(共22张PPT)
2 用表格表示变量之间的关系
课时目标 素养达成
1.能从表格中获得变量之间的信息,会用表格表示两个变量之
间的关系 推理能力
2.能根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步预测 推理能力、数据观念
3.能从表格中获得变量之间关系的信息,能用表格表示两个变
量之间的关系,并根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初
步预测 推理能力、应用意识
用表格表示变量之间关系的特征:
表格第一行表示___________.
表格第二行表示___________.
通过用表格表示两个变量之间的关系可以发现两个变量之间的_____________.
自变量
因变量
变化趋势
一个蓄水池中有水50 m3,打开放水闸门匀速放水,水池中的水量和放水时间的关系如
表,则放水14 min后,水池中还有水( )
放水时间/min 1 2 3 4 …
水池中水量/m3 48 46 44 42 …
A.22 m3 B.24 m3 C.26 m3 D.28 m3
A
用表格表示变量之间的关系(应用意识、推理能力)
【典例】如表是某河流在汛期一天中涨水的情况,警戒水位为25 m.
时间/h 0 4 8 12 16 20 24
超警戒水位/m +0.2 +0.25 +0.35 +0.5 +0.7 +0.9 +1.0
(1)上表反映了 与时间之间的关系,其中 是自变量, 是因变量.
(2)从0 h到24 h,水位从 上升到 .
(3)假设第二天持续下雨(基本与第一天降水量一样),则估计第二天12 h超警戒水位
m.
【自主解答】(1)题表反映了超警戒水位与时间之间的关系,其中时间是自变量,超警戒水位是因变量.
答案:超警戒水位 时间 超警戒水位
(2)0 h水位:25+0.2=25.2(m),
24 h水位:25+1=26(m),
即从0 h到24 h,水位从25.2 m上升到26 m.
答案:25.2 m 26 m
(3)观察题中表格得,第一天12 h超警戒水位+0.5 m,24 h超警戒水位+1.0 m,若第二天持续下雨(基本与第一天降水量一样),
则估计第二天12 h超警戒水位+1+0.5=+1.5(m).
答案:+1.5
1.研究表明,当每公顷氮肥的施用量一定时,土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系:
氮肥的施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
土豆的产量/t 15.2 21.4 25.7 32.3 34.1 39.5 43.2 43.5 40.8 30.8
根据表格中的数据,氮肥的施用量是 kg时最适宜.( )
A.202 B.259 C.336 D.404
【解析】根据题表中数据得:当氮肥的施用量达到336 kg,土豆的产量达到最大值43.5 t.
C
2.(2024·佛山禅城期末)在一次实验中,把一根弹簧的上端固定,在其下端悬挂物体,所挂物体的质量与弹簧长度的对应值如表:
所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧长度y/cm 18 20 22 24 26 28
(1)如表反映了哪两个变量之间的关系 并指出哪个是自变量,哪个是因变量.
(2)不挂物体时,弹簧长 cm.
(3)求当所挂物体质量为9 kg(在弹性限度内)时弹簧长度.
(4)求当弹簧长度为35 cm(在弹性限度内)时所挂物体质量.
1.一只苹果从100 m高的地方落下,测得有关数据如表:
下落时间t/s 1 2 3 4
下落高度h/m 5 20 45 80
则下列说法中,错误的是( )
A.苹果每秒下落的高度越来越长
B.苹果每秒下落的高度不变
C.苹果下落的速度越来越快
D.可以推测,苹果落到地面的时间不超过5 s
【解析】由题中表格可知,苹果在下落过程中,越来越快,
每秒下落的高度依次为5,15,25,35……,所以观察可知选项B错误.
B
2.某影剧院观众席的座位数按下列方式设置:
排数x 1 2 3 4 …
座位数y 30 33 36 39 …
根据表格中两个变量之间的关系,当x=7时,座位数y=_______.
【解析】由题中表格的数据可知x每增加1,y增加3,即y=3(x-1)+30=3x+27,
当x=7时,y=3×7+27=48.
48
1.(2024·郑州期中)赵老师手中有一张记录他从出生到24周岁期间的身高情况表(如表):
年龄x/岁 0 3 6 9 12 15 18 21 24
身高h/cm 48 100 130 140 150 158 165 170 170.4
下列说法中,错误的是( )
A.赵老师的身高增长速度总体上先快后慢
B.x与h都是变量,且x是自变量,h是因变量
C.赵老师的身高在21岁以后增长缓慢
D.赵老师的身高从0岁到12岁平均每年增高12.5 cm
D
【解析】因为100-48=52(cm),
130-100=30(cm),
140-130=10(cm),
150-140=10(cm),
158-150=8(cm),
165-158=7(cm),
170-165=5(cm),
170.4-170=0.4(cm),
52>30>10=10>8>7>5>0.4,
所以赵老师的身高增长速度总体上先快后慢,
所以A正确,不符合题意;
x与h都是变量,h随x的变化而变化,即x是自变量,h是因变量,所以B正确,不符合题意;
因为赵老师的身高在21岁时是170 cm,24岁时是170.4 cm,所以赵老师的身高在21岁以后基本不长了,所以C正确,不符合题意;赵老师的身高从0岁到12岁平均每年增高(150-48)÷12=8.5(cm),所以D错误,符合题意.
2.某路公交车每月的乘坐量为x(人次),每月的收入为y(元),每人次乘坐的票价相同,下面的表格是y与x的部分数据.
x/人次 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 …
y/元 1 000 2 000 4 000 6 000 …
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)请将表格补充完整.
(3)若该路公交车每月的支出费用为4 000元,每月的利润要达到10 000元,则每月该路公交车的乘坐量要达到多少人次 (利润=收入-支出费用)
【解析】(1)反映了每月收入y与每月乘坐量x两个变量之间的关系,其中x是自变量,y是因变量.
