19.3.1．矩形
第2课时 矩形的判定
知识点 矩形的判定
1．(广西钦州期末)我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把 ABCD变成“矩形”，需要增加的条件是( A )
A．AC＝BD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AB＝CD
2．如图，这是一个木质的平行四边形框架，木匠师傅常常通过测量平行四边形框架的对角线是否相等来检验框架是否为矩形，则木匠师傅此种检验方法的依据是( B )
A．有一个内角为90°的平行四边形是矩形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．有一个内角为90°的四边形是矩形
D．对角线相等的四边形为矩形
3．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是( A )
4． ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件__AC＝BD(答案不唯一)__，使 ABCD为矩形．
5．(广西南宁模拟)如图所示，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是__∠AEC＝90°(答案不唯一)__(写出一个即可).
易错易混点 混淆矩形的判定方法
6．在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列验证方法中错误的为( C )
A．OA＝OB B．AC＝BD
C．OA＝OC D．OA＝OD
7．(广西贵港期末)如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图所示，
以AB为对角线的格点矩形有3个，以AB为边的格点矩形有1个，
∴以A，B为顶点的格点矩形共可以画出4个．
8．(广西贺州期末)如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点(不与点A，B重合)，作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是( A )
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
连接CM，如图所示．
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5.∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM.
∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2.
9．如图是甲、乙两名同学的作业(题中△ABC为等腰三角形，AB＝AC)；
甲(如图)：
①过点A作AD⊥BC，垂足为D；
②延长BA到N，作∠CAN 的角平分线AE；
③过点C作CE⊥AE，垂足为E.
四边形ADCE为矩形．
乙(如图)：
①过点A作AD⊥BC，垂足为D；
②以A为圆心，BD长为半径画弧；以B为圆心，AD长为半径画弧；
③两弧交于AD上方一点E，连接BE，AE；
四边形ADBE为矩形．
甲： 乙：
对于两人的作业，下列说法正确的是( A )
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
甲的作业：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAC，∠ADC＝90°，
∵AE平分∠CAN，∴∠CAE＝∠CAN，
∴∠CAD＋∠CAE＝(∠BAC＋∠CAN)，∴∠DAE＝∠BAN＝×180°＝90°.
∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴甲的作业正确；乙的作业：由题意知AD＝BE，AE＝BD，∴四边形ADBE是平行四边形，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形ADBE是矩形，∴乙的作业正确．
10．如图，在△ABC中，直线MN以每秒1个单位长度的速度从△ABC的边BD位置出发，沿CA方向平移，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F.若AC＝6，则当运动了__3__秒时，四边形AECF是矩形．
当运动了3秒时，四边形AECF是矩形，理由如下：
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，∴∠ACE＋∠ACF＝×180°＝90°，
∴∠ECF＝90°.∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠CFO＝∠DCF，∴∠OEC＝∠ECO，∠CFO＝∠OCF，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF.
∵AC＝6，OC＝3，∴AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形，∴当运动了3秒时，四边形AECF是矩形．
11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，过点E作EF∥BD，交BC于点F.
(1)求证：四边形OEFB是矩形；
(2)若AD＝8，DC＝12，求四边形OEFB的面积．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AD∥BC.
∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线．
∴OE∥BC.
又∵EF∥BD，∴四边形OEFB是平行四边形．
∵AD⊥BD，AD∥BC，∴BC⊥BD，
∴∠CBD＝90°.
∴四边形OEFB是矩形；
(2)∵AD＝8，∴OE＝BC＝AD＝4，
∵AD⊥BD，AB＝DC＝12，
∴DB＝＝＝4，
∴OB＝BD＝2，
∴矩形OEFB的面积＝OB·OE＝4×2＝8.
【母题P97习题19.3T4】已知：在 ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，且AF＝DE.求证： ABCD是矩形．
如图所示，连接EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE＝AB，DF＝CD，∴AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AF＝DE，∴平行四边形AEFD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【变式1】如图，在 ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，且CA＝CB，连接AF，CE.求证：四边形AECF是矩形．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
又∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC＝BC，E是AB的中点，∴CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，CF＝AE，连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，AB＝CD.
又∵CF＝AE，∴DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形．
(2)∵AF平分∠DAB，DC∥AB，
∴∠DAF＝∠FAB，∠DFA＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵DF＝5，
∴AD＝FD＝5，
∵AE＝CF＝3，DE⊥AB，
∴DE＝＝＝4，
∴矩形BFDE的面积是DF·DE＝5×4＝20.
