19.3.3．正方形
知识点1 正方形的性质
1．(广西钦州期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4.以AB为边在点C同侧作正方形ABDE，则正方形ABDE的周长为( )
A．12 B．16 C．20 D．25
2．如图，AD是△ABC的高，分别以线段AB，BD，DC，CA为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．(广西贺州模拟)如图，正方形ABCD的边长为2，菱形BEDF的边长为，则EF的长为__ __．
知识点2 正方形的判定
4．已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件( )
A．AB＝BC B．∠ABC＝90°
C．∠ADB＝30° D．AC＝AB
5．满足下列条件的四边形一定是正方形的是( )
A．对角线互相平分的四边形
B．有三个角是直角的四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形
D．对角线相等的菱形
6．如图，在矩形ABCD中，有以下结论：①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD会变成正方形．正确的结论是__ __．
易错易混点 忽视分类讨论出错
7．如图，正方形ABCD的边长为4，点P为对角线BD上一动点，点E在射线BC上，连接PC，PE.
(1)填空：∠PBC＝__ __；
(2)若点E为BC的中点，则PE＋PC的最小值为__ __；
(3)若点E是直线AP与射线BC的交点，当△PCE为等腰三角形时，求∠PEC的度数．
8．(广西玉林月考)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是( )
A．AB＝AD且AC⊥BD
B．AC⊥BD且AC和BD互相平分
C．∠BAD＝∠ABC且AC＝BD
D．AC＝BD且AB＝AD
9．(广西百色期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P，Q分别是边AD，BC上的动点，点P从A出发到D停止运动，点Q从C出发到B停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形APCQ是矩形；②存在四边形APCQ是菱形；③存在四边形APQB是矩形；④存在四边形APQB是正方形．所有正确结论的序号是( )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
10．在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝120°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC＝8 cm，求图1中对角线AC的长．
11．(广西玉林期末)已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA，EC.
(1)求证：△EAB≌△ECB；
(2)若∠AEC＝45°，求证：DC＝DE.
【母题P98习题19.3T12】已知：如图，点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，且BF＝CE.求证：四边形AEDF为正方形．
【变式】已知：如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边CD，AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF.
求证：矩形ABCD是正方形．
12．(推理能力)已知平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F，PE＝PF.
(1)如图，若∠EPF＝60°，EO＝1，求PE的长；
(2)若点P是AD的中点，点F是DO的中点．求证：平行四边形ABCD是正方形．
13．(推理能力&运算能力)如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，以AD为边作正方形ADEF，连接CF，CE.
(1)求证：△ABD≌△ACF；
(2)如果BD＝AC＝3，求CE的长．19.3.3．正方形
知识点1 正方形的性质
1．(广西钦州期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4.以AB为边在点C同侧作正方形ABDE，则正方形ABDE的周长为( C )
A．12 B．16 C．20 D．25
2．如图，AD是△ABC的高，分别以线段AB，BD，DC，CA为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为( B )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．(广西贺州模拟)如图，正方形ABCD的边长为2，菱形BEDF的边长为，则EF的长为__2__．
如图，连接BD与EF交于点O，
∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，由勾股定理，得BD＝＝＝2，∵四边形BEDF为菱形，∴BD⊥EF，OE＝OF，OD＝OB，∴∠EOD＝90°，OD＝，在Rt△EOD中，由勾股定理，得OE＝＝＝1，∴EF＝2OE＝2.
知识点2 正方形的判定
4．已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件( B )
A．AB＝BC B．∠ABC＝90°
C．∠ADB＝30° D．AC＝AB
5．满足下列条件的四边形一定是正方形的是( D )
A．对角线互相平分的四边形
B．有三个角是直角的四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形
D．对角线相等的菱形
6．如图，在矩形ABCD中，有以下结论：①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD会变成正方形．正确的结论是__①②③⑤__．
易错易混点 忽视分类讨论出错
7．如图，正方形ABCD的边长为4，点P为对角线BD上一动点，点E在射线BC上，连接PC，PE.
(1)填空：∠PBC＝__45°__；
(2)若点E为BC的中点，则PE＋PC的最小值为__2__；
(3)若点E是直线AP与射线BC的交点，当△PCE为等腰三角形时，求∠PEC的度数．
(2)如图1，当AP与PE在一条线上时，PE＋PC最小．
图1
∵AB＝4，点E是BC的中点，
∴BE＝2，
∴AE＝＝2，
∴PE＋PC的最小值为2.
(3)分两种情况考虑：
图2
①当点E在BC的延长线上时，如图2所示．
∵△PCE是等腰三角形，
∴∠CPE＝∠PEC，
∴∠BCP＝∠CPE＋∠PEC＝2∠PEC.
∵在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠PBA＝∠PBC＝45°.
又∵BP＝BP，∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴∠BAP＝∠BCP＝2∠PEC.
∵∠BAP＋∠PEC＝90°，
∴2∠PEC＋∠PEC＝90°，∴∠PEC＝30°.
②当点E在BC上时，如图3所示．
图3
∵△PCE是等腰三角形，
∴∠CPE＝∠PCE，
∴∠BEP＝∠CPE＋∠PCE＝2∠PCE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠PBA＝∠PBC＝45°.
又∵BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴∠BAP＝∠BCP.
∵∠BAP＋∠AEB＝90°，
∴∠BCP＋2∠BCP＝90°，
∴∠BCP＝30°，∴∠AEB＝60°，
∴∠PEC＝180°－∠AEB＝120°.
综上所述，当△PCE为等腰三角形时，∠PEC的度数为30°或120°.