(2)由题表可知,每增加500人次乘坐,每月的收入就增加1 000元,
表格补充如表:
x/人次 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 …
y/元 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 …
(3)1 000÷500=2(元),
(4 000+10 000)÷2=7 000(人次),
答:每月该路公交车的乘坐量要达到7 000人次.
3.(2024·揭阳惠来期中)某航空公司规定,乘客可免费携带一定质量的行李,超出部分需另外收费,表中列出了乘客携带的行李质量x(kg)与其运费y(元)之间的一些数据:
x/kg 20 23 26 29 32
y/元 0 90 180 270 360
若乘客携带了40 kg的行李,他应该支付的运费为( )
A.450元 B.500元 C.560元 D.600元
D
【解析】由题表可知,当行李的质量超过20 kg时,每千克需要支付的费用为90÷(23-20)=30(元),
则30×(40-20)
=30×20
=600(元).
4.甲、乙两施工队分别从两端修一段长度为315 m 的公路.在施工过程中,甲队曾因技术改进而停工一天,之后加快了施工进度并与乙队共同按期完成任务.下表是根据每天工程进度制作而成的.
施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
累计完成施工量/m 25 50 75 100 115 155 195 235 275 315
甲队技术改进后比技术改进前每天多修路_______m.
15
【解析】由题意可知,乙队每天修路115-100=15(m),
甲队技术改进前甲、乙两队每天共修路75-50=25(m),
所以甲队技术改进前每天修路25-15=10(m),
根据题中表格可知,甲队技术改进后每天修路155-115-15=25(m),所以甲队技术改进后比技术改进前每天多修路25-10=15(m).
5.某中学为筹备校庆活动,准备印制一批校庆纪念册.该纪念册每册需要10张8K大小的纸,其中4张为彩页,6张为黑白页.印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成,制版费与印数无关,价格为彩页300元/张,黑白页50元/张;印刷费与印数的关系如表.
印数a/千册 1≤a<5 5≤a<10
彩页/(元/张) 2.2 2.0
黑页/(元/张) 0.7 0.6
(1)印制一本纪念册的制版费为 元.
(2)若印制2千册,共需多少费用
【解析】(1)4×300+6×50=1 500(元).
答案:1 500
(2)若印制2千册,则印刷费为(2.2×4+0.7×6)×2 000=26 000(元),
所以总费用为26 000+1 500=27 500(元).(共28张PPT)
3 用关系式表示变量之间的关系
课时目标 素养达成
1.能根据具体情况,用关系式表示某些变量之间的关系 抽象能力、模型观念
2.能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应
关系 运算能力、应用意识
1.汽车由A地驶往相距120 km的B地,若它的平均速度是60 km/h,则汽车距B地的路程
s(km)与行驶时间t(h)的关系式为( )
A.s=120-60t B.s=120+60t
C.s=60t D.s=120t
2.若某长方体底面积是60 cm2,高为h cm,则体积 V (cm3)与h的关系式为___________.
A
V=60h
用关系式法表示变量之间的关系(抽象能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P155T2拓展)(2024·汕头金平一模)将长为20 cm,宽为8 cm的长方形白纸若干张按如图所示的方式黏合起来,黏合部分的宽为3 cm.
(1)根据题意,将下面的表格补充完整.
白纸张数x/张 1 2 3 4 5
纸条总长度y/cm 20 54 71
(2)写出y与x的关系式.
【自主解答】(1)因为从第一张白纸开始,之后每增加一张白纸,纸条的总长度就增加17 cm,
所以当x=2时,y=37;
当x=5时,y=88;
当x=6时,y=105.
答案:6 37 88 105
(2)根据题表中的数据变化规律,得y=20x-3(x-1)=17x+3,
所以y与x的关系式为y=17x+3.
1.(2024·揭阳揭西期末)清明假期,刘老师乘车从学校到红色教育基地缅怀革命先烈.
已知学校距离红色教育基地150 km,车行驶的平均速度为60 km/h,x h后刘老师距离
红色教育基地y km,则y与x之间的关系式是( )
A.y=150-60x B.y=150+60x
C.y=60-150x D.y=60+150x
【解析】因为刘老师距离红色教育基地的距离=150-行驶的路程,所以y=150-60x.
A
【解析】第1个图:y=1+2,
第2个图:y=2+4=2+22,
第3个图:y=3+8=3+23,
…,
以此类推第n个图:y=n+2n.
B
根据关系式求变量的值(抽象能力、运算能力、应用意识)
【典例2】(2024·佛山南海质检)一种圆环(如图所示)的外圆直径是8 cm,环宽1 cm.
(1)如果把这样的2个圆环扣在一起并拉紧(如图2所示),长度为 cm.
(2)如果用x个这样的圆环相扣并拉紧,长度为y cm,则y与x之间的关系式是什么
(3)多少个这样的圆环相扣起来并拉紧总长度为2 024 cm
【自主解答】(1)由题意,得把这样的2个圆环扣在一起并拉紧长度为2×8-2=16-2= 14(cm).
答案:14
(2)由题意得,把这样的3个圆环扣在一起并拉紧长度为3×8-2×2=20(cm),
把这样的4个圆环扣在一起并拉紧长度为4×8-2×3=26(cm),
把这样的5个圆环扣在一起并拉紧长度为5×8-2×4=32(cm),
……
把这样的x个圆环扣在一起并拉紧长度为8x-2×(x-1)=(6x+2)cm,即y与x之间的关系式是y=6x+2.
(3)由题意得,6x+2=2 024,解得x=337,
所以337个这样的圆环相扣起来并拉紧总长度为2 024 cm.
(2024·湛江期末)一辆汽车油箱内有油48 L,从某地出发,每行驶1 km,耗油0.6 L.如果设剩油量为y(L),行驶路程为x(km).
(1)写出y与x的关系式.
(2)这辆汽车行驶35 km时,剩油多少升 汽车剩油12 L时,行驶了多少千米
(3)这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米
【解析】(1)y=-0.6x+48.
