19．1 多边形内角和
知识点1 多边形的有关概念
1．下列各图中，是凸多边形的是( )
2．如图是__ __边形，它有__ __个内角，__ __条边，从一个顶点出发的对角线有__ __条．
知识点2 多边形的内角和与外角和
3．(广西北海期中)如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
4．已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是( )
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
知识点3 正多边形的内角或外角
5．(山东济南中考)若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是( )
A．正六边形 B．正七边形
C．正八边形 D．正九边形
6．(广西来宾月考)将一个正八边形与一个正六边形按如图所示放置，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，E为公共顶点，则∠FEG的度数为( )
A．40° B．35° C．30° D．25°
知识点4 四边形的不稳定性
7．下列图形不具有稳定性的是( )
易错易混点 忽视分类讨论出错
8．(广西百色期中)我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边AD的长为__ __．
9．下列关于多边形的说法不正确的是( )
A．内角和与外角和相等的多边形是四边形
B．十边形的内角和为1 440°
C．多边形的内角中最多有四个直角
D．十边形共有40条对角线
10．图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x的值为( )
A．135 B．120 C．112.5 D．112
11．(广西贺州期中)如图，在四边形纸片ABCD中，∠A＝80°，∠B＝75°，将纸片折叠，使点C，D落在AB边上的点C′，D′处，折痕为EF，则∠1＋∠2＝( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
12．(内蒙古赤峰中考)如图是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是( )
A．5 B．6 C．8 D．10
13．(广西南宁月考)一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．
14．请根据对话回答问题：
(1)多加的外角是__ __°；这个凸多边形的边数是__ __．
(2)求这个多边形的内角和及其对角线条数.
【母题P73练习T2】一个多边形的内角和是1 440°，求这个多边形的边数．
【变式1】已知一个多边形的内角和比外角和多900°，并且这个多边形各个内角的度数都相等．这个多边形的每个内角是多少度？
【变式2】已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°.
(1)求这个正多边形一个内角的度数；
(2)求这个正多边形的内角和．
15．(创新意识&运算能力)小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1 840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍．
(1)若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
(2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？19．1 多边形内角和
知识点1 多边形的有关概念
1．下列各图中，是凸多边形的是( D )
2．如图是__5__边形，它有__5__个内角，__5__条边，从一个顶点出发的对角线有__2__条．
知识点2 多边形的内角和与外角和
3．(广西北海期中)如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是( C )
A．6 B．7 C．8 D．9
4．已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是( C )
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
知识点3 正多边形的内角或外角
5．(山东济南中考)若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是( C )
A．正六边形 B．正七边形
C．正八边形 D．正九边形
6．(广西来宾月考)将一个正八边形与一个正六边形按如图所示放置，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，E为公共顶点，则∠FEG的度数为( C )
A．40° B．35° C．30° D．25°
由题意，可得∠ABE＝∠BEF＝(8－2)×180°÷8＝135°，∠DCE＝∠CEG＝(6－2)×180°÷6＝120°，∴∠CBE＝180°－135°＝45°，∠BCE＝180°－120°＝60°，∴∠BEC＝180°－∠CBE－∠BCE＝180°－45°－60°＝75°，∴∠FEG＝360°－(135°＋120°＋75°)＝30°.
知识点4 四边形的不稳定性
7．下列图形不具有稳定性的是( A )
易错易混点 忽视分类讨论出错
8．(广西百色期中)我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边AD的长为__或1__．
如图1所示，AD＝＝，如图2所示，AD＝1.
9．下列关于多边形的说法不正确的是( D )
A．内角和与外角和相等的多边形是四边形
B．十边形的内角和为1 440°
C．多边形的内角中最多有四个直角
D．十边形共有40条对角线
A.内角和与外角和相等的多边形是四边形，正确；B.十边形的内角和为1 440°，正确；C.多边形的内角中最多有四个直角，正确；D.十边形共有35条对角线，故错误．
10．图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x的值为( C )
A．135 B．120 C．112.5 D．112
根据题意，得x＋x＋9＋126＋120＋2x－120＋135＝(6－2)×180，
∴x＝112.5.
