19.3.1．矩形
第1课时 矩形的性质
知识点1 矩形的定义
1．如图，在 ABCD中，请添加一个条件：__∠A＝90°(答案不唯一)__，使得 ABCD成为矩形．
知识点2 矩形的性质
2．(广西钦州期末)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长为( B )
A．4 B．8 C．4 D．4
3．如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是BC，DC上的点，E，F分别是AP，PQ的中点．BC＝12，DQ＝5，在点P从B移动到C(点Q不动)的过程中，则线段EF＝__6.5__．
如图，
连接AQ.∵E，F分别是AP，QP的中点，则EF为△APQ的中位线，∴EF＝AQ＝×＝6.5.
知识点3 直角三角形斜边上的中线的性质
4．(广西梧州期末)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，若AC＝4，则BD的长为( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，AD⊥BC于点D，E 为AC的中点，DE＝5，则AD＝( B )
A．10 B．8
C．6 D．4
6．(广西百色期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，点F为DE的中点，连接BF.若AB＝10，则BF的长为__2.5__．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，
∵CD为中线，∴CD＝AB＝5.
∵F为DE中点，BE＝BC，
∴点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，∴BF＝CD＝2.5.
易错易混点 忽视分类讨论出错
7．(广西北海期末)如图，矩形ABCD中，CD＝4，∠CBD＝30°.一动点P从B点出发沿对角线BD方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿DC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒(t＞0).过点P作PE⊥BC于点E，连接EQ，PQ.
(1)求证：PE＝DQ；
(2)当t为何值时，△PQE为直角三角形？请说明理由．
(1)∵PE⊥BC，
∴∠BEP＝90°.
在Rt△BEP中，BP＝2t，
∵∠CBD＝30°，∴PE＝t.
又∵DQ＝t，∴PE＝DQ；
(2)①当∠EPQ＝90°时，四边形EPQC为矩形，
∴PE＝QC.
∵PE＝t，QC＝4－t，
∴t＝4－t，即t＝2；
②当∠PQE＝90°时，∠DPQ＝∠PQE＝90°，
在Rt△DPQ中，∠PQD＝90°－60°＝30°，
∴DQ＝2DP.
∵DQ＝t，DP＝8－2t
∴t＝2(8－2t)，∴t＝，
③当∠PEQ＝90°时，此种情况不存在，
综上所述，当t＝2或t＝时，△PQE为直角三角形．
8．(广西来宾期末)如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(1，3)，则AC的长是( C )
A．3 B．2
C． D．4
连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是(1，3)，
∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理，
得OB＝＝.
∵四边形OABC是矩形，
∴AC＝OB，
∴AC＝.
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是( C )
A．2 B．4 C． D．2
如图所示，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE.当点F在EC上除点C，E的位置处时，有DP＝FP.由中位线定理，可知P1P∥CE且P1P＝CF.
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，∴△CBE，△ADE，△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°，∴∠DP2P1＝90°，∴∠DP1P2＝45°，∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角三角形BCP1中，CP1＝BC＝1，
∴BP1＝，∴PB的最小值是.
10．(广西玉林期末)如图，矩形ABCD内有一点P，连接AP，DP，CP，延长CP交AB于点E，若∠APD＝90°，AD＝8，CP＝CD＝6，则AE的长是____．
如图，
延长AP交BC于F.∵∠APD＝90°，∴∠FPD＝90°，∴∠CPF＋∠CPD＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝8，∴∠EAP＋∠DAP＝∠ADP＋∠DAP＝90°，∴∠EAP＝∠ADP.∵CP＝CD＝6，∴∠CPD＝∠CDP，∴∠CPF＝∠ADP＝∠EAP.∵∠EPA＝∠CPF，∴∠EAP＝∠APE，∴AE＝PE，∵BC2＋BE2＝CE2，∴82＋(6－AE)2＝(6＋AE)2，解得AE＝.
11．(江苏淮安中考)已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F在BD上，BE＝DF.求证：△ABE≌△CDF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
【母题P97习题19.3T2】
已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E.
(1)若∠DAE＝2∠BAE，求∠EAC；
(2)若BE∶ED＝1∶3，AB＝1，求AD.
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AO＝OC，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA.
∵∠DAE＝2∠BAE，
∴∠BAE＝30°，∠DAE＝60°.