(2)当x=35时,y=48-0.6×35=27,
所以这辆汽车行驶35 km时,剩油27 L;
当y=12时,48-0.6x=12,解得x=60,
所以汽车剩油12 L时,行驶了60 km.
(3)令y=0,则0=-0.6x+48,解得x=80,
故这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶80 km.
1.(2024·茂名高州期中)启航港里有一棵树苗,刚栽下去时高为1 m,以后每月长0.3 m,
则树高y(m)与月数x(月)之间的关系式为_____________.
【解析】由题意可知,y=1+0.3x.
2.(2024·深圳南山质检)长方形的周长为20 cm,其中一边长为x cm(其中x>0),面积为
y cm2,则y关于x的关系式为_____________.
【解析】因为长方形的周长为20 cm,
其中一边长为x cm(其中x>0),
所以另一边长为(10-x)cm,
故y=x(10-x)=-x2+10x.
y=1+0.3x
y=-x2+10x
3.某草莓种植园为了吸引顾客,推出入园采摘销售模式.已知采摘草莓质量x(kg)与所需费用y(元)之间的关系如表:
x/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
y/元 3 6 9 12 15 18 …
(1)在采摘草莓质量x(kg)与所需费用y(元)中,哪个是自变量 哪个是因变量
(2)48元能买多少千克草莓 如果要买14 kg草莓,那么100元够不够
【解析】(1)采摘草莓质量x(kg)是自变量;所需费用y(元)是因变量.
(2)由题意可知,草莓的单价为6元,
所以y与x之间的关系式为y=6x,
当y=48时,48=6x,解得x=8,
所以48元能买8 kg草莓,
当x=14时,y=6x=6×14=84,
因为84<100,
所以100元够用.
知识点1 用关系式法表示变量之间的关系
1. 如图所示,弹簧秤不挂重时弹簧长为15 cm,每挂重1 kg物体,弹簧伸长0.5 cm,在弹
性限度(挂重不超过10 kg)内,弹簧的长度y(cm)与所挂重x(kg)之间的关系式是( )
A.y=10+0.5x B.y=0.5x
C.y=15-0.5x D.y=15+0.5x
【解析】因为弹簧的长度=弹簧原长+挂重的伸长量,所以y=15+0.5x.
D
2.(2024·深圳福田期末)“人间四月芳菲尽,山寺桃花始盛开”说的是因为气温随地面的
高度上升而降低这一特点,造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象.下
面是小深对某地距离地面高度h与温度T测量得到的表格.写出T随h变化的关系式:
____________.
距离地面高度h/km 0 1 2 3 4 …
温度T/℃ 20 14 8 2 -4 …
【解析】由题中表格可知,
距离地面高度增加1 km,温度降低6 ℃,
所以T随h变化的关系式为T=20-6h.
T=20-6h
知识点2 应用关系式解决问题
3.张大妈购进一批柚子在集贸市场零售,已知卖出的柚子质量x(kg)与售价y(元)之间的关系如表:
质量x/kg 1 2 3 …
售价y/元 1.2+0.1 2.4+0.1 3.6+0.1 …
根据表中数据可知,若卖出柚子10 kg,则售价为________元.
【解析】当x=1时,y=1.2×1+0.1,
当x=2时,y=1.2×2+0.1,
当x=3时,y=1.2×3+0.1,所以y=1.2x+0.1,
当x=10时,y=12.1.
12.1
4.(2024·深圳坪山期末)科学家实验发现,声音在不同气温下传播的速度不同,声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化.某科学社团通过查阅资料发现,声音在空气中传播的速度和气温的温度变化存在如下的关系:
气温T/℃ 0 1 2 3 4 5
声音在空气中的传播速度v/(m/s) 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334
(1)在这个变化过程中, 是自变量, 是因变量.
(2)声音在空气中的传播速度v(m/s)与气温T(℃)的关系式可以表示为 .
(3)某日的气温为10 ℃,小乐看到烟花燃放3 s 后才听到声响,那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远
【解析】(1)由题意得,在这个变化过程中,气温是自变量,声音在空气中的传播速度是因变量.
答案:气温 声音在空气中的传播速度
(2)由题意得,气温每上升1 ℃声音在空气中的传播速度增加0.6 m/s,
所以声音在空气中的传播速度v(m/s)与气温T(℃)的关系式可以表示为v=0.6T+331.
答案:v=0.6T+331
(3)(0.6×10+331)×3=(6+331)×3=337×3=1 011(m).
所以小乐与燃放烟花所在地大约相距1 011 m远.
5.(2024·河源紫金期中)正方形的边长为4,若边长增加x,那么面积增加y,则y与x之间的
关系式为( )
A.y=x2+16 B.y=(x+4)2
C.y=x2+8x D.y=16-4x2
【解析】因为新正方形边长是x+4,原正方形边长是4,
所以新正方形面积是(x+4)2,原正方形面积是16,
所以增加的面积y=(x+4)2-16,
即y=x2+8x.
C
6.瓶子或者罐头盒等圆柱形的物体常常按如图所示的方式堆放,随着层数的增加,物
体总数也会发生变化,数据如表,则下列说法错误的是( )
层数n/层 1 2 3 4 5 …
物体总数y/个 1 3 6 10 15 …
C
7.如图所示,已知正方形ABCD,正方形CEFG的边长分别为10和5,且点B,C,E在同一条
直线上,点P是边EF上一动点,连接PB.若PE=x,则阴影部分的面积y与x之间的关系式
为_____________.
8.如图所示是一种单肩包,其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小文购买时,售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度,可以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的和,其中调节扣所占长度忽略不计)加长或缩短,设双层部分的长度为x(cm),单层部分的长度为 y(cm).经测量,得到下表中数据.
双层部分长度x/cm 0 2 8 14 20
单层部分长度y/cm 152 148 136 a 112
(1)a= .