11．(广西贺州期中)如图，在四边形纸片ABCD中，∠A＝80°，∠B＝75°，将纸片折叠，使点C，D落在AB边上的点C′，D′处，折痕为EF，则∠1＋∠2＝( B )
A．40° B．50° C．60° D．70°
∵四边形ABCD中，∠A＝80°，∠B＝75°，∴∠C＋∠D＝360°－∠A－∠B＝205°，由折叠的性质，可得∠FC′D′＝∠C，∠C′D′E＝∠D，
∴∠FC′D′＋∠C′D′E＝∠C＋∠D＝205°.
∵∠FC′D′＋∠BC′F＝180°，∠C′D′E＋∠AD′E＝180°，
∴∠FC′D′＋∠BC′F＋∠C′D′E＋∠AD′E＝360°，∴∠BC′F＋∠AD′E＝155°.
∵∠B＋∠BC′F＋∠2＝180°，∠AD′E＋∠A＋∠1＝180°，∴∠B＋∠BC′F＋∠2＋∠AD′E＋∠A＋∠1＝360°，∴155°＋155°＋∠1＋∠2＝360°，∴∠1＋∠2＝50°.
12．(内蒙古赤峰中考)如图是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是( B )
A．5 B．6 C．8 D．10
如图，直线l，m相交于点A，则∠A＝60°.
∵正多边形的每个内角相等，
∴正多边形的每个外角也相等，∠1＝∠2＝(180°－60°)÷2＝60°，
∴n＝360°÷60°＝6.
13．(广西南宁月考)一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．
设这个多边形是n边形．
∵＝20，∴n2－3n－40＝0，
(n－8)(n＋5)＝0，解得n＝8，n＝－5(舍去)，
故多边形的边数为8.
不存在有18条对角线的多边形．
理由如下：∵＝18，∴n2－3n－36＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝9＋144＝153，
∴方程的根无法求出整数，
故这样的多边形不存在．
14．请根据对话回答问题：
(1)多加的外角是__44__°；这个凸多边形的边数是__13__．
(2)求这个多边形的内角和及其对角线条数.
(1)设这个凸多边形的边数为n.
根据题意，得2 024°－180°＜(n－2)×180°＜2 024°，解得12＜n＜13.
∵n为整数，∴n＝13，多加的外角是2 024°－(13－2)×180°＝2 024°－1 980°＝44°.
(2)由(1)知这个凸多边形的边数为13，
∴内角和为(13－2)×180°＝1 980°，对角线条数为13×(13－3)÷2＝65(条).
【母题P73练习T2】一个多边形的内角和是1 440°，求这个多边形的边数．
设所求多边形的边数为n，由题意，得
(n－2)×180°＝1 440°，解得n＝10.
答：多边形的边数为10.
【变式1】已知一个多边形的内角和比外角和多900°，并且这个多边形各个内角的度数都相等．这个多边形的每个内角是多少度？
设这个多边形的边数是n，由题意，得(n－2)×180°－360°＝900°，∴n＝9，∴这个多边形的每个内角是180°－360°÷9＝140°.
【变式2】已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°.
(1)求这个正多边形一个内角的度数；
(2)求这个正多边形的内角和．
(1)设这个正多边形的一个外角的度数为x°.
根据题意，得180－x＝3x＋20，解得x＝40，
180°－x°＝140°，
所以这个正多边形一个内角的度数140°；
(2)因为这个正多边形的一个外角的度数为40°，
所以这个正多边形边数＝360°÷40°＝9，所以这个正多边形的内角和是(9－2)×180°＝1 260°.
15．(创新意识&运算能力)小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1 840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍．
(1)若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
(2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
(1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，则(n－2)·180°＝1 840°－x，
n＝12……40°，
故这个多边形的边数是12.
(2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是x，则(n－2)·180°＝1 840°＋x，n＝12……40°.
180°－40°＝140°，
故漏算的那个内角是140度，这个多边形是十三边形．
