19.3.2．菱形
第1课时 菱形的性质
知识点1 菱形的定义
1．如图，在平行四边形ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC，∴平行四边形ABCD是菱形( 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 ).(请在括号内填上理由)
知识点2 菱形的性质
2．(广西百色期末)如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠CDB＝70°，则∠ACD的度数为( )
A．40° B．30° C．20° D．50°
3．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是(6，2)，点D的坐标是(0，2)，点A在x轴上，则点C的坐标是( )
A．(3，2) B．(3，3) C．(3，4) D．(2，4)
4．如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为( )
A． B．2 C．2 D．4
5．(广西钦州期末)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝__ __．
易错易混点 动点问题中忽视菱形对角线的性质
6．(广西玉林期末)如图，菱形ABCD的对角线BD长度为6，边长AB＝，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN.则当M运动的过程中，求CN长度的最大值．
7．(广西桂林期末)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O.若BD＝6，AC＝6，则菱形ABCD的周长是( )
A．6 B．12 C．18 D．24
8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，菱形ABCD的周长为40，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E，F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是( )
A．30 B．25 C．20 D．15
9．(广西北海月考)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P和点Q分别在边CD和AD上运动(不与A，C，D重合)，满足DP＝AQ，连接AP，CQ交于点E，在运动过程中，则下列结论：①AP＝CQ；②∠AEC的度数不变；③∠APD＋∠CQD＝180°；其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．(山东青岛中考)如图，菱形ABCD中，BC＝10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO＝__ __．
11．(广西百色模拟)在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝45°，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点N.
(1)求∠CAM的度数；
(2)①求证：BN＝2OC；
②若AB＝4，求AN的长．
【母题P92练习T2】菱形ABCD的边长为13 cm，它的一条对角线BD＝10 cm，求对角线AC的长．
【变式1】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，AC＝24，BC＝13.求DH的长．
【变式2】如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积.
(2)如图当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．
12．(推理能力&运算能力)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M，N分别是边BC，CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN.
(1)△AMN 是等边三角形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
(2)在M，N运动的过程中，四边形CMAN的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，请说明理由．
13．(推理能力&运算能力)如图，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，AE，AF分别交BD于点G，H.
(1)求证：AG＝AH；
(2)延长AF，BC相交于点P，当BG＝GH时，求证：PF＝DF.19.3.2．菱形
第1课时 菱形的性质
知识点1 菱形的定义
1．如图，在平行四边形ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC，∴平行四边形ABCD是菱形( 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 ).(请在括号内填上理由)
知识点2 菱形的性质
2．(广西百色期末)如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠CDB＝70°，则∠ACD的度数为( C )
A．40° B．30° C．20° D．50°
3．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是(6，2)，点D的坐标是(0，2)，点A在x轴上，则点C的坐标是( C )
A．(3，2) B．(3，3) C．(3，4) D．(2，4)
连接AC，BD相交于点E.
∵四边形ABCD是菱形，∴AE＝CE，BE＝DE，AC⊥BD，∵点A在x轴上，点B的坐标为(6，2)，点D的坐标为(0，2)，∴BD＝6，AE＝2，∴DE＝BD＝3，AC＝2AE＝4，∴点C的坐标为(3，4).
4．如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为( D )
A． B．2 C．2 D．4
∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，∴AC＝2AO＝2.∵菱形ABCD的边长为，∴AB＝，
∴BO＝＝2，∴BD＝2BO＝4，∴菱形ABCD的面积＝BD×AC＝×4×2＝4.
5．(广西钦州期末)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝____．
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，∴AC⊥BD，OC＝OA＝AC＝3，OD＝OB＝BD＝4，∴∠COD＝90°，∴CD＝＝＝5.∵O为BD的中点，E为边BC的中点，∴OE＝CD＝.
易错易混点 动点问题中忽视菱形对角线的性质
6．(广西玉林期末)如图，菱形ABCD的对角线BD长度为6，边长AB＝，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN.则当M运动的过程中，求CN长度的最大值．
连接AC，交BD于点O，连接ON.
∵菱形ABCD的对角线BD长度为6，边长AB＝，
∴AC⊥BD，OD＝BD＝3，CD＝，∴OC＝＝1.
∵N为MD中点，∴ON∥BM，
∵BM⊥DM，∴ON⊥DM，∴∠OND＝90°，
取OD的中点E，连接CE，NE，
则OE＝OD＝，CE＝＝，NE＝OD＝.
∵CN≤CE＋NE，∴当C，N，E三点共线时，CN的长度最大为CE＋EN＝＋＝.
7．(广西桂林期末)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O.若BD＝6，AC＝6，则菱形ABCD的周长是( D )
A．6 B．12 C．18 D．24
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝3，AO＝OC＝AC＝3，AB＝BC＝CD＝DA，∴∠AOD＝90°，在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD2＝OD2＋OA2＝32＋(3)2＝36，∴AD＝6，∴菱形ABCD的周长是4AD＝24.
8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，菱形ABCD的周长为40，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E，F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是( A )
A．30 B．25 C．20 D．15
∵菱形ABCD的周长为40，对角线AC，BD交于点O，∴AB＝CD＝AD＝CB＝10，AD∥CB，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，OA＝OC，∠OAE＝∠OCF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF＝5，AE＝CF，∴EF＝OE＋OF＝5＋5＝10，AE＋BF＝CF＋BF＝CB，
∵AB＝CB＝10，∴AB＋CB＝20，∴AB＋AE＋BF＋EF＝AB＋CB＋EF＝20＋10＝30，∴四边形ABFE的周长是30.
