19.3.2．菱形
第2课时 菱形的判定
知识点 菱形的判定
1．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是( )
A．∠ABC＝90° B．AC⊥BD
C．AB＝CD D．AB∥CD
2．数学课上，老师让同学们判断一个四边形是否为菱形，下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否相等
B．测量对角线是否垂直
C．测量一组对角是否相等
D．测量四边是否相等
3．(广西玉林期末)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明 ABCD是菱形的是( )
A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD
C．OA2＋OB2＝AD2 D．AD2＋OA2＝OD2
4．根据如图平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是( )
5．小明用四个全等的含30°角的直角三角板拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有( )
A．0 B．1
C．2 D．3
6．(广西钦州期末)如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添加条件__ __.
易错易混点 忽视等腰三角形的轴对称性质的应用出错
7.(广西桂林期末)如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E.
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)若AB＝3，∠ABE＝120°，求DE的长．
8．(广西钦州月考)如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB＝3 cm，四边形AOBC的面积为12 cm2，则OC的长为( )
A．5 cm B．8 cm
C．10 cm D．4 cm
9．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接EO并延长交边AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB.下列结论错误的是( )
A．AB⊥AC
B．AD＝4OE
C．四边形AECF为菱形
D．S△BOE＝S△ABC
10．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝2，AC＝2，则BD的长为__ __．
11．(广西玉林模拟)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AC，DE，且DE＝DC.
(1)求证：∠DCE＝∠ADE；
(2)若∠CED＝2∠DAC，求证：四边形ABCD是菱形．
12．(广西贺州期末)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一动点，连接BE交AC于F，连接DF.
(1)求证：∠BAC＝∠DAC；
(2)若AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，当点E运动到离点B距离最近时，猜想∠EFD与∠BCD的关系，并说明理由．
【母题P98习题19.3T9】已知：在 ABCD中，∠BAC＝∠DAC，求证： ABCD是菱形．
【变式】如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF.
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形.
．
13．(推理能力)(黑龙江哈尔滨中考)四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC.
(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE相等的线段(线段CE除外).
19.3.2．菱形
第2课时 菱形的判定
知识点 菱形的判定
1．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是( B )
A．∠ABC＝90° B．AC⊥BD
C．AB＝CD D．AB∥CD
2．数学课上，老师让同学们判断一个四边形是否为菱形，下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( D )
A．测量对角线是否相等
B．测量对角线是否垂直
C．测量一组对角是否相等
D．测量四边是否相等
3．(广西玉林期末)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明 ABCD是菱形的是( D )
A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD
C．OA2＋OB2＝AD2 D．AD2＋OA2＝OD2
4．根据如图平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是( C )
5．小明用四个全等的含30°角的直角三角板拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有( D )
A．0 B．1
C．2 D．3
6．(广西钦州期末)如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添加条件__AB＝CD(答案不唯一)__.
易错易混点 忽视等腰三角形的轴对称性质的应用出错
7.(广西桂林期末)如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E.
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)若AB＝3，∠ABE＝120°，求DE的长．
(1)四边形ABCD是菱形．
理由如下：∵AB＝BC，BO平分∠ABC，
∴AO＝CO.
∵AD∥BE，
∴∠DAO＝∠ACB，∠ADO＝∠CBO，
∴△ADO≌△CBO(AAS)，
∴DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)∵BO平分∠ABC，∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE＝60°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AB＝3，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝3.
∵BD⊥DE，∴∠BDE＝90°，
∴∠E＝90°－∠DBC＝30°，
∴BE＝2BD＝6，
∴DE＝＝＝3，
∴DE的长为3.
8．(广西钦州月考)如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB＝3 cm，四边形AOBC的面积为12 cm2，则OC的长为( B )
A．5 cm B．8 cm
C．10 cm D．4 cm
根据作图，AC＝BC＝OA.
∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形．
∵AB＝3 cm，四边形OACB的面积为12 cm2，
∴AB·OC＝×3×OC＝12，解得OC＝8 cm.
