19．2 平行四边形
第1课时 平行四边形边和角的性质
知识点1 平行四边形的定义
1．如图，在△ABC中，D，E，F分别在△ABC的三边上，且DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，则图中平行四边形有( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
知识点2 平行四边形的对边相等
2．已知：平行四边形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝7 cm，则这个平行四边形的周长为( C )
A．11 cm B．28 cm C．22 cm D．44 cm
3．(广西防城港防城区期中)如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠ABC的平分线BE交CD边于点E，则DE的长是( D )
A．6 B．5 C．3 D．2
知识点3 平行四边形的对角相等
4．在平行四边形ABCD中，如果∠A＝50°，那么∠C＝( B )
A．40° B．50°
C．130° D．不能确定
5．平行四边形的四个内角之比为2∶3，则其各角的度数依次为__72°，108°，72°，108°__．
设平行四边形的两个相邻的内角分别为2x°，3x°.∵平行四边形的对边互相平行，∴2x°＋3x°＝180°，∴x＝36，∴2x°＝72°，3x°＝108°.∵平行四边形的对角相等，∴该平行四边形的另外两个角分别为72°，108°，∴该平行四边形的各角的度数依次为72°，108°，72°，108°.
易错易混点 忽视平行线之间的距离处处相等出错
6．在图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是( D )
A．平行四边形的面积最大
B.三角形的面积最大
C．梯形的面积最大
D．三个图形的面积都相等
设两平行线间的距离为h，由图，可知平行四边形的面积为4 h，三角形的面积为×8 h＝4 h，梯形的面积为(2＋6)h＝4 h，故三个图形的面积都相等．
7．如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若 S△APD＝a，S△BQC＝b，S ABCD＝c，求阴影部分的面积．
连接E，F两点，过点E作EM⊥DC于点M.
∵S△DEC＝DC·EM，S ABCD＝DC·EM＝c，
∴S△DEC＝c.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC＝S△BCF，
∴S△EFQ＝S△BCQ，
同理：S△EFD＝S△ADF，∴S△EFP＝S△ADP.
∵S△APD＝a，S△BQC＝b，
∴S四边形EPFQ＝a＋b，
故阴影部分的面积为S△DEC－S四边形EPFQ＝c－a－b.
8．(广西柳州期中)如图，在 ABCD中，点E在BA的延长线上，CE⊥BE，如果∠EAD＝50°，那么∠BCE的度数为( C )
A．50° B．45° C．40° D．35°
∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠EAD＝50°，∴AD∥BC，
∴∠EBC＝∠EAD＝50°，∴∠BCE＝90°－50°＝40°.
9．(浙江中考)如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，BD＝2.过点A作AE⊥BC交BC于点E，记BE长为x，BC长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是( C )
A．x＋y B．x－y
C．xy D．x2＋y2
过D作DH⊥BC，交BC延长线于H.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD∥BC，∵AE⊥BC，DH⊥BC，∴AE＝DH，∴Rt△DCH≌Rt△ABE(HL)，∴CH＝BE＝x，
∵BC＝y，∴EC＝BC－BE＝y－x，BH＝BC＋CH＝y＋x，∵AE2＝AC2－EC2，DH2＝BD2－BH2，∴22－(y－x)2＝(2)2－(y＋x)2，∴xy＝2.
10．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，且BC＝2AB＝2，当∠B＝60°时，DE的长为____．
∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB＝2，∠B＝60°，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝BC＝1，∠ADC＝∠B＝60°.∵点E是BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝1，∴AB＝BE，CD＝CE，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝1，∠DAE＝∠AEB＝60°.
∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠ADE＝∠CDE＝∠ADC＝30°，∴∠AED＝180°－∠DAE－∠ADE＝90°，∴DE＝＝＝.
11．(广西北海期中)如图所示， ABCD中，∠A＝122°，AD＝2AB，E为BC中点，连接DE.求∠ADE的大小．
∵ ABCD中，∠A＝122°，
∴AD∥BC，AB＝DC，∠C＝∠A＝122°.
∵AD＝2AB，
∴DC＝BC.
∵E为BC中点，
∴BE＝CE＝BC，
∴CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝(180°－∠C)＝(180°－122°)＝29°.
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED＝29°.
12．(广西防城港防城区期中)已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，∠AFB＝∠CED.
(1)请判断BF，DE的位置关系，并说明理由；
(2)求证：△ABF≌△CDE.
(1)BF∥DE.理由如下：
在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF.
∵∠AFB＝∠CED，
∴∠CBF＝∠CED.
