19．4 综合与实践 多边形的镶嵌
知识点1 单一图形的镶嵌
1．下列图形中，单独选用不能进行平面镶嵌的是( D )
A．正三角形 B．正方形
C．正六边形 D．正十边形
2．现有几种形状的多边形地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤一般三角形；⑥一般四边形．每一种地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只用其中的一种多边形地砖镶嵌，那么能够镶嵌成一个平面图案的有( D )
A．2 种 B．3种 C．4种 D．5种
知识点2 多个图形的镶嵌
3．(广西百色模拟)一个正方形与其他正多边形组合可以铺设地板，则该多边形可以是( C )
A．正五边形 B．正六边形
C．正八边形 D．正十边形
4．如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是( D )
A．6 B．8 C．10 D．12
5．(广西钦州期末)“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为( B )
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多边形地砖的边数是( B )
A．5 B．6 C．7 D．8
易错易混点 组合图形的镶嵌方式是多样的
7．如图是小明用等边三角形和正方形砖拼出的地板图案．你能用这样的砖拼出不同于该图的图案吗？
能，如图所示(答案不唯一).
观察题目信息，可以得到图案是由正方形与等边三角形拼出来的；
利用边长相等的正方形与等边三角形进行拼接．
8．(广西崇左模拟)如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第12层中含有正三角形个数是( D )
A．102个 B．114个 C．126个 D．138个
由题意，得第1层每两个正方形之间有1个正三角形，该层共有6个正三角形，第2层每两个正方形之间有3个正三角形，该层共有18个正三角形，第3层每两个正方形之间有5个正三角形，该层共有30个正三角形，…，第n层每两个正方形之间有(2n－1)个正三角形，该层共有6(2n－1)＝(12n－6)个正三角形，∴第12层每两个正方形之间有12×12－6＝138个正三角形．
9．现有若干张如图1所示的边长均为1 cm的正三角形、正六边形卡片，要求必须同时使用这两种卡片，不重叠、无缝隙地围绕某一个顶点一周拼成一个平面图案，如图2所示.
(1)除了图2，还能再拼出__两__种不同的图案；
(2)所拼图案中最小的周长是__8__cm.
(1)∵正三角形的一个内角为60°，正六边形的一个内角为120°，∴围绕某一个顶点拼在一起，成一个平面图案，则共拼出①2×120°＋2×60°，②120°＋60°＋120°＋60°，③120°＋4×60°，共3种不同的图案，∴还能再拼出两种不同的图案．
(2)∵平面图案①的周长为1×10＝10(cm)，平面图案②的周长为1×10＝10(cm)，平面图案③的周长为1×8＝8(cm)，∴所拼图案中最小的周长是8 cm.
10．现有大小、形状完全相同且足够多的四边形大理石下脚料，能用这些大理石铺设地面吗？请用所学的数学知识说明理由．
因为四边形的内角和为360°，
所以360°÷360°＝1，
即拼接点处有4个角，
故大小、形状完全相同且足够多的四边形大理石下脚料，4块大理石一组能够铺设地面．
11．房间的面积为96 m2，用150块大小相同的正方形地砖铺设地面，恰好铺满，试求每块地砖的边长．
设每块地砖的边长为x m，
则150x2＝96，即x2＝＝0.64，
解得x＝±0.8，
根据边长为正，负值舍去，则x＝0.8.