(2)根据表中数据规律,试写出y与x之间的关系式.
(3)按小文的身高和习惯,背带的长度调为128 cm 时为最佳背带长.请计算此时双层部分的长度.
【解析】(1)由题表可知,单层部分长度最长为152 cm,双层部分长度每增加1 cm,单层部分长度就减少2 cm,则a=152-14×2=124(cm).
答案:124
(2)由题表可知,单层部分长度最长为152 cm,双层部分长度每增加1 cm,单层部分长度就减少2 cm,则当双层部分长度增加x cm时,单层部分长度就减少2x cm,所以y=152-2x,即y与x之间的关系式为y=-2x+152.
(3)设双层部分的长度为b cm,则单层部分长度为(-2b+152) cm,
因为背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和,所以b+(-2b+152)=128,
解得b=24.
答:此时双层部分的长度为24 cm.(共28张PPT)
1 现实中的变量
课时目标 素养达成
理解变量、自变量、因变量概念,并能举出反映变量之间关
系的例子 推理能力
1.一本笔记本5元,买x本共付y元,则5和x分别是( )
A.常量,变量
B.变量,变量
C.常量,常量
D.变量,常量
2.圆的半径为r,圆的面积S与半径r之间的关系为S=πr2.在这个关系中,常量是______.
A
π
变量、自变量、因变量等概念(推理能力)
【典例1】一根蜡烛原长a cm,点燃后燃烧时间为t min,所剩余蜡烛的长为y cm,则在这个变化过程中,下列判断正确的是( )
A.a是常量 B.a是变量
C.t是常量 D.y是常量
【自主解答】选A.一根蜡烛原长a cm,点燃后燃烧时间为t min,所剩余蜡烛的长为
y cm,则在这个变化过程中,a是常量,t,y是变量,故选项A符合题意.
1.(2024·深圳龙岗期中)小文去水果店买西瓜,如图所示是称西瓜所用的电子秤显示
屏上的数据,则其中的变量是( )
A.金额 B.质量
C.单价 D.金额和质量
【解析】由题意可得,金额=单价×质量,单价不变,质量与金额是变化的量,
所以单价是常量,质量与金额是变量.
D
2.如图所示是淇淇在超市购买的圣女果的销售标签,则在单价、质量、总价的关系
中,常量是( )
A.总价 B.质量 C.单价 D.单价和质量
【解析】由于质量与总价是一个量随另一个量的变化而变化的,只有单价是不变的,所以单价是常量.
C
3.在利用太阳能热水器来加热水的过程中,热水器里的水温随所晒时间的长短而变
化,这个问题中的自变量是( )
A.太阳光强弱 B.水温
C.所晒时间 D.热水器
【解析】根据函数的定义可知,水温随着所晒时间的长短而变化,所以水温是因变量,所晒时间为自变量.
C
从图表中判断两个变量之间的关系(推理能力)
【典例2】(教材再开发·P145“尝试·交流”T2拓展)据调查,某地区青春期男、女生平均身高增长速度(cm/年)呈现如图所示的规律,
请你仔细观察函数图象,回答下列问题:
(1)图中反映的是哪两个变量之间的关系 自变量是什么
(2)当年龄是多少时,男生的平均身高增长速度大于女生
【自主解答】(1)由题中图象可得:图中反映的是年龄与平均身高增长速度这两个变量之间的关系;自变量是年龄.
(2)由题中图象可得:当年龄大于11岁时,男生的平均身高增长速度大于女生.
1.(2024·深圳宝安期中)如图所示是根据某地4月6日至12日的天气情况绘制的气温与
日期的表格,根据表格中的信息,下列说法不正确的是( )
日期 4月6日 4月7日 4月8日 4月9日 4月10日 4月11日 4月12日
气温/℃ 23~28 24~29 23~30 22~27 23~28 24~30 22~31
A.4月8日的最低气温是23 ℃,最高气温是30 ℃ B.日期是自变量,气温是因变量
C.气温随着日期的增加而逐渐升高 D.4月12日温差最大
C
【解析】根据题中表格可知,4月8日的最低气温是23 ℃,最高气温是30 ℃,
所以A正确,不符合题意;
每天的气温随着日期的变化而变化,即日期是自变量,气温是因变量,
所以B正确,不符合题意;
由题中表格可知,最低气温和最高气温均非随着日期的增加而一直升高,
所以C不正确,符合题意;
4月6日~4月12日,每天的温差分别是5 ℃,5 ℃,7 ℃,5 ℃,5 ℃,6 ℃,9 ℃,
所以4月12日温差最大,
所以D正确,不符合题意.
2.(2024·河源紫金期中)某县从2018年开始实施自然绿化,每年自然绿化的面积如表:
时间/年 2018 2019 2020 2021 2022 2023
面积/亩 360 390 430 520 610 730
(1)如表反映的是哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)从表中可知,随着时间的变化,自然绿化的面积的变化趋势是什么
(3)从2018年到2023年底,该县已完成自然绿化的面积是多少亩
【解析】(1)题表反映的是时间和自然绿化的面积之间的关系,其中时间是自变量,自然绿化的面积是因变量.
(2)从题表中可知,随着时间的变化,自然绿化的面积的变化趋势是逐年增加.
(3)360+390+430+520+610+730=3 040(亩),
所以从2018年到2023年底,该县已完成自然绿化的面积是3 040亩.
1.(2024·韶关期末)“白毛浮绿水,红掌拨清波.”白鹅拨出的圆形水波不断扩大,记它的
半径为r,则其面积S与r的关系式为S=πr2.下列判断正确的是( )
A.r是因变量 B.π是常量
C.S是自变量 D.S,π,r都是变量
【解析】因为S随着r的变化而变化,
所以S是因变量,r是自变量,π是常量.
2.谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化而变化,在该变化过程中因
变量是_____________.
【解析】在该变化过程中因变量是冰的厚度.