∵AE⊥BD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴∠EAC＝∠DAE－∠OAD＝30°；
(2)∵BE∶ED＝1∶3，OB＝OD，
∴BE＝OE.
∵AE⊥BD，∴AB＝AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝1，
∴BD＝2OB＝2，
∴AD＝＝＝.
【变式1】如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BO于E，OF⊥AD于F，已知OF＝3 cm，且BE∶ED＝1∶3，求BD的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB＝OD，OF⊥AD，
∴AF＝DF，∴OF是△ABD的中位线，
∴AB＝2OF＝6 cm.
∵BE∶ED＝1∶3，∴OE＝BE.
∵AE⊥BO，∴OA＝AB＝6 cm，
∴BD＝2OB＝2OA＝12 cm.
【变式2】如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，连接EC，F为BE的中点，G为BC的中点，连接FG.已知AB＝9，BC＝21.
(1)求AE的长．
(2)求FG的长．
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，
∵AB＝9，∴AE＝9；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝DC，∠D＝90°，
∵BC＝21，AE＝9，
∴DE＝AD－AE＝21－9＝12.
在Rt△EDC中，CE＝＝＝15.
∵F为BE的中点，G为BC的中点，
∴FG＝EC＝.
12．(运算能力)如图，长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，M是BC上的一点，CM＝6，动点P是其边上的一动点，运动的顺序为A→B→C，设点P经过的路程为x，△DPM的面积为y.
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当△DPM的面积为8时，点P经过的路程是多少？
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
根据题意，可知AP＝x，
则PB＝AB－AP＝4－x.
∵CM＝6，
∴BM＝BC－CM＝2，
当点P在AB上运动时，即0当点P在BC上运动，在点M右侧时，即4≤x＜6时，y＝×PM×AB＝×[2－(x－4)]×4＝12－2x；
当点P在BC上运动，在点M左侧时，即6≤x≤10时，y＝×PM×AB＝×(x－6)×4＝2x－12；
综上所述，y＝
(2)当y＝8时，
－3x＋16＝8或12－2x＝8或2x－12＝8，
解得x＝或x＝2(不符合题意，舍去)或x＝10，
点P运动的路程为或10.
13．(推理能力&运算能力)已知：矩形ABCD，E，F分别是AD，BC边上两点，连接EF交对角线AC于G，CF＝CG.
(1)如图1，求证：2∠AEG－∠ACD＝90°；
(2)如图2，取EF中点N，过N作MN⊥EF交AC于M，求证：AM＝CG；
(3)如图3，延长MN交CD于K，若NK＝EF，CK∶DK＝3∶5，S ABCD＝120，求线段MN长.
图1
(1)∵CF＝CG，
∴∠CFG＝∠CGF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠CFG＝∠AEG.
又∵∠CGF＝∠AGE，
∴∠AEG＝∠AGE.
在△AEG中，∠EAG＋∠AEG＋∠AGE＝∠EAG＋2∠AEG＝180°，
在△ACD中，∠EAG＋∠ACD＋∠ADC＝∠EAG＋∠ACD＋90°＝180°，
∴∠EAG＋2∠AEG＝∠EAG＋∠ACD＋90°，即2∠AEG－∠ACD＝90°.
(2)如图2，连接ME，MF.
∵N是EF的中点，MN⊥EF交AC于M，
∴ME＝MF，
∴∠MEN＝∠MFN.
又∵∠CFG＝∠AGE，∠AME＝∠AGE＋∠MEN，∠CFM＝∠CFG＋∠MFN，
∴∠AME＝∠CFM.
图2
∵AD∥BC，
∴∠EAM＝∠MCF，
∴△AME≌△CFM(AAS)，
∴AG＝CM，
∴AG－GM＝CM－GM，
∴AM＝CG.
(3)如图3，连接EK，FK，过点M作EF的平行线交AD，BC与P，Q.
∵N是EF的中点，MN⊥EF，
图3
∴EK＝FK，∠ENK＝∠FNK＝90°，EN＝FN＝EF.
又∵NK＝EF，
∴EN＝FN＝NK，△ENK和△FNK都是等腰直角三角形，
∴∠EKF＝90°，
∴∠EKD＋∠FKC＝90°.
