19．2 平行四边形
第5课时 三角形的中位线
知识点 三角形的中位线定理
1．在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，且DE＝5，则BC边的长为( )
A．8 B．9 C．10 D．12
2．(广西钦州期末)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝17°，∠ACB＝91°，则∠FEG等于( )
A．36° B．72° C．74° D．37°
3．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E，F分别是AC，AD的中点，连接EF，已知BC＝12，则EF的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．(海南中考)如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝40 cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为__ __cm.
易错易混点 忽视平行四边形的性质运用出错
5．(广西玉林期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD＝AB，连接DE，DF.
(1)求证：AF与DE互相平分；
(2)若BC＝5，求DF的长．
6．(广西崇左模拟)如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，下列各值：①线段MN的长；②△PMN的周长；③△PMN的面积；④四边形ABNM的面积；⑤∠APB的大小．其中随点P的移动而不变的是( )
A．①②③ B．①②③④
C．①②③④⑤ D．①③④
7.如图，AD为△ABC中∠BAC的外角平分线，BD⊥AD于D，E为BC中点，DE＝5，AC＝3，则AB长为__ __．
8．(广西玉林期末)如图，已知Rt△ABC，延长直角边BC至点D，使BD＝6，E为直角边AC上的点，且AE＝2，连接ED，P，Q分别为AB，ED的中点，连接PQ，则PQ＝__ __.
9．(广西桂林期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在格点上，点D，E分别是线段AC，BC的中点；
(1)请判断图中的△ABC是不是直角三角形？并说明理由；
(2)求线段DE的长．
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，AB＝6，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，DF的中点，连接GH.设点F运动的时间为t秒．
(1)判断GH与AD的位置关系和数量关系，并求出GH的长；
(2)若CD＝8，点F由点A向点C匀速运动的过程中，求线段GH所扫过区域的面积．
【母题P85习题19.2T14】已知：点E，F分别是 ABCD的边AD，BC上的点，且AE＝BF，点G是AF与BE的交点，点H是CE与DF的交点．求证：GH∥BC，GH＝BC.
【变式1】在等腰三角形ABC中，∠BAC＝80°，AB＝AC＝4，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F.
(1)求∠AEF的度数；
(2)若G是BC的中点，连接FG，求FG的长．
【变式2】如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上一点，且CF＝3BF，连接DB，EF.若∠ACB＝90°，AC＝12，DE＝4.
(1)求证：DE＝BF；
(2)求四边形DEFB的周长．
11．(应用意识&推理能力)定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形ABCD中，点E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，△EFG为等边三角形.
(1)求证：四边形ABCD是“等对边四边形”；
(2)若∠BAC＋∠BDC＝180°，求∠DBC的度数．
12．(应用意识&推理能力)如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点．对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ.若D是AB的中点，DE＝BC，则E是AC的中点；
Ⅱ.若DE∥BC，DE＝BC，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ.若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点．
(1)小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题．
他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点E，从而直观判断E不一定是AC的中点．
小明尺规作图的方法步骤如下：
①在图2中，作边BC的垂直平分线，交BC于点M，
②在图2中，以点D为圆心，以BM的长为半径画弧与边AC交于点E和E′.
请你在图2中完成以上作图．
(2)小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明．19．2 平行四边形
第5课时 三角形的中位线
知识点 三角形的中位线定理
1．在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，且DE＝5，则BC边的长为( C )
A．8 B．9 C．10 D．12
2．(广西钦州期末)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝17°，∠ACB＝91°，则∠FEG等于( D )
A．36° B．72° C．74° D．37°
如图，
延长FG交AB于点M.∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∠DAC＝17°，∠ACB＝91°，∴GF∥AD，GF＝AD，GE∥BC，GE＝BC，GE＝GF，∴∠FEG＝∠EFG，∠DAC＝∠FGC＝∠AGM＝17°，∠AGE＝∠ACB＝91°，∴∠MGE＝∠AGE－∠AGM＝∠FEG＋∠EFG＝2∠FEG＝91°－17°＝74°，解得∠FEG＝37°.
3．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E，F分别是AC，AD的中点，连接EF，已知BC＝12，则EF的长为( A )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．(海南中考)如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝40 cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为__80__cm.
如图所示，
∵O是AB的中点，OM垂直于地面，BE垂直于地面，∴OM是△ABE的中位线，
∴BE＝2OM＝2×40＝80(cm)，另一端B离地面的高度为80 cm.
