19．2 平行四边形
第4课时 平行四边形的判定(2)
知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1．在四边形ABCD中，已知AB＝8，BC＝10，当CD＝__ __，AD＝__ __时，四边形ABCD是平行四边形．
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠D＝120°，则∠C＝__ __．
3．一个四边形边长依次为a，b，c，d，且(a－c)2＋|b－d|＝0，则这个四边形为__ __．
知识点2 对角线互相平分的四边形是平行四边形
4．(广西贵港期末)阅读以下作图步骤：①任意画两条相交直线m，n，记交点为O；②以点O为中心，分别在直线m，n上截取OB与OD，OA与OC，使OB＝OD，OA＝OC；③顺序连接所得的四点得到四边形ABCD.根据以上作图，可以推断四边形ABCD的形状是__ __．
5．四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝80°，则∠ADC＝__ __度．
易错易混点 忽视分类讨论出错
6．(广西柳州期末)已知以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且△ABC为直角三角形，AB＝4，AC＝3，求AD的长．
7．(广西防城港防城区期中)如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB∥DC，AD＝BC
B．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC
C．AB＝DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD
8．(广西南宁期末)在平面直角坐标系中，已知A(0，－3)，B(1，0)，若A，B，O，C四点构成平行四边形，那么点C的坐标不可能是( )
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(1，－3)
9．如图，在四边形ABCD中，请适当添加条件后，使四边形ABCD是平行四边形，你添加的条件是__ __．
10．(广西玉林期末)如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD.求证：四边形ADCE是平行四边形．
【母题P85习题19.2T9】
已知：如图，在 ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形．
【变式1】如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．
【变式2】如图，已知∠A＝∠D，AB＝DC，AC，BD相交于O，
(1)求证：△AOB≌△DOC；
(2)若AB＝BC，∠A＝32°，求∠AOB的度数；
(3)作△BDC关于直线BC的对称图形△BEC，求证：四边形ABEC是平行四边形．
11．(推理能力&运算能力)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位长度的速度运动．以CP，CO为邻边构造 PCOD.在线段OP延长线上有一动点E，且满足PE＝AO.
(1)当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
(2)当点P运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？19．2 平行四边形
第4课时 平行四边形的判定(2)
知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1．在四边形ABCD中，已知AB＝8，BC＝10，当CD＝__8__，AD＝__10__时，四边形ABCD是平行四边形．
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠D＝120°，则∠C＝__60°__．
3．一个四边形边长依次为a，b，c，d，且(a－c)2＋|b－d|＝0，则这个四边形为__平行四边形__．
知识点2 对角线互相平分的四边形是平行四边形
4．(广西贵港期末)阅读以下作图步骤：①任意画两条相交直线m，n，记交点为O；②以点O为中心，分别在直线m，n上截取OB与OD，OA与OC，使OB＝OD，OA＝OC；③顺序连接所得的四点得到四边形ABCD.根据以上作图，可以推断四边形ABCD的形状是__平行四边形__．
5．四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝80°，则∠ADC＝__80__度．
易错易混点 忽视分类讨论出错
6．(广西柳州期末)已知以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且△ABC为直角三角形，AB＝4，AC＝3，求AD的长．
当∠BAC＝90°时，BC2＝AB2＋AC2＝42＋32＝25，∴BC＝5.
①当BC为对角线时，四边形ACD1B为矩形，
∴AD1＝BC＝5；
②当AB为对角线时，AD2＝BC＝5；
③当AC为对角线时，AD3＝BC＝5；
当∠ACB＝90°时，BC2＝AB2－AC2＝42－32＝7，
∴BC＝.
①当AB为对角线时，AD1＝BC＝；
②当AC为对角线时，AD2＝BC＝；
③当BC为对角线时，AD＝AD＋D1D＝()2＋62＝43，∴AD3＝.
综上所述，AD的长为5或或.
