19．2 平行四边形
第2课时 平行四边形对角线的性质
知识点 平行四边形的对角线互相平分
1．若点O为 ABCD的对角线AC与BD的交点，且AO＋BO＝10 cm，则AC＋BD的长是( )
A．5 cm B．10 cm C．20 cm D．40 cm
2．(广西柳州月考)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为__ __．
3．(广西百色期中)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是__ __．
4．已知平行四边形ABCD 的对角线AC与BD相交于点O，且BD⊥AC，若AB＝6，AC＝8，则对角线BD的长是__ __．
易错易混点 忽视分类讨论出错
5．(广西来宾模拟)已知 ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB＝2，若点A的坐标为(－2，－3)，求点D的坐标．
6．(广西柳州期末)如图，在平行四边形内部选取一点O，使得OA＋OB＋OC＋OD最小，则O点位置在( )
A．AC边上靠近A
B．AC边上靠近C
C．AC与BD的交点
D．A，B，C，D中任意一点
7．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O.若BC＝5，∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，则BD的长度为( )
A．5 B．10 C．5 D．5
8．如图，已知平行四边形ABCD的周长为30 cm，对角线AC，BD相交于点O，如果OE⊥AC交边AD于点E，那么△DCE的周长为__ __cm.
9．(广西百色期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，求PQ的最小值．
【母题P79练习T1】 ABCD中，AC＝24 cm，BD＝38 cm，AD＝28 cm，若对角线AC与BD的交点为点O，求△OBC周长．
【变式】如图，在平行四边形ABCD中，AB≠AD，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，若△ABE的周长为12 cm，求 ABCD的周长．
10．(推理能力&运算能力)如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F，过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G.
(1)求证：BE＝DF；
(2)若∠ACB＝45°，解答下列问题：
①求证：AB＝BG；
②当CG＝2时，求DF的长．19．2 平行四边形
第2课时 平行四边形对角线的性质
知识点 平行四边形的对角线互相平分
1．若点O为 ABCD的对角线AC与BD的交点，且AO＋BO＝10 cm，则AC＋BD的长是( C )
A．5 cm B．10 cm C．20 cm D．40 cm
2．(广西柳州月考)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为__17__．
3．(广西百色期中)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是__1＜OA＜4__．
4．已知平行四边形ABCD 的对角线AC与BD相交于点O，且BD⊥AC，若AB＝6，AC＝8，则对角线BD的长是__4__．
易错易混点 忽视分类讨论出错
5．(广西来宾模拟)已知 ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB＝2，若点A的坐标为(－2，－3)，求点D的坐标．
当B点在A点的右边时，如图1.
∵AB与x轴平行且AB＝2，A(－2，－3)，
∴B(－2＋2，－3).
∵对角线AC的中点在坐标原点，
∴点A，C关于原点对称．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点B，D关于原点对称，∴D(0，3)；
当B点在A点的左边，如图2.
同理可得B(－2－2，－3)，则D(4，3)，
故点D的坐标为(0，3)或(4，3).
6．(广西柳州期末)如图，在平行四边形内部选取一点O，使得OA＋OB＋OC＋OD最小，则O点位置在( C )
A．AC边上靠近A
B．AC边上靠近C
C．AC与BD的交点
D．A，B，C，D中任意一点
如图，连接AC，BD.根据题意，可得AO＋CO≥AC，BO＋DO≥BD，当OA＋OB＋OC＋OD最小时，AO＋CO＝AC，BO＋DO＝BD，即A，O，C三点共线，B，O，D三点共线，此时O点为AC与BD的交点．
7．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O.若BC＝5，∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，则BD的长度为( A )
A．5 B．10 C．5 D．5
∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO＝DO，∴BD＝2BO.∵BC＝5，∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°－45°＝45°，
∴∠ABC＝∠BAC，∴AC＝BC＝5，∴AO＝CO＝AC＝.在Rt△BCO中，BO＝＝，∴BD＝5.
8．如图，已知平行四边形ABCD的周长为30 cm，对角线AC，BD相交于点O，如果OE⊥AC交边AD于点E，那么△DCE的周长为__15__cm.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC.
∵平行四边形ABCD的周长为30 cm，
∴AD＋CD＝15 cm，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△DEC的周长＝CD＋CE＋DE＝CD＋DE＋AE＝CD＋AD＝15 cm.
9．(广西百色期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，求PQ的最小值．
如图所示，设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′.
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝4，
∴AC＝4，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC＝2，
∴OP′＝2，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OP′＝4.
【母题P79练习T1】 ABCD中，AC＝24 cm，BD＝38 cm，AD＝28 cm，若对角线AC与BD的交点为点O，求△OBC周长．
如图所示，
∵在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC＝24 cm，BD＝38 cm，AD＝28 cm，
∴AO＝CO＝AC＝12 cm，BO＝BD＝19 cm，AD＝BC＝28 cm，
∴△BOC的周长＝BO＋CO＋BC＝12＋19＋28＝59(cm).
【变式】如图，在平行四边形ABCD中，AB≠AD，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，若△ABE的周长为12 cm，求 ABCD的周长．
∵ ABCD中，
∴点O平分BD，AC，即OB＝OD.
又OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝DE.
∴AE＋ED＝AE＋BE，
∴AB＋AD＝AB＋AE＋BE＝△ABE的周长＝12 cm，
∴ ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝2×12＝24(cm).
10．(推理能力&运算能力)如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F，过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G.
(1)求证：BE＝DF；
(2)若∠ACB＝45°，解答下列问题：
①求证：AB＝BG；
②当CG＝2时，求DF的长．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠OAF＝∠OCE.
在△OAF和△OCE中，
∴△OAF≌△OCE(ASA)，
∴AF＝CE，
∵AD＝BC，∴DF＝BE；
(2)①过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，
则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°.
∵∠ACB＝45°，
∴∠MAC＝∠NGC＝45°.
∵AB＝AE，
∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM.
∵AE⊥BG，
∴∠AHK＝90°＝∠BMK.又∠AKH＝∠BKM，
∴∠MAE＝∠NBG.
设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°＋α，∠BGA＝∠GCN＋∠GBC＝45°＋α，
∴∠BAG＝∠BGA，∴AB＝BG；
②∵∠BAG＝∠BGA，
∴AB＝BG，∴AE＝BG.
在△AME和△BNG中，
∴△AME≌△BNG(AAS)，
∴ME＝NG.
在等腰直角三角形CNG中，NG＝NC，
∴GC＝NG＝ME＝BE.
∵CG＝2，∴BE＝2，
∴DF＝BE＝2.
