18．1 勾股定理
知识点1 勾股定理
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝5，则c的长为( A )
A．13 B．14 C．15 D．16
2．(广西柳州期中)如图，等腰三角形ABC的腰AB的长为13，底边BC的长为10，则这个等腰三角形底边上的高AD的长为( A )
A．12 B．10 C．8 D．6
3．(广西来宾月考)如图，在4×3的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长都是1，则线段AC与线段BC的大小关系为( A )
A．AC＜BC B．AC＞BC
C．AC＝BC D．无法确定
知识点2 勾股定理的证明
4．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为( C )
A．16 B．8 C．4 D．2
5．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形ABCD，则AD的长为__10__．
知识点3 勾股定理的应用
6．(广西南宁月考)为了提高学生动手能力，学校借助直角三角形花坛的一条直角边开辟出一个矩形实践基地，根据图中数据，可知该矩形实践基地的面积为( A )
A．48 m2 B．20 m2 C．60 m2 D．30 m2
7．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3(如图).以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数为( C )
A． B． C． D．4
8．(广西崇左月考)如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，S1，S2，S3，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则S1－S2＋S3－S4的值为__55__．
如图，∵图案由若干个正方形和直角三角形构成，
∴S1＝64＋a，S2＝a＋b，S3＝b＋c，S4＝c＋9.∴S1－S2＋S3－S4＝64＋a－(a＋b)＋b＋c－(c＋9)＝55.
易错易混点 忽视分类讨论出错
9．已知直角三角形的两条边长分别为3，4，求其周长p.
设直角三角形的第三条边长为x(x>0)，由题意，得32＋42＝x2或32＋x2＝42，解得x＝5或x＝，∴p＝3＋4＋5＝12或p＝3＋4＋＝7＋.
10．(广西钦州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝12，BD＝13，点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是( B )
A．6 B．5 C．13 D．12
如图，过点D作DE⊥BC于点E，则PD的最小值是DE的长.
∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，∴AD＝DE.
∵AB＝12，BD＝13，∴AD＝＝5，
∴DE＝5，即PD的最小值是5.
11．如图，点A(3，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴的正半轴于点B，则点B的坐标为__(0，4)__．
∵A(3，0)，C(－2，0)，∴AO＝3，AC＝5，
∴AB＝AC＝5，∵∠BOA＝90°，
∴BO＝＝＝4，∴B(0，4).
12．三角板是我们学习数学的好帮手．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，若AC＝2，求CD的长．
过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，
∠A＝60°，
AC＝2，∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∴BC＝＝＝2.
∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°，
∴BM＝BC＝，∴CM＝＝3.
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝，
∴CD＝CM－MD＝3.
【母题P57习题18.1T2】已知，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16.求△ABC的高AD的长．
如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵在△ABC中，AB＝AC＝17，
BC＝16，
∴BD＝BC＝8，
∴在直角△ABD中，由勾股定理，得
AD＝＝＝15(cm).
【变式1】如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，∠ABD＝90°，求AD的长.
在Rt△BCD中，∠C＝90°，
∴由勾股定理，得BD＝＝＝5，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∴由勾股定理，得AD＝＝＝13.
【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，AC＝6，点D是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，且DE⊥BC于点E，求DE的长．
∵∠BAC＝90°，BC＝10，AC＝6，
∴AB＝
＝＝8.
过点D作DN⊥AB，DM⊥AC，垂足分别为N，M，连接DA.
∵点D是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，
且DE⊥BC于点E，
∴DE＝DN＝DM，
∴DE×(AB＋AC＋AB)＝AB·AC，
即DE×(8＋6＋10)＝8×6，
解得DE＝2.
13．(创新意识&运算能力)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，求AP的长．
当∠APB＝90°时，如图1.
图1
∵AO＝BO＝＝1，
∴PO＝BO.
∵∠AOC＝60°，
∴∠BOP＝60°，
∴△BOP为等边三角形，
∴∠ABP＝60°，
∴∠BAP＝30°，
∴AP＝；
当∠ABP＝90°时，如图2，
图2
∵∠AOC＝∠BOP＝60°，
∴∠BPO＝30°，
∴BP＝＝＝.
在直角三角形ABP中，
AP＝＝；
当∠APB＝90°时，如图3.
∵AO＝BO，∠APB＝90°，
∴PO＝AO，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP＝AO＝1，
如图4中，当∠PAB＝90°时，
∴PA＝OA＝，
故AP的长为或或1.
18．1 勾股定理
知识点1 勾股定理
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝5，则c的长为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
2．(广西柳州期中)如图，等腰三角形ABC的腰AB的长为13，底边BC的长为10，则这个等腰三角形底边上的高AD的长为( )
A．12 B．10 C．8 D．6
3．(广西来宾月考)如图，在4×3的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长都是1，则线段AC与线段BC的大小关系为( )
A．AC＜BC B．AC＞BC
C．AC＝BC D．无法确定
知识点2 勾股定理的证明
4．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为( )
A．16 B．8 C．4 D．2
5．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形ABCD，则AD的长为__ __．
知识点3 勾股定理的应用
6．(广西南宁月考)为了提高学生动手能力，学校借助直角三角形花坛的一条直角边开辟出一个矩形实践基地，根据图中数据，可知该矩形实践基地的面积为( )
A．48 m2 B．20 m2 C．60 m2 D．30 m2
7．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3(如图).以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数为( )
A． B． C． D．4
8．(广西崇左月考)如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，S1，S2，S3，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则S1－S2＋S3－S4的值为__ __．
易错易混点 忽视分类讨论出错
9．已知直角三角形的两条边长分别为3，4，求其周长p.
10．(广西钦州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝12，BD＝13，点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是( )
A．6 B．5 C．13 D．12
11．如图，点A(3，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴的正半轴于点B，则点B的坐标为__ __．
12．三角板是我们学习数学的好帮手．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，若AC＝2，求CD的长．
【母题P57习题18.1T2】已知，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16.求△ABC的高AD的长．
【变式1】如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，∠ABD＝90°，求AD的长.
【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，AC＝6，点D是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，且DE⊥BC于点E，求DE的长．
13．(创新意识&运算能力)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，求AP的长．