7．(广西防城港防城区期中)如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( A )
A．AB∥DC，AD＝BC
B．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC
C．AB＝DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD
选项A，∵AB∥DC，AD＝BC，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项A符合题意；选项B，∵∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；选项C，∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；选项D，∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意．
8．(广西南宁期末)在平面直角坐标系中，已知A(0，－3)，B(1，0)，若A，B，O，C四点构成平行四边形，那么点C的坐标不可能是( B )
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(1，－3)
如图所示，
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，∴可以分以下三种情况分别求出C点的坐标：如图所示，①当AC∥BO，AO∥BC时，C点的坐标为(1，－3)；②当AB∥CO，AC∥BO时，C点的坐标为(－1，－3)；③当AB∥CO，AO∥BC时，C点的坐标为(1，3).
9．如图，在四边形ABCD中，请适当添加条件后，使四边形ABCD是平行四边形，你添加的条件是__AB＝CD，AD＝BC或AB＝CD，AB∥CD或AD＝BC，AD∥BC或OA＝OC，OB＝OD__．
10．(广西玉林期末)如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD.求证：四边形ADCE是平行四边形．
∵CE∥AB，
∴∠FAD＝∠FCE，∠ADF＝∠CEF，
∵F是AC中点，∴AF＝CF.
在△AFD与△CFE中，
∴△AFD≌△CFE(AAS)，∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形．
【母题P85习题19.2T9】
已知：如图，在 ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB綊DC，∠B＝∠D，∠DAB＝∠DCB，
∵AE，CF分别是∠DAB，∠DCB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，∠DCF＝∠BCF＝∠DCB.
∵AB∥DC，∴∠DEA＝∠BAE，∠DCF＝∠BFC，
∴∠DEA＝∠DAE，∠BFC＝∠BCF，
∴DE＝DA＝BC＝BF，
∴DC－DE＝AB－BF，即EC＝AF.
又∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
【变式1】如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．
(方法一)∵AB∥DE，∴∠BAF＝∠EDC.
在△AFB和△DCE中，
∴△AFB≌△DCE(SAS)，∴FB＝CE，
∵AF＝DC，∴AF＋FC＝FC＋DC，∴AC＝DF.
在△ACB和△DFE中，
∴△ACB≌△DFE(SAS)，∴BC＝EF，
∴四边形BCEF是平行四边形．
(方法二)∵AB∥DE，∴∠BAF＝∠EDC.
在△AFB和△DCE中，
∴△AFB≌△DCE(SAS)，
∴FB＝CE，∠AFB＝∠DCE，
∴∠BFC＝∠ECF，∴FB∥CE，
又∵FB＝CE，∴四边形BCEF是平行四边形．
【变式2】如图，已知∠A＝∠D，AB＝DC，AC，BD相交于O，
(1)求证：△AOB≌△DOC；
(2)若AB＝BC，∠A＝32°，求∠AOB的度数；
(3)作△BDC关于直线BC的对称图形△BEC，求证：四边形ABEC是平行四边形．
(1)∵∠A＝∠D，AB＝DC，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC(AAS)
(2)∵AB＝BC，∠A＝32°，
∴∠ACB＝∠A＝32°，
∵△AOB≌△DOC(AAS)，∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝32°，
∴∠AOB＝∠OCB＋∠OBC＝64°.
(3)∵△AOB≌△DOC，∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC.
∵∠A＝∠D，AB＝DC，∴△ABC≌△DCB，∴AC＝BD，∵△BDC，△BEC关于直线BC对称，
∴DC＝CE＝AB，BD＝BE，∴AC＝BE，
∴四边形ABEC是平行四边形．
11．(推理能力&运算能力)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位长度的速度运动．以CP，CO为邻边构造 PCOD.在线段OP延长线上有一动点E，且满足PE＝AO.
(1)当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
(2)当点P运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？
(1)连接CD交AE于F.
∵四边形PCOD是平行四边形，∴CF＝DF，OF＝PF.
∵PE＝AO，
∴AF＝EF，又CF＝DF，
∴四边形ADEC为平行四边形；
(2)当点P运动的时间为秒时，OP＝，OC＝3，则OE＝，由勾股定理，得AC2＝OA2＋OC2＝18，CE2＝OC2＋OE2＝，
∴AC＝3，CE＝.
∵四边形ADEC为平行四边形，
∴周长为(3＋)×2＝6＋3.