8．(广西玉林月考)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是( D )
A．AB＝AD且AC⊥BD
B．AC⊥BD且AC和BD互相平分
C．∠BAD＝∠ABC且AC＝BD
D．AC＝BD且AB＝AD
选项A，AB＝AD且AC⊥BD，是菱形，不符合题意；选项B，对角线互直垂直且互相平分，是菱形，不符合题意；选项C，∠BAD＝∠ABC且AC＝BD不能判断四边形ABCD是正方形，不符合题意；选项D，对角线AC＝BD且AB＝AD四边相等，是正方形，符合题意．
9．(广西百色期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P，Q分别是边AD，BC上的动点，点P从A出发到D停止运动，点Q从C出发到B停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形APCQ是矩形；②存在四边形APCQ是菱形；③存在四边形APQB是矩形；④存在四边形APQB是正方形．所有正确结论的序号是( A )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，当点P与D重合，点Q与B重合时，存在四边形APCQ是矩形；故①正确；∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形APCQ是平行四边形，当AP＝CP时，四边形APCQ是菱形，设AP＝x，则CP＝x，PD＝6－x，∵∠D＝90°，∴PC2＝PD2＋CD2，
∴x2＝(6－x)2＋42，解得x＝，故当AP＝时，四边形APCQ是菱形；故②正确；当AP＝BQ时，四边形APQB是矩形，∵AP＝CQ，∴BQ＝CQ＝BC＝3，当AP＝3时，四边形APQB是矩形，故③正确；不存在四边形APQB是正方形，理由：当AP＝AB＝BQ＝4，则CQ＝2，∵AP＝CQ，∴BQ＝CQ＝4，∵BC＝BQ＋CQ＝6，∴不存在四边形APQB是正方形，故④错误．
10．在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝120°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC＝8 cm，求图1中对角线AC的长．
如图1中，连接BD，AC，相交于点O，如图2中，连接AC.
在图2中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AC＝8 cm，AB2＋BC2＝AC2，
∴AB＝BC＝4 cm，在图1中，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝120°，
∴AB∥DC，CD＝BC，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∴∠C＝60°，∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝4 cm，
∴BO＝DO＝BD＝2 cm，
∴CO＝AC＝＝2 cm，
∴AC＝4 cm.
11．(广西玉林期末)已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA，EC.
(1)求证：△EAB≌△ECB；
(2)若∠AEC＝45°，求证：DC＝DE.
(1)∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°.
在△EAB和△ECB中，
∴△EAB≌△ECB(SAS)；
(2)∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC＝∠CDA＝45°.
∵△EAB≌△ECB，∠AEC＝45°，
∴∠CED＝∠AED＝∠AEC＝22.5°.
∵∠BDC＝∠CED＋∠DCE＝45°，
∴∠DCE＝45°－22.5°＝22.5°，
∴∠CED＝∠DCE，∴DC＝DE.
【母题P98习题19.3T12】已知：如图，点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，且BF＝CE.求证：四边形AEDF为正方形．
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°.
∵点D是△ABC中BC边上的中点，
∴BD＝CD.
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)，
∴DE＝DF.
∵∠BFD＝∠CED＝90°，
∴∠AFD＝∠AED＝∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．又∵DF＝DE，
∴四边形AEDF是正方形．
【变式】已知：如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边CD，AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF.
求证：矩形ABCD是正方形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴∠ABF＋∠AFB＝90°，
∵AE⊥BF，∴∠DAE＋∠AFB＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
12．(推理能力)已知平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F，PE＝PF.
(1)如图，若∠EPF＝60°，EO＝1，求PE的长；
(2)若点P是AD的中点，点F是DO的中点．求证：平行四边形ABCD是正方形．
(1)连接PO，如图．
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°.
∵PE＝PF，PO＝PO，
∴Rt△PEO≌Rt△PFO(HL)，
∴∠EPO＝∠FPO＝30°，
在Rt△PEO中，EO＝1，∠EPO＝30°，
∴PO＝2，∴PE＝＝，∴PF＝；
(2)∵P是AD中点，∴AP＝PD.
又∵PE＝PF，∴Rt△PEA≌Rt△PFD(HL)，
∴∠OAD＝∠ODA，∴OA＝OD，
∴AC＝2OA＝2OD＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
∵点P是AD中点，点F是DO的中点，
∴AO∥PF，PF＝AO，则PE＝OD，即AC＝BD.
∵PF⊥BD，∴AC⊥BD.
∴平行四边形ABCD是菱形．
又∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是正方形．
13．(推理能力&运算能力)如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，以AD为边作正方形ADEF，连接CF，CE.
(1)求证：△ABD≌△ACF；
(2)如果BD＝AC＝3，求CE的长．
(1)∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝90°.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAF－∠DAC，
∴∠BAD＝CAF.
在△ABD和△ACF中，
∴△ABD≌△ACF(SAS)；
(2)∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝EF，∠DAF＝∠AFE＝90°，
由(1)知△ABD≌△ACF，∴BD＝CF.
∵BD＝AC，∴AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠DAF－∠CAF＝∠AFE－∠CFA，
即∠DAC＝∠EFC，
∴△ADC≌△FEC(SAS)，
∴CD＝CE.在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，
∴BC＝3，
∴CD＝BC－BD＝3－3，∴CE＝3－3.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
又∵BD＝AC＝3，∴AB＝AC＝3，
由勾股定理，得BC＝＝＝3，
∴CD＝BC－BD＝3－3，
∴CE＝3－3.