∴BF∥DE；
(2)在 ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C，
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(AAS).
【母题P78练习T2】在 ABCD中，已知AB＝a，BC＝b，求这个平行四边形的周长．
在 ABCD中，AB＝a，BC＝b，
∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，
∴AB＋BC＋CD＋AD＝a＋b＋a＋b＝2a＋2b.
即 ABCD的周长为2a＋2b.
【变式1】如图，在 ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.求证：DF＝BE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴∠CDF＝∠ABE，
∵CF⊥BD，AE⊥BD，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°.
在△CFD和△AEB中，
∴△CFD≌△AEB(AAS)，
∴DF＝BE.
【变式2】如图，已知平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E.
(1)求证：CD＝CE；
(2)若点E是BC的中点，∠C＝110°，求∠DAE的度数．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC.
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠DEC＝∠EDC，
∴CD＝CE；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠B＝180°－110°＝70°.
∵BE＝CE，CE＝CD，
∴AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA＝(180°－70°)÷2＝55°，
∴∠DAE＝＝∠BEA＝55°.
13．(推理能力)如图，在 ABCD中，点F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E，AB＝BE，∠E＝60°，EF＝6.
(1)求证：△AFD≌△EFC；
(2)连接BF，请分别求出 ABCD的面积和周长，并写出你的求解过程．
(1)∵F为CD的中点，
∴DF＝CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，
在△AFD和△EFC中，
∴△AFD≌△EFC(AAS)；
(2)∵AB＝BE，∠E＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
∵△AFD≌△EFC，
∴AF＝EF＝6，
∴BF⊥AE，
∴BE＝2EF＝12，
∴BF＝＝6，
∴S△ABE＝AE·BF＝×12×6＝36.
∵△AFD≌△EFC，
∴S△AFD＝S△EFC，
∴S四边形ABCD＝S△ABE＝36.
∵AD＝CE＝BC，
∴BC＝BE＝6，
∴AB＋BC＝12＋6＝18，
∴平行四边形ABCD的周长为18×2＝36.19．2 平行四边形
第1课时 平行四边形边和角的性质
知识点1 平行四边形的定义
1．如图，在△ABC中，D，E，F分别在△ABC的三边上，且DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，则图中平行四边形有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
知识点2 平行四边形的对边相等
2．已知：平行四边形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝7 cm，则这个平行四边形的周长为( )
A．11 cm B．28 cm C．22 cm D．44 cm
3．(广西防城港防城区期中)如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠ABC的平分线BE交CD边于点E，则DE的长是( )
A．6 B．5 C．3 D．2
知识点3 平行四边形的对角相等
4．在平行四边形ABCD中，如果∠A＝50°，那么∠C＝( )
A．40° B．50°
C．130° D．不能确定
5．平行四边形的四个内角之比为2∶3，则其各角的度数依次为__ __．
易错易混点 忽视平行线之间的距离处处相等出错
6．在图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是( )
A．平行四边形的面积最大
B.三角形的面积最大
C．梯形的面积最大
D．三个图形的面积都相等
7．如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若 S△APD＝a，S△BQC＝b，S ABCD＝c，求阴影部分的面积．
8．(广西柳州期中)如图，在 ABCD中，点E在BA的延长线上，CE⊥BE，如果∠EAD＝50°，那么∠BCE的度数为( )
A．50° B．45° C．40° D．35°
9．(浙江中考)如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，BD＝2.过点A作AE⊥BC交BC于点E，记BE长为x，BC长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是( )
A．x＋y B．x－y
C．xy D．x2＋y2
10．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，且BC＝2AB＝2，当∠B＝60°时，DE的长为__ __．
11．(广西北海期中)如图所示， ABCD中，∠A＝122°，AD＝2AB，E为BC中点，连接DE.求∠ADE的大小．
12．(广西防城港防城区期中)已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，∠AFB＝∠CED.
(1)请判断BF，DE的位置关系，并说明理由；
(2)求证：△ABF≌△CDE.
【母题P78练习T2】在 ABCD中，已知AB＝a，BC＝b，求这个平行四边形的周长．
【变式1】如图，在 ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.求证：DF＝BE.
【变式2】如图，已知平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E.
(1)求证：CD＝CE；
(2)若点E是BC的中点，∠C＝110°，求∠DAE的度数．
13．(推理能力)如图，在 ABCD中，点F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E，AB＝BE，∠E＝60°，EF＝6.
(1)求证：△AFD≌△EFC；
(2)连接BF，请分别求出 ABCD的面积和周长，并写出你的求解过程．