9．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接EO并延长交边AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB.下列结论错误的是( D )
A．AB⊥AC
B．AD＝4OE
C．四边形AECF为菱形
D．S△BOE＝S△ABC
∵点E为BC的中点，∴BC＝2BE＝2CE.
又∵BC＝2AB，∴AB＝BE.∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝∠BEA＝60°，AE＝BE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝90°，即AB⊥AC，故A正确，故该选项不符合题意；在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，∴∠CAD＝∠ACB，在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE(ASA)，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE＝CE，∴平行四边形AECF是菱形，故C正确，故该选项不符合题意；
∴AC⊥EF，在Rt△COE中，∠ACE＝30°，∴OE＝CE＝BC＝AD，则AD＝4OE，故B正确，故该选项不符合题意；在平行四边形ABCD中，OA＝OC.又∵点E为BC的中点，∴S△BOE＝S△BOC＝S△ABC，故D错误，故该选项符合题意．
10．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝2，AC＝2，则BD的长为__2__．
过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如图，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S ABCD＝BC·AE＝CD·AF.
又∵AE＝AF，∴BC＝CD.∴四边形ABCD是菱形，连接AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝1，
∴BO＝＝，∴BD＝2BO＝2.
11．(广西玉林模拟)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AC，DE，且DE＝DC.
(1)求证：∠DCE＝∠ADE；
(2)若∠CED＝2∠DAC，求证：四边形ABCD是菱形．
(1)∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∴∠DEC＝∠ADE，
∴∠DCE＝∠ADE；
(2)∵DE＝DC，∴∠CED＝∠DCE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠DCE，BC∥AD，
∴∠BCA＝∠CAD，
∵∠CED＝2∠DAC，
∴∠DCE＝2∠DAC，
∴∠BAD＝2∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝CB，
∴四边形ABCD是菱形．
12．(广西贺州期末)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一动点，连接BE交AC于F，连接DF.
(1)求证：∠BAC＝∠DAC；
(2)若AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，当点E运动到离点B距离最近时，猜想∠EFD与∠BCD的关系，并说明理由．
(1)在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC＝∠DAC；
(2)∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.
∵∠BAC＝∠DAC，∴∠ACD＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝AD＝CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
(3)∠EFD＝∠BCD，
理由如下：当BE⊥CD时，BE最短，
此时∠EFD＋∠EDF＝90°，∠BCD＋∠CBE＝90°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCF＝∠DCF.
又∵CF＝CF，CB＝CD，
∴△BCF≌△DCF(SAS)，
∴∠EDF＝∠CBE，
∴∠EFD＝∠BCD.
【母题P98习题19.3T9】已知：在 ABCD中，∠BAC＝∠DAC，求证： ABCD是菱形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴ ABCD是菱形．
【变式】如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF.
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形.
(1)在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF.
∴OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴DA＝DC，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∴DB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形．
13．(推理能力)(黑龙江哈尔滨中考)四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC.
(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE相等的线段(线段CE除外).
(1)∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△ADO和△CBO中，
∴△ADO≌△CBO(AAS)，
∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)与线段CE相等的线段有AE，DE，AG，CF.理由如下：
由(1)知：四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，
∴△ABC和△ADC为等边三角形，
∵CH⊥AD，
∴AH＝DH，
即CH为AD的垂直平分线，
∴AE＝DE.
同理CE＝AE，
∴AE＝DE＝EC.
∵△ADC为等边三角形，CH⊥AD，
∴∠ACH＝∠ACD＝30°.
∵∠FEC＝75°，
∴∠EFC＝180°－∠ACH＝∠FEC＝75°，
∴∠EFC＝∠FEC，
∴CF＝CE.
∵△ABC和△ADC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠CAD＝60°.
∵CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝90°，∠AEC＝180°－∠EAC－∠ECA＝120°，
∴∠AEG＝∠AEC－∠FEC＝45°，
∴△AGE为等腰直角三角形，
∴AE＝AG，
∴AG＝EC.
