＝225，∴AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
(2)在△ADC中，AD2＋AC2＝82＋152＝289，DC2＝172＝289，
∴△ADC为直角三角形，
且∠DAC＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×9×12＋×8×15＝114，
∴114×110＝12 540(元).
答：该学校建成这块塑胶场地需花费12 540元．