12．(推理能力&运算能力)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD至点F，使DF＝CE，连接AF.
(1)求证：四边形ABEF是矩形；
(2)连接OE，若BD＝BC，AB＝8，平行四边形ABCD的面积为48，求OE的长度．
(1)四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠BCE＝∠ADF.
又∵CE＝DF，
∴△BCE≌△ADF(SAS)
∴BE＝AF，∠BEC＝∠F，
∴BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴∠BEF＝90°，
∴四边形ABEF是矩形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵AB＝8，∴CD＝8.
∵BD＝BC，BE⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝×8＝4.
由题意，可知CD·BE＝48，
∴8BE＝48，
∴BE＝6.
在Rt△BEC中，BC＝＝＝2.
∵在平行四边形ABCD中，CE＝DE，
∴OE为△BDC的中位线，
∴OE＝BC＝.
13．(推理能力&运算能力)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF.
(1)求证：四边形ADFE为矩形；
(2)连接OF，若AD＝3，EC＝2，∠ABF＝60°，求OF的长．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF.
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是平行四边形．
∵∠DFC＝90°，
∴平行四边形ADFE是矩形；
(2)由(1)知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝3.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB，OB＝OD，
∴BE＝CF＝BC－EC＝1，
∴BF＝BC＋CF＝4.
在Rt△ABE中，∠ABE＝60°，
∴∠BAE＝90°－∠ABE＝30°，
∴AB＝2BE＝2，
∴DF＝AE＝＝＝，
∴BD＝＝＝，
∵∠DFB＝90°，OB＝OD，
∴OF＝BD＝.19.3.1．矩形
第2课时 矩形的判定
知识点 矩形的判定
1．(广西钦州期末)我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把 ABCD变成“矩形”，需要增加的条件是( )
A．AC＝BD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AB＝CD
2．如图，这是一个木质的平行四边形框架，木匠师傅常常通过测量平行四边形框架的对角线是否相等来检验框架是否为矩形，则木匠师傅此种检验方法的依据是( )
A．有一个内角为90°的平行四边形是矩形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．有一个内角为90°的四边形是矩形
D．对角线相等的四边形为矩形
3．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是( )
4． ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件__ __，使 ABCD为矩形．
5．(广西南宁模拟)如图所示，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是__ __(写出一个即可).
易错易混点 混淆矩形的判定方法
6．在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列验证方法中错误的为( )
A．OA＝OB B．AC＝BD
C．OA＝OC D．OA＝OD
7．(广西贵港期末)如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．(广西贺州期末)如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点(不与点A，B重合)，作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是( )
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
9．如图是甲、乙两名同学的作业(题中△ABC为等腰三角形，AB＝AC)；
甲(如图)：
①过点A作AD⊥BC，垂足为D；
②延长BA到N，作∠CAN 的角平分线AE；
③过点C作CE⊥AE，垂足为E.
四边形ADCE为矩形．
乙(如图)：
①过点A作AD⊥BC，垂足为D；
②以A为圆心，BD长为半径画弧；以B为圆心，AD长为半径画弧；
③两弧交于AD上方一点E，连接BE，AE；
四边形ADBE为矩形．
甲： 乙：
对于两人的作业，下列说法正确的是( )
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
10．如图，在△ABC中，直线MN以每秒1个单位长度的速度从△ABC的边BD位置出发，沿CA方向平移，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F.若AC＝6，则当运动了__ __秒时，四边形AECF是矩形．
11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，过点E作EF∥BD，交BC于点F.
(1)求证：四边形OEFB是矩形；
(2)若AD＝8，DC＝12，求四边形OEFB的面积．
【母题P97习题19.3T4】已知：在 ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，且AF＝DE.求证： ABCD是矩形．
【变式1】如图，在 ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，且CA＝CB，连接AF，CE.求证：四边形AECF是矩形．
【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，CF＝AE，连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．
12．(推理能力&运算能力)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD至点F，使DF＝CE，连接AF.
(1)求证：四边形ABEF是矩形；
(2)连接OE，若BD＝BC，AB＝8，平行四边形ABCD的面积为48，求OE的长度．
13．(推理能力&运算能力)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF.
(1)求证：四边形ADFE为矩形；
(2)连接OF，若AD＝3，EC＝2，∠ABF＝60°，求OF的长．