又∵∠EKD＋∠KED＝90°，
∴∠KED＝∠FKC；
又∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴△KED≌△FKC，
∴ED＝CK，KD＝FC.
∵CK∶DK＝3∶5，设CK＝3x，
则DK＝5x，
∴ED＝CK＝3x，KD＝FC＝CG＝5x，
由(1)知∠AEG＝∠AGE，
∴AE＝AG，
设AE＝AG＝m，
则AC＝m＋5x，AD＝m＋3x，DC＝5x＋3x＝8x，
在直角三角形ACD中，由勾股定理，得AC2＝AD2＋DC2，
即(m＋3x)2＋(8x)2＝(m＋5x)2，
解得m＝12x.
∴AD＝m＋3x＝15x.
∵S ABCD＝120，
∴AD×CD＝15x×8x＝120，
∴x＝1，
∴AD＝15，KD＝FC＝CG＝5，ED＝CK＝3.
∵PQ∥EF，
∴∠AMP＝∠AGE，
又∵∠CGF＝∠AGE，
∴∠AMP＝∠CGF，
又∵AM＝CG，∠EAM＝∠MCF，
∴△AMP≌△CGF(ASA)，
∴AP＝CF＝5.
∴PE＝AD－AP－DE＝15－5－3＝7，
又∵S ABCD＝120，AD＝15，
∴S PQFE＝56.
∵EK＝FK＝＝＝，
∴EF＝EK＝2.
∴MN＝＝.19.3.1．矩形
第1课时 矩形的性质
知识点1 矩形的定义
1．如图，在 ABCD中，请添加一个条件：__ __，使得 ABCD成为矩形．
知识点2 矩形的性质
2．(广西钦州期末)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长为( )
A．4 B．8 C．4 D．4
3．如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是BC，DC上的点，E，F分别是AP，PQ的中点．BC＝12，DQ＝5，在点P从B移动到C(点Q不动)的过程中，则线段EF＝__ __．
知识点3 直角三角形斜边上的中线的性质
4．(广西梧州期末)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，若AC＝4，则BD的长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，AD⊥BC于点D，E 为AC的中点，DE＝5，则AD＝( )
A．10 B．8
C．6 D．4
6．(广西百色期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，点F为DE的中点，连接BF.若AB＝10，则BF的长为__ __．
易错易混点 忽视分类讨论出错
7．(广西北海期末)如图，矩形ABCD中，CD＝4，∠CBD＝30°.一动点P从B点出发沿对角线BD方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿DC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒(t＞0).过点P作PE⊥BC于点E，连接EQ，PQ.
(1)求证：PE＝DQ；
(2)当t为何值时，△PQE为直角三角形？请说明理由．
8．(广西来宾期末)如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(1，3)，则AC的长是( )
A．3 B．2
C． D．4
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是( )
A．2 B．4 C． D．2
10．(广西玉林期末)如图，矩形ABCD内有一点P，连接AP，DP，CP，延长CP交AB于点E，若∠APD＝90°，AD＝8，CP＝CD＝6，则AE的长是__ __．
11．(江苏淮安中考)已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F在BD上，BE＝DF.求证：△ABE≌△CDF.
【母题P97习题19.3T2】
已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E.
(1)若∠DAE＝2∠BAE，求∠EAC；
(2)若BE∶ED＝1∶3，AB＝1，求AD.
【变式1】如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BO于E，OF⊥AD于F，已知OF＝3 cm，且BE∶ED＝1∶3，求BD的长．
【变式2】如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，连接EC，F为BE的中点，G为BC的中点，连接FG.已知AB＝9，BC＝21.
(1)求AE的长．
(2)求FG的长．
12．(运算能力)如图，长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，M是BC上的一点，CM＝6，动点P是其边上的一动点，运动的顺序为A→B→C，设点P经过的路程为x，△DPM的面积为y.
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当△DPM的面积为8时，点P经过的路程是多少？
13．(推理能力&运算能力)已知：矩形ABCD，E，F分别是AD，BC边上两点，连接EF交对角线AC于G，CF＝CG.
(1)如图1，求证：2∠AEG－∠ACD＝90°；
(2)如图2，取EF中点N，过N作MN⊥EF交AC于M，求证：AM＝CG；
(3)如图3，延长MN交CD于K，若NK＝EF，CK∶DK＝3∶5，S ABCD＝120，求线段MN长.
图1