B
冰的厚度
3.夏天蚊虫肆虐,许多家庭会使用蚊香进行灭蚊.为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间t(h)与蚊香长度s(cm)的关系,数学小组的同学通过试验得到下列一组数据:
蚊香的燃烧时间t/h 0 0.5 1 1.5 2
蚊香长度s/cm 105 100 95 90 85
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)在这个变化过程中,哪个是自变量 哪个是因变量
(2)当蚊香的燃烧时间为3 h时,蚊香长度为多少
【解析】(1)自变量是蚊香燃烧的时间,因变量是蚊香长度.
(2)根据题意和题中表格数据可得:s=-10t+105,当t=3 h时,s=-10×3+105=75(cm).
知识点1 变量、自变量、因变量等概念
1.(2024·江门蓬江期中)如图所示,水中涟漪不断扩大,不断形成圆形,记圆的半径为r,
圆周长为C,圆周率为π,则其中的常量是( )
A.π B.r C.C D.r,C
【解析】根据C=2πr可知,自变量是圆的半径r,因变量是圆的周长C,常量是π.
A
2.如图所示是用火柴棒拼成的图案,拼图需用的火柴棒的根数m随着正方形的个数n
的变化而变化,在这一变化中,下列说法中,错误的是( )
A.m,n都是变量
B.n是自变量,m是因变量
C.m是自变量,n是因变量
D.m随着n的变化而变化
【解析】在这个变化中,自变量是正方形的个数n,因变量是需用火柴棒的根数m.
C
知识点2 从图表中判断两个变量之间的关系
3.(2024·深圳光明期末)下列实际情境中的变量关系可以用如图所示图象近似刻画的
是( )
A.一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)
B.一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)
C.足球守门员踢出去的球(高度与时间的关系)
D.匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)
B
【解析】A.一杯越晾越凉的水,水温随着时间的增加而降低,故此选项不符合题意;
B.一面冉冉上升的旗子,高度随着时间的增加而增高,
故此选项符合题意;
C.足球守门员踢出去的球,高度随着时间的增加先增高后降低,
故此选项不符合题意;
D.匀速行驶的汽车,速度始终不变,与时间的长短无关,
故此选项不符合题意.
4.(2024·深圳宝安期末)酗酒对人体有害吗 如表是某实验小组探究不同浓度的酒精
对某种水蚤心率影响的实验数据(心率是心脏每分钟跳动的次数,因水蚤心跳太快,为
减少误差,实验中计算10 s内心跳次数).根据表格,下列结论中,错误的是( )
酒精浓度 0 1% 5% 10% 15% 20%
10 s内心跳次数 33 30 24 18 15 0
A.酒精浓度越高,水蚤心率越低
B.自变量是水蚤心率,因变量是酒精浓度
C.酒精浓度达到20%时水蚤10 s内心跳次数为0
D.酗酒对人体的心跳可能有不利影响
B
【解析】由题中表格信息可得,酒精浓度越高,水蚤心率越低,故A选项不符合题意;
自变量是酒精浓度,因变量是水蚤心率,原来说法错误,故B选项符合题意;
酒精浓度达到20%时水蚤10 s内心跳次数为0,故C选项不符合题意;
酗酒对人体的心跳可能有不利影响,故D选项不符合题意.
5.我国首辆火星车正式被命名为“祝融号”,为应对极限温度环境,火星车使用的是新
型隔温材料——纳米气凝胶,该材料导热率K(W/m·K)与温度T(℃)的关系如表,下列
选项中,不正确的是( )
温度T/℃ 100 150 200 250
导热率K/(W/m·K) 0.15 0.2 0.25 0.3
A.在这个变化过程中,自变量是温度,因变量是导热率
B.在一定温度范围内,温度越高,该材料导热率越高
C.当温度为350 ℃时,该材料导热率为0.35 W/m·K
D.温度每升高10 ℃,该材料导热率增加0.01 W/m·K
C
【解析】在这个变化过程中,导热率随着温度的变化而变化,即自变量是温度,因变量是导热率,所以A正确,不符合题意;
根据题中表格可知,在一定温度范围内,温度越高,该材料导热率越高,所以B正确,不符合题意;
根据题中表格可知,温度每升高50 ℃,导热率增加 0.05 W/m·K,
所以当温度为350 ℃时,该材料导热率为0.4 W/m·K,
所以C不正确,符合题意;
因为温度每升高50 ℃,导热率增加 0.05 W/m·K,
所以温度每升高10 ℃该材料导热率增加 0.01 W/m·K,
所以D正确,不符合题意.
6.一种手持烟花每隔0.5 s发射一发花弹,每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相
同.皮皮小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度h(m)随飞行时间t(s)的变化规律如表
所示.下列关于这一变化的过程说法正确的是( )
t/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
h/m 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 …
A.飞行时间t每增加0.5 s,飞行高度h就增加5.5 m
B.飞行时间t每增加0.5 s,飞行高度h就减少5.5 m
C.估计飞行时间t为5 s时,飞行高度h为11.8 m
D.从0 s到2 s花弹飞行的高度是15 m
C
【解析】从题中表格可以看出,在0 s到3 s的过程中,飞行高度随着飞行时间的增加而增加;
从3 s以后,飞行高度随着飞行时间的增加而降低.
因此,A与B选项均不正确.
从题中表格看到飞行高度在3 s左右是对称的,所以C选项正确.
从表格中可知,从0 s到2 s花弹飞行的高度是17.8-1.8=16 m,所以D选项不正确.
7.(2024·梅州大埔期末)为保证游泳池的水质,游泳池应定期换水.某游泳池在一次换水前存水930 m3,换水时关闭进水孔打开排水孔,以70 m3/h的速度将水放出.放水时间与游泳池的存水量的变化情况如表所示:
放水时间t/h 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水量V/m3 860 720 650 510 440
(1)在这个变化过程中,反映的是哪两个变量之间的关系 其中自变量是什么,因变量是什么
(2)请将表格补充完整.