9．(广西北海月考)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P和点Q分别在边CD和AD上运动(不与A，C，D重合)，满足DP＝AQ，连接AP，CQ交于点E，在运动过程中，则下列结论：①AP＝CQ；②∠AEC的度数不变；③∠APD＋∠CQD＝180°；其中正确的是( D )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°，DP＝AQ，∴∠ACP＝∠D＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝CD＝AC，∴AD－AQ＝CD－DP，即DQ＝CP，∴△ACP≌△CDQ(SAS)，∴∠APC＝∠CQD，AP＝CQ，故①正确；∵∠APD＋∠APC＝180°，∴∠APD＋∠CQD＝180°，故③正确；∵∠D＝60°，∠APD＋∠CQD＝180°，∴∠QEP＝120°，∴∠AEC＝∠QEP＝120°，故②正确．
10．(山东青岛中考)如图，菱形ABCD中，BC＝10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO＝____．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC＝CD＝DA＝10，
∵S菱形ABCD＝AC·BD＝60，∴AC·BD＝120，∴BO·OC＝30.∵BO2＋CO2＝BC2＝100，
∴(BO＋OC)2－2BO·CO＝100，∴BO＋CO＝4(负值已舍去)，∴BO＝4－OC.
∵BO2＋CO2＝102，∴(4－OC)2＋CO2＝100，∴CO＝，CO＝3(舍去).
∵AE⊥BC，AO＝CO，∴OE＝CO＝.
11．(广西百色模拟)在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝45°，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点N.
(1)求∠CAM的度数；
(2)①求证：BN＝2OC；
②若AB＝4，求AN的长．
(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
∵∠ABC＝45°，∴∠ACB＝(180°－∠ABC)＝×135°＝67.5°.
∵AM⊥BC，
∴BM＝AM，∠BMN＝∠AMC＝90°，∠CAM＝90°－∠ACM＝90°－67.5°＝22.5°；
(2)①∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2OC，AB＝BC＝CD＝DA，∠OBC＝22.5°，
∴∠MAC＝∠OBC，
又∵BM＝AM，∠BMN＝∠AMC＝90°，
∴△BMN≌△AMC(ASA)，
∴BN＝AC＝2OC.
②过点N作NH⊥AB于点H，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC.
又∵NH⊥AB，AM⊥BC，∴NM＝NH.
设NM＝NH＝x，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABM与△AHN均为等腰直角三角形．
∵NM＝NH＝x＝AH，AH2＋HN2＝AN2，AB2＝AM2＋BM2，
∴AN＝x.
又∵AB＝4，∴AM＝BM＝2，
∴BM＝AM＝x＋x＝2，
解得x＝4－2，∴AN＝4－4.
【母题P92练习T2】菱形ABCD的边长为13 cm，它的一条对角线BD＝10 cm，求对角线AC的长．
如图，设AC，BD的交点为E，
∵四边形ABCD是菱形，BD＝10 cm，
∴AC⊥BD，BE＝DE＝5 cm，AE＝CE，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝12(cm)，∴AC＝2AE＝24 cm.
【变式1】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，AC＝24，BC＝13.求DH的长．
在菱形ABCD中，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝AC＝12，DO＝BD，AB＝BC＝13.
∴在Rt△ABO中，BO＝＝5，
∴BD＝2BO＝10.
∵S△ABD＝AB·DH＝BD·AO，
∴13×DH＝10×12，∴DH＝.
【变式2】如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积.
(2)如图当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．
(1)∵四边形ABCD是菱形，边长为10，对角线BD＝16，
∴AB＝10，AG＝CG，AC⊥BD，BG＝BD＝8，
由勾股定理，得AG＝＝＝6，
∴AC＝2AG＝2×6＝12，
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×12×16＝96；
(2)OE＋OF的值不发生变化．理由如下：
如图，连接AO，
则S△ABD＝S△ABO＋S△ADO，
即BD·AG＝AB·OE＋AD·OF，
∴BD·AG＝AB·OE＋AD·OF，
即16×6＝10·OE＋10·OF，
解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．
12．(推理能力&运算能力)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M，N分别是边BC，CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN.
(1)△AMN 是等边三角形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
(2)在M，N运动的过程中，四边形CMAN的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，请说明理由．
(1)△AMN是等边三角形．
证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACD＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN.
在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN(ASA)，∴AM＝AN.
∵∠MAN＝60°，∴△AMN是等边三角形；
(2)四边形CMAN的面积不发生变化．理由如下：
∵△BAM≌△CAN，∴S△BAM＝S△CAN，
∴四边形AMCN的面积＝S△ACD＝×2×＝，∴四边形AMCN的面积不发生变化．
13．(推理能力&运算能力)如图，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，AE，AF分别交BD于点G，H.
(1)求证：AG＝AH；
(2)延长AF，BC相交于点P，当BG＝GH时，求证：PF＝DF.
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠ADB.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE⊥AD，AF⊥AB，
∴∠DAG＝∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝90°－∠ABD＝90°－∠ADB＝∠AGD，
∴AG＝AH；
(2)∵BG＝GH，
∴G是直角三角形ABH斜边BH的中点，
∴AG＝BG＝GH，
由(1)，知AH＝AG，
∴AG＝AH＝GH，
∴△AGH是等边三角形，
∴∠AHG＝60°，∴∠ABH＝30°，∴∠ABC＝60°.
∵AF⊥AB，∴∠BAP＝90°，
∴∠P＝30°，
∴PF＝CF，如图，连接AC.
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，AD＝CD，
∴△ADC是等边三角形，
∵AF⊥CD，∴CF＝DF，∴PF＝DF.