答：每块地砖的边长为0.8 m．
12．(广西玉林月考)如图的图案由边长为1的正三角形和边长为1的正六边形瓷砖镶嵌而成．
(1)图案中最多可用边长为1的正六边形瓷砖多少块？
(2)若一块边长为1的正三角形瓷砖售价0.5元，一块边长为1的正六边形瓷砖售价2.7元，则最少需要多少元购买瓷砖？
(3)某商店推出凡购买瓷砖数达到50块可优惠12%的活动，由此可以选择以下两种方案：①全部用边长为1的正三角形瓷砖；②两种瓷砖都用．你认为哪种方案花钱更少？这种方案需要多少钱？
(1)如题图，图案中最多可用边长为1的正六边形瓷砖8块；
(2)∵所用正三角形瓷砖最少12块，正六边形瓷砖最多8块，
则最少费用为0.5×12＋2.7×8＝27.6(元)；
(3)方案①费用：0.5×(15×4)×(1－12%)＝26.4(元)，
方案②费用：所用正三角形瓷砖最少12块，正六边形瓷砖最多8块，
则最少费用为0.5×12＋2.7×8＝27.6(元)，
∵26.4＜27.6，
∴方案①花钱最少，需要26.4元．
【母题P100课题T2】请你分别按下列要求设计一个多边形的镶嵌图案：
(1)只用一种正多边形；
(2)同时用两种正多边形；
(3)用一种非正多边形．
(1)如图1所示，用六个等边三角形镶嵌；
(2)如图2所示，用两个正方形和三个等边三角形镶嵌；
(3)如图3所示，用六个全等三角形镶嵌．
【变式】张老师在装修新房时想在客厅的地面按照图1所示的正方形图案铺贴仿古地板砖，图1是由四块尺寸完全相同的长方形砖拼成的一个正方形，中间还可另外嵌一个面积为0.1 m×0.1 m的小正方形花砖(花砖张老师已另买).但张老师买砖时只看中了如图2所示的一款较大的正方形地砖，于是只能将其按照图3的方式切割出图1所需的长方形砖在进行铺贴，经过计算这样切割会让每块地砖产生0.12 m2废料．已知张老师家客厅的面积为30 m2，请你帮张老师算一下他需购买图2这款地砖多少块？
∵0.12÷4＝0.03(m2)，
0．03÷0.1＝0.3(m)，
0．3－0.1＝0.2(m)，
∴0.3＋0.2＝0.5(m)，
设购买图2这款地砖x块，由题意，得0.52x＝30，
解得x＝120，
答：张老师需购买图2这款地砖120块．
13．(应用意识&运算能力)大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设.
探究：正多边形的平面图形镶嵌．
正多边形是指各边相等、各角相等的多边形.
用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点镶嵌．共顶点镶嵌其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°.
共顶点单一镶嵌：仅用同一种正多边形镶嵌.
如图可知，正五边形不能共顶点单一镶嵌，可用下面的方法说明．
解：设有x个正五边形．
因为正五边形的每一个内角为108°，
若想用x个108°围成360°，则
108x＝360，
解得x＝(不符合题意)，
所以正五边形不可以共顶点单一镶嵌．
问题1：探索正三角形能不能共顶点单一镶嵌？请用上述方法说明．
问题2：符合共顶点单一镶嵌的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由．
共顶点组合镶嵌：用两种或两种以上正多边形镶嵌．
问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合镶嵌．请设计两种不同的共顶点组合镶嵌方案，并说明理由．
问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合镶嵌，请写出设计方案．
问题1：设有x个正三角形．
因为正三角形的每一个内角为60°，
若想用x个60°围成360°，则60x＝360，
解得x＝6，
所以正三角形可以共顶点单一镶嵌；
问题2：①正方形可以共顶点单一镶嵌．
设有x个正方形．
因为正方形的每一个内角为90°，
若想用x个90°围成360°，则90x＝360，
解得x＝4，
所以正方形可以共顶点单一镶嵌；
②正六边形可以共顶点单一镶嵌．
设有x个正六边形．
因为正六边形的每一个内角为120°，
若想用x个120°围成360°，则120x＝360，
解得x＝3，
所以正六边形可以共顶点单一镶嵌；
问题3：①正三角形与正方形可以共顶点组合镶嵌.