易错易混点 忽视平行四边形的性质运用出错
5．(广西玉林期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD＝AB，连接DE，DF.
(1)求证：AF与DE互相平分；
(2)若BC＝5，求DF的长．
(1)连接EF，AE.
∵点E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB.
又∵AD＝AB，∴EF＝AD.
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∴AF与DE互相平分．
(2)在Rt△ABC中，
∵E为BC的中点，BC＝5，∴AE＝BC＝.
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF＝AE＝.
6．(广西崇左模拟)如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，下列各值：①线段MN的长；②△PMN的周长；③△PMN的面积；④四边形ABNM的面积；⑤∠APB的大小．其中随点P的移动而不变的是( D )
A．①②③ B．①②③④
C．①②③④⑤ D．①③④
∵A，B为定点，∴AB长为定值．∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝AB为定值，故①正确；∵点A，B为定点，定直线l∥AB，∴P到AB的距离为定值，∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，故③正确；当P点移动时，PA＋PB的长发生变化，∴△PAB的周长发生变化，故②错误；∵直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，∴四边形ABNM的面积不发生变化，故④正确；当P点移动时，∠APB发生变化，故⑤错误；∴随点P的移动而不变的是①③④.
7.如图，AD为△ABC中∠BAC的外角平分线，BD⊥AD于D，E为BC中点，DE＝5，AC＝3，则AB长为__7__．
延长BD，CA交于点H，在△ADH和△ADB中，
∴△ADH≌△ADB(ASA)，∴BD＝DH，AB＝AH，∵BD＝DH，BE＝EC，∴CH＝2DE＝10，
∴AH＝CH－AC＝7，∴AB＝AH＝7.
8．(广西玉林期末)如图，已知Rt△ABC，延长直角边BC至点D，使BD＝6，E为直角边AC上的点，且AE＝2，连接ED，P，Q分别为AB，ED的中点，连接PQ，则PQ＝____.
连接AD，取AD中点K，连接PK，QK.∵P，Q分别为AB，ED的中点，
∴PK是△ABD的中位线，KQ是△DAE的中位线，∴PK∥BC，PK＝BD，KQ∥AC，KQ＝AE，
∵AC⊥BC，∴PK⊥KQ.∵BD＝6，AE＝2，
∴PK＝×6＝3，KQ＝×2＝1，
∴PQ2＝PK2＋KQ2＝10，∴PQ＝.
9．(广西桂林期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在格点上，点D，E分别是线段AC，BC的中点；
(1)请判断图中的△ABC是不是直角三角形？并说明理由；
(2)求线段DE的长．
(1)△ABC是直角三角形．理由如下：
由题意理，得AC2＝12＋32＝10，BC2＝12＋32＝10，AB2＝22＋42＝20，
∴AC2＋BC2＝10＋10＝20＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
(2)由(1)，得AB2＝20，而AB＞0，
∴AB＝2.
∵D，E分别是线段AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝.
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，AB＝6，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，DF的中点，连接GH.设点F运动的时间为t秒．
(1)判断GH与AD的位置关系和数量关系，并求出GH的长；
(2)若CD＝8，点F由点A向点C匀速运动的过程中，求线段GH所扫过区域的面积．
(1)∵G，H分别是AF，DF的中点，
∴GH∥AD，且GH＝AD.
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∵∠B＝45°，AB＝6，∴AD＝6，∴GH＝3；
(2)线段GH所扫过区域是以AC，AD为边的平行四边形，∴平行四边形的两边分别为5，3.
当F是AC的中点时，平行四边形的高为CD.
∵CD＝8，∴CD＝4，∴S＝4×3＝12，
故线段GH所扫过区域的面积为12.
【母题P85习题19.2T14】已知：点E，F分别是 ABCD的边AD，BC上的点，且AE＝BF，点G是AF与BE的交点，点H是CE与DF的交点．求证：GH∥BC，GH＝BC.
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
又∵AE＝BF，∴ED＝FC，
∴四边形AEFB、四边形EDCF是平行四边形，
∴点G是BE的中点，点H是EC的中点，
∴GH是△EBC的中位线，
∴GH∥BC，GH＝BC.
【变式1】在等腰三角形ABC中，∠BAC＝80°，AB＝AC＝4，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F.
(1)求∠AEF的度数；
(2)若G是BC的中点，连接FG，求FG的长．
(1)∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.
∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠FEC，∴EF＝CF.
∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC＋∠ACD＝90°，∠AEF＋∠FEC＝90°，
∴∠EAC＝∠AEF，
∵∠BAC＝80°，AB＝AC＝4，
∴∠ACB＝∠ABC＝50°.
∵EF∥BC，∴∠AFE＝50°，
∴∠AEF＝∠EAC＝65°；
(2)∵∠EAC＝∠AEF，∴AF＝EF，
∴AF＝CF.
∵G是BC的中点，∴GF是△ABC的中位线，
∴FG＝AB＝×4＝2.
【变式2】如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上一点，且CF＝3BF，连接DB，EF.若∠ACB＝90°，AC＝12，DE＝4.
(1)求证：DE＝BF；
(2)求四边形DEFB的周长．
(1)∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝3BF，∴BF＝BC，∴DE＝BF；
(2)∵点D是AC的中点，AC＝12，∴CD＝6.
∵DE＝4，∴BC＝8，
由勾股定理，得DB2＝CD2＋BC2＝62＋82＝100，
∴DB＝10.
∵DE＝BF，DE∥BC，
∴四边形DEFB平行四边形，
∴四边形DEFB的周长＝2×(4＋10)＝28.
11．(应用意识&推理能力)定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形ABCD中，点E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，△EFG为等边三角形.
(1)求证：四边形ABCD是“等对边四边形”；
(2)若∠BAC＋∠BDC＝180°，求∠DBC的度数．
(1)∵△EFG为等边三角形，
∴EG＝FG.
∵点E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，
∴EG是△CBA的中位线，FG是△BCD的中位线，∴CD＝2FG，AB＝2EG，
∴CD＝AB，
∴四边形ABCD是“等对边四边形”；
(2)过B作BM⊥CA交CA延长线于M，过C作CN⊥BD于N.
∵∠BAC＋∠BDC＝180°，∠BAC＋∠BAM＝180°，
∴∠BAM＝∠CDN.
∵∠AMB＝∠DNC＝90°，AB＝DC，
∴△BAM≌△CDN(AAS)，
∴BM＝CN.
∵BC＝CB，
∴Rt△BCM≌Rt△CBN(HL)，
∴∠DBC＝∠ACB.
∵EG是△CBA的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EG∥AB，FG∥CD，
∴∠CEG＝∠BAC，∠BFG＝∠BDC.
∵∠BAC＋∠BDC＝180°，
∴∠CEG＋∠BFG＝180°.
∵△EFG是等边三角形，
∴∠EFG＝∠FEG＝60°.
∵∠BFG＋∠EFG＋∠EFD＋∠CEG＋∠FEG＋∠FEA＝180°＋180°，
∴∠EFD＋∠FEA＝60°，
∴∠DBC＋∠ACB＝60°，
∴∠DBC＝×60°＝30°.
12．(应用意识&推理能力)如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点．对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ.若D是AB的中点，DE＝BC，则E是AC的中点；
Ⅱ.若DE∥BC，DE＝BC，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ.若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点．
(1)小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题．
他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点E，从而直观判断E不一定是AC的中点．
小明尺规作图的方法步骤如下：
①在图2中，作边BC的垂直平分线，交BC于点M，
②在图2中，以点D为圆心，以BM的长为半径画弧与边AC交于点E和E′.
请你在图2中完成以上作图．
(2)小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明．
(1)所画图形如图．
(2)真命题为命题Ⅱ.
证明：如图，过点E作EM∥AB交BC边于点M，连接DM，
又∵DE∥BC，∴四边形EDBM是平行四边形，
∴BD＝EM，DE＝BM，
又∵DE＝BC，∴DE＝BM＝CM，
∴四边形DECM是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
∴DM＝CE，DM∥CE，∴DM∥AE，
又∵EM∥AD，
∴四边形ADME是平行四边形，
∴AD＝EM，DM＝AE，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴D，E分别是AB，AC的中点．
【一题多解】真命题为命题Ⅲ.
证明：如图，延长ED至点F，使DF＝DE，连接BF，
∵D是AB边的中点，
∴AD＝BD.
又∵∠ADE＝∠BDF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴AE＝BF，∠AED＝∠BFD，∴AC∥BF，
∵EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，
∴BF＝CE，
∴CE＝AE，
∴E是AC的中点．