(3)在游泳池的水放完之前,说一说这两个变量之间的关系.
【解析】(1)由题意可知,反映的是放水时间和游泳池的存水量之间的关系,其中自变量是放水时间,因变量是游泳池的存水量.
(2)由题中表格可知:720-650=70,510-440=70,
所以放水时间每增加1 h,游泳池的存水量减少70 m3,
所以2 h时,游泳池的存水量为860-70=790 m3,5 h时,游泳池的存水量为650-70= 580(m3).
填表如下:
(3)由表格可知:随着放水时间的增加,游泳池的存水量逐渐减少.
放水时间t/h 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水量V/m3 860 790 720 650 580 510 440(共5张PPT)
第六章 变量之间的关系
单元知识总览 为教师备课、授课提供丰富教学资源
本章内容是在学习了代数式求值和探索规律等基础上引入的,为进一步学习函数进行铺垫,因为函数是一种特殊的变量之间的“关系”.通过本章学习,能够从表格、关系式、图象中获取信息,找出自变量、因变量及其相互之间的关系.本章从常量的世界进入变量的世界,开始接触新的思维方式.从表格、图象中分析出某些变量之间的关系,同时在本单元的学习中注意数形结合思想的运用,善于由图象获取信息,由图索数、由数导形,将抽象的数与直观的形有机结合起来.
单元目标达成 为教师备课、授课提供丰富教学资源
认知水平 课标内容 素养目标
理解 探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义. 抽象能力
结合实例,了解变量之间关系的三种表示法,能举出一些实例.
掌握 掌握变量之间关系的三种表示法,解决一些实际问题. 几何直观
运用 能结合图象对简单实际问题中的变量关系进行分析. 推理能力、
应用意识
能确定简单实际问题中的变量关系,并会求出对应的数值.
能用适当的表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
结合对变量关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论.
单元素养提升 为教师备课、授课提供丰富教学资源
通过丰富的现实情境,使学生在对变化规律的丰富经历中理解变量之间的关系.注重使学生从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息,并运用语言进行表达.依据变量之间的数学表示(表格、关系式、图象)进行预测未给出的变量,实质上是进行“数量推理”,培养学生的推理能力.图象既是变量间关系的一种表示法,又能直观地反映变量间关系的特征与性质.由此培养学生数形结合思想及几何直观.(共20张PPT)
单元综合回顾
基础知识的应用
1.要画一个面积为30 cm2的长方形,其长为x cm,宽为y cm,在这一变化过程中,常量与
变量分别为( )
A.常量为30,变量为x、y
B.常量为30、y,变量为x
C.常量为30、x,变量为y
D.常量为x、y,变量为30
【解析】由题意,得xy=30,
常量为30,变量为x、y.
A
2.(2024·茂名高州质检)如图所示,把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起,木
条AB自由转动至AB'位置.在转动过程中,下面的量是常量的为( )
A.∠BAC的度数
B.AB的长度
C.BC的长度
D.△ABC的面积
【解析】在木条AB绕点A自由转动至AB'的过程中,AB的长度始终不变,故AB的长度
是常量;
而∠BAC的度数、BC的长度、△ABC的面积一直在变化,均是变量.
B
3.(2024·深圳龙华质检)随着气温下降,人们开始增添衣服,在这个问题中,自变量是
_________.
【解析】在这个问题中,气温是自变量.
气温
基本技能(方法)、基本思想的应用
4.(2024·东莞模拟)如图所示,在大烧杯中放了一个小烧杯,现向小烧杯中匀速注水,小
烧杯满了后继续匀速注水,则大烧杯的液面高度h(cm)与注水时间t(s)的大致图象是
( )
D
【解析】开始时向小烧杯中匀速注水,大烧杯的液面高度h(cm)为零,即h不会随时间t的增加而增大,故选项A,B,C不符合题意;
当小烧杯满了后继续匀速注水,大烧杯的液面高度h(cm)随时间t的增加而增大,且升高速度由快到慢,故选项D符合题意.
5.(2024·梅州大埔期中)佳佳的爸爸计划用一根长为20 m的铁丝围成一个长方形,那
么这个长方形的长y(m)与宽x(m)之间的关系式为( )
A.y=-x+10 B.y=x+5
C.y=-x+20 D.y=x+10
【解析】由题意得:2(x+y)=20,
所以x+y=10,
所以这个长方形的长y(m)与宽x(m)之间的关系式为y=-x+10.
A
6.(2024·云浮新兴一模)硫酸钠(Na2SO4)是一种主要的日用化工原料,主要用于制造洗
涤剂和牛皮纸制浆工艺.硫酸钠的溶解度y(g)与温度
T(℃)之间的对应关系如图所示,则下列说法正确的
是( )
A.当温度为60 ℃时,硫酸钠的溶解度为50 g
B.硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C.当温度为40 ℃时,硫酸钠的溶解度最大
D.要使硫酸钠的溶解度大于43.7 g,温度只能控制在40 ℃~80 ℃
C
【解析】由题中图象可知:
当温度为60 ℃时,硫酸钠的溶解度小于48.8 g,故选项A说法错误,不符合题意;
0 ℃至40 ℃时,硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大,40 ℃至80 ℃时,硫酸钠的溶解度随着温度的升高而减小,故选项B说法错误,不符合题意;
当温度为40 ℃时,硫酸钠的溶解度最大,故选项C说法正确,符合题意;
要使硫酸钠的溶解度大于43.7 g,温度可控制在接近40 ℃至80 ℃,故选项D说法错误,不符合题意.
7.(2024·茂名电白期中)某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时,主要依据的是表中的数据:
鸭的质量/kg 1.5 2 2.5 3 3.5 4
烤制时间/min 80 100 120 140 160 180
若鸭的质量为3.7 kg,则烤制时间为________min.