设有x个正三角形，y个正方形．
因为正三角形的每一个内角为60°，正方形的每一个内角为90°，
若想用x个60°与y个90°围成360°，则60x＋90y＝360，
即2x＋3y＝12，
这个二元一次方程的正整数解x＝3，y＝2，
所以正三角形与正方形可以共顶点组合镶嵌；
②正三角形与正六边形可以共顶点组合镶嵌．
设有x个正三角形，y个正六边形．
因为正三角形的每一个内角为60°，正六边形的每一个内角为120°，
若想用x个60°与y个120°围成360°，则60x＋120y＝360，
即x＋2y＝6，
这个二元一次方程的正整数解x＝2，y＝2或x＝4，y＝1，
所以正三角形与正六边形可以共顶点组合镶嵌；
问题4：正三角形、正方形与正六边形可以共顶点组合镶嵌．
设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形．
因为正三角形的每一个内角为60°，正方形的每一个内角为90°，正六边形的每一个内角为120°，
若想用x个60°、y个90°与z个120°围成360°，则
60x＋90y＋120z＝360，
即2x＋3y＋4z＝12，
这个三元一次方程的正整数解x＝1，y＝2，z＝1，
所以正三角形、正方形与正六边形可以共顶点组合镶嵌．19．4 综合与实践 多边形的镶嵌
知识点1 单一图形的镶嵌
1．下列图形中，单独选用不能进行平面镶嵌的是( )
A．正三角形 B．正方形
C．正六边形 D．正十边形
2．现有几种形状的多边形地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤一般三角形；⑥一般四边形．每一种地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只用其中的一种多边形地砖镶嵌，那么能够镶嵌成一个平面图案的有( )
A．2 种 B．3种 C．4种 D．5种
知识点2 多个图形的镶嵌
3．(广西百色模拟)一个正方形与其他正多边形组合可以铺设地板，则该多边形可以是( )
A．正五边形 B．正六边形
C．正八边形 D．正十边形
4．如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
5．(广西钦州期末)“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多边形地砖的边数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
易错易混点 组合图形的镶嵌方式是多样的
7．如图是小明用等边三角形和正方形砖拼出的地板图案．你能用这样的砖拼出不同于该图的图案吗？
8．(广西崇左模拟)如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第12层中含有正三角形个数是( )
A．102个 B．114个 C．126个 D．138个
9．现有若干张如图1所示的边长均为1 cm的正三角形、正六边形卡片，要求必须同时使用这两种卡片，不重叠、无缝隙地围绕某一个顶点一周拼成一个平面图案，如图2所示.
(1)除了图2，还能再拼出__ __种不同的图案；
(2)所拼图案中最小的周长是__ __cm.
10．现有大小、形状完全相同且足够多的四边形大理石下脚料，能用这些大理石铺设地面吗？请用所学的数学知识说明理由．
11．房间的面积为96 m2，用150块大小相同的正方形地砖铺设地面，恰好铺满，试求每块地砖的边长．
12．(广西玉林月考)如图的图案由边长为1的正三角形和边长为1的正六边形瓷砖镶嵌而成．
(1)图案中最多可用边长为1的正六边形瓷砖多少块？
(2)若一块边长为1的正三角形瓷砖售价0.5元，一块边长为1的正六边形瓷砖售价2.7元，则最少需要多少元购买瓷砖？
(3)某商店推出凡购买瓷砖数达到50块可优惠12%的活动，由此可以选择以下两种方案：①全部用边长为1的正三角形瓷砖；②两种瓷砖都用．你认为哪种方案花钱更少？这种方案需要多少钱？
【母题P100课题T2】请你分别按下列要求设计一个多边形的镶嵌图案：
(1)只用一种正多边形；
(2)同时用两种正多边形；
(3)用一种非正多边形．
【变式】张老师在装修新房时想在客厅的地面按照图1所示的正方形图案铺贴仿古地板砖，图1是由四块尺寸完全相同的长方形砖拼成的一个正方形，中间还可另外嵌一个面积为0.1 m×0.1 m的小正方形花砖(花砖张老师已另买).但张老师买砖时只看中了如图2所示的一款较大的正方形地砖，于是只能将其按照图的方式切割出图1所需的长方形砖在进行铺贴，经过计算这样切割会让每块地砖产生0.12 m2废料．已知张老师家客厅的面积为30 m2，请你帮张老师算一下他需购买图2这款地砖多少块？
13．(应用意识&运算能力)大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设.
探究：正多边形的平面图形镶嵌．
正多边形是指各边相等、各角相等的多边形.
用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点镶嵌．共顶点镶嵌其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°.
共顶点单一镶嵌：仅用同一种正多边形镶嵌.
如图可知，正五边形不能共顶点单一镶嵌，可用下面的方法说明．
解：设有x个正五边形．
因为正五边形的每一个内角为108°，
若想用x个108°围成360°，则
108x＝360，
解得x＝(不符合题意)，
所以正五边形不可以共顶点单一镶嵌．
问题1：探索正三角形能不能共顶点单一镶嵌？请用上述方法说明．
问题2：符合共顶点单一镶嵌的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由．
共顶点组合镶嵌：用两种或两种以上正多边形镶嵌．
问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合镶嵌．请设计两种不同的共顶点组合镶嵌方案，并说明理由．
问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合镶嵌，请写出设计方案．