【解析】设鸭的质量为x kg时,烤制时间为t min,
由题中表格得,鸭的质量x每增加0.5 kg,烤制时间t增加20 min,
所以t=40+40(x-0.5),
即t=40x+20.
当x=3.7时,t=40×3.7+20=168.
168
y=20-0.4x
y=-2x+16
实际生活生产中的运用
10.肥料的施用量与产量之间有一定的关系.研究表明,当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时,土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系:
氮肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
根据表格可知,下列说法正确的是( )
A.氮肥施用量是100 kg时,土豆产量为35 t
B.氮肥施用量是自变量,土豆产量是因变量
C.土豆产量为30.75 t时,氮肥的施用量一定是471 kg
D.氮肥施用量越大,土豆产量越高
B
【解析】根据题表中变量的变化关系可知,当氮肥施用量为100 kg时,土豆产量应在25.72 t与32.29 t之间,
故A错误,不符合题意.
由题意知,氮肥施用量是自变量,土豆产量是因变量,
故B正确,符合题意.
由题中表格可知,当土豆产量为30.75 t时,氮肥的施用量也可以在67 kg与101 kg之间,
故C错误,不符合题意.
由题中表格可知,随着氮肥施用量的增加,土豆的产量并非一直在增加,
故D错误,不符合题意.
11.(2024·揭阳惠来期末)某超市“6·18”期间做促销优惠活动,凡一次性购物超过100元
以上者,超过100元的部分按8.5折优惠.小宇在此期间到该超市为单位购买单价为60
元的办公用品x件(x>2),则应付款y(元)与商品件数x的关系式是_____________.
【解析】因为x>2,
所以y>100,
所以y=100+0.85(60x-100)=51x+15,
所以应付款y(元)与商品件数x的关系式是y=51x+15.
y=51x+15
12.某单位组织职工对某地进行绿化,已知绿化面积S(m2)与工作时间t(h)之间的关系
如图所示,则4 h工作结束时,绿化面积为________m2.
【解析】2 h后绿化效率为(140-60)÷(3-2)=80(m2/h),
所以4 h工作结束时,绿化面积为140+80=220(m2).
220
跨学科应用
13.(与物理结合)(2024·佛山禅城期中)某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据(如表):
温度/℃ -20 -10 0 10 20 30
声速/(m/s) 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是( )
A.在这个变化中,自变量是温度,因变量是声速
B.温度越高,声速越快
C.当空气温度为20 ℃时,声速为342 m/s
D.温度每升高10 ℃,声速增加8 m/s
D
【解析】因为在这个变化中,自变量是温度,因变量是声速,
所以选项A说法正确,不符合题意;
根据题表可得,温度越低,声速越慢,温度越高,声速越快,
所以选项B说法正确,不符合题意;
由题表可知,当空气温度为20 ℃时,声速为342 m/s,
所以选项C说法正确,不符合题意;
因为324-318=6(m/s),330-324=6(m/s),336-330=6(m/s),342-336=6(m/s),348-342=6(m/s),
所以温度每升高10 ℃,声速增加6 m/s,
所以选项D说法不正确,符合题意.
14.(与化学结合)(2024·青海中考)化学实验小组查阅资料了解到:某种絮凝剂溶于水
后能够吸附水中悬浮物并发生沉降,从而达到净水的目的.通过实验得出加入絮凝剂
的体积与净水率之间的关系如图所示,下列说法正确的是( )
A.加入絮凝剂的体积越大,净水率越高
B.未加入絮凝剂时,净水率为0
C.絮凝剂的体积每增加0.1 mL,净水率的增加量相等
D.当加入絮凝剂的体积是0.2 mL时,净水率达到76.54%
D
【解析】由题意得:当加入絮凝剂的体积为0.6 mL时,净水率比0.5 mL时降低了,故选项A说法错误,不符合题意;
未加入絮凝剂时,净水率为12.48%,故选项B说法错误,不符合题意;
絮凝剂的体积每增加0.1 mL,净水率的增加量都不相等,故选项C说法错误,不符合题意;
当加入絮凝剂的体积是0.2 mL时,净水率达到76.54%,故选项D说法正确,符合题意.(共24张PPT)
4 用图象表示变量之间的关系
课时目标 素养达成
1.结合具体情境,理解图象上的点所表示的意义 推理能力、几何直观
2.能从图象中获取变量之间关系的信息,并用语言进行描述 几何直观、应用意识
读图象“三步法”:
一读“轴”:读横、纵轴表示的含义;
二读“点”:读“特殊点”的含义,包括起点、终点、交点、拐点;
三读“趋势”:读线的增减性,呈上升趋势或下降趋势.
星期日的早晨,小宇从家出发,先到文具店购买学习用具,接着到新华书店取自己预定
的书后马上回家.如图所示反映了小宇从出门到回家过程中离家的距离(km)与他从
家出发所用的时间(h)之间的关系.请根据图象解答下列问题:
(1)小宇家到文具店的距离是______km,他在文具店停留了________h.
(2)图中点A表示的意义是________________________________________.
(3)小宇从书店到家的平均速度为_______km/h.
2
0.25
小宇出发1 h后到达离家6 km的新华书店
12
曲线图象表示的变量关系(几何直观、推理能力)
【典例1】小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4×50米折返跑.
在整个过程中,跑步者距起跑线的距离y(单位:m)与跑步时间t(单
位:s)的对应关系如图2所示.下列叙述正确的是( )
A.两人从起跑线同时出发,同时到达终点
B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C.小苏前15 s跑过的路程大于小林前15 s跑过的路程
D.小林在跑最后100 m的过程中,与小苏相遇2次
(2024·茂名期中)用恒定不变的水速往某一容器里注水,该容器中
的水位高度h(dm)与注水时间t(min)的关系如图所示,则该容器的
形状可能是( )
【解析】由图象可知,相同注水速度下,水面上升的速度随着注水时间的增加而减小,所以容器的形状可能是下窄上宽.
D
折线图象表示的变量关系(几何直观、推理能力)
【典例2】(2024·河源紫金期末)“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉,图2中的线段OD和折线OABC表示图1中“龟兔赛跑”时路程与时间的关系,请你根据图中给出的信息,解答下列问题.
(1)图中的自变量、因变量分别是什么
(2)请写出图中点D表示的实际意义.
(3)兔子在睡觉前的速度是 m/min,乌龟的速度是 m/min.
(4)乌龟在出发 min后追上正在睡觉的兔子.
【自主解答】(1)题图中的自变量是时间,因变量是路程.
(2)题图中点D表示的实际意义为乌龟到达终点时用时30 min.
(3)结合题图得出,兔子在睡觉前的速度为700÷1=700(m/min),乌龟的速度是1 500
÷30=50(m/min).
答案:700 50
(4)700÷50=14(min),即乌龟在出发14 min后追上正在睡觉的兔子.
答案:14
1.(2024·深圳龙岗期中)如图所示,折线ABCDE描述了一辆新能源汽车在某一直线公
路上的行驶过程中,汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系.根据
图中提供的信息,下列说法中,正确的是( )
A.汽车共行驶了120 km
B.汽车在整个行驶过程中停留了2 h
C.汽车在出发后前3 h的平均行驶速度为40 km/h
D.汽车在出发后3 h至4.5 h之间行驶的速度在逐渐减慢
C
2.(2024·梅州质检)如图所示是某蓄水池的横断面示意图,分深水区和浅水区,如果向
这个蓄水池中以固定的流量注水,下面的图象中能大致表示水的最大深度h和时间t
之间的关系的是( )
【解析】根据题意和图形的形状,可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段,先快后慢.
C
1.(2024·湛江赤坎期末)小张的爷爷每天坚持锻炼,星期天爷爷从家里跑步到公园,打
了一会儿太极拳,然后沿原路散步走到家,下面能反映当天爷爷离家的距离y(m)与时
间t(min)之间关系的大致图象是( )
【解析】因为爷爷跑步去公园,散步回家,且在公园停留打了一会儿太极拳,
所以距离的变化是先增加、中间有段不变后减少,且增加快,减少慢.
C
2.大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象,而水则具有反膨胀现象,如图所示是当温度在0~10 ℃时,水的密度ρ(单位:g·cm-3)随着温度T(单位:℃)变化的关系图象,根据图象回答问题.
(1)图中的自变量是什么 因变量是什么
(2)图中点M表示的意义是什么
(3)当温度在0~10 ℃时,随着温度增大,水的密度ρ是如何变化的
(4)在0~10 ℃范围内,当温度为多少度时,水的密度ρ为0.999 9 g·cm-3
【解析】(1)由图可知,自变量是温度T,因变量是水的密度ρ.
(2)当T=4 ℃时,水的最大密度为0.999 9 g·cm-3.
(3)由图可知,当温度在0~4 ℃时,水的密度ρ逐渐增大;当温度在4~10 ℃时,水的密度ρ逐渐减小.
(4)当温度为4 ℃时,水的密度ρ为0.999 9 g·cm-3.
知识点1 曲线图象表示的变量间关系
1.人体生命活动所需能量主要由食物中的糖类提供.如图所示是小南吃早餐后一段
时间内血糖浓度变化曲线图.下列描述正确的是( )
A.从9时至10时血糖呈下降状态
B.10时血糖最高
C.从11时至12时血糖呈上升状态
D.这段时间内有3个时刻血糖浓度达到7.0 mmol·L-1
A
【解析】A.从9时至10时血糖呈下降状态,故说法正确,符合题意;
B.9时血糖最高,故说法错误,不符合题意;
C.从11时至12时,血糖先上升后下降,故说法错误,不符合题意;
D.这段时间有2个时刻血糖浓度达到7.0 mmol·L-1,故说法错误,不符合题意.
知识点2 折线图象表示的变量间关系
2.以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系:
甲:运动员推铅球时,铅球的高度与水平距离的关系;
乙:食堂需购买一批餐具,支付费用与购买餐具的数量的关系;
丙:一长方形水池里原有部分水,再匀速往里注水,水池中水面的高度与注水时间的关系;
丁:小明周末离家去看电影,结束后,按去时的速度原路返回,小明离家的距离与时间的关系.
用图象刻画情境,排序正确的是( )
A.③①④② B.④③①②
C.④①③② D.③①②④
C
【解析】因为运动员推铅球时,铅球的高度与水平距离成抛物线状,所以该变化对应图象④;
因为食堂需购买一批餐具,支付费用与购买餐具的数量成正比例关系,所以该变化对应图象①;
因为一长方形水池里原有部分水,再匀速往里注水,水池中水面的高度与注水时间成一次函数关系,所以该变化对应图象③;
因为小明周末离家去看电影,结束后,按去时的速度原路返回,所以该变化对应图象②.
3.(2024·深圳龙岗期中)马峦山隧道是连接坪山区和盐田区必不可少的交通要塞,也
是目前深圳最长的隧道,全长7.9 km.一辆小汽车匀速通过马峦山隧道,小汽车车身在
隧道内的长度记为y(m),小汽车进入隧道的时间记为t(s),则y与t之间的关系用图象描
述大致是( )
D
【解析】根据题意可知,小汽车进入隧道的时间t与汽车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为:当小汽车开始进入时y逐渐变大,小汽车完全进入后一段时间内y不变,当小汽车开始出来时y逐渐变小,故反映到图象上应选D.
4.(2024·佛山禅城期末)如图所示,射线①是公共汽车线路收支差额y(票价总收入减去
运营成本)与乘客量x的函数图象,目前该线路亏损.射线②是公司提高票价后的函数
图象.两射线与x轴的交点坐标分别是(1.5,0),(0.6,0),则当乘客为1万人时,提高票价后
的收支差额较提价前增加了______万元.
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