(共33张PPT)
3 探索三角形全等的条件
第2课时
课时目标 素养达成
1.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 模型观念、几何直观、推理能力
2.能证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 几何直观、推理能力
1.如图所示,点B,F,C,E在同一条直线上,AC=DF,∠1=∠2,如果根据“ASA”判断
△ABC≌△DEF,那么需要补充的条件是( )
A.AB=DE B.∠A=∠D
C.BF=CE D.∠B=∠D
B
2.如图所示,已知AB平分∠DAC,∠D=∠C,则根据“_________”,就可判断△ABD≌△ABC.
AAS
利用“ASA”判定三角形全等(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P102随堂练习T1拓展)(2024·广州越秀质检)如图所示,点D,C为线段BE上的两点,且BD=CE,AC∥DF,AB∥EF.试说明:AB=EF.
1.在△ABC和△DEF中,已知∠C=∠D,∠B=∠E,要用ASA判定这两个三角形全等,还需
要条件( )
A.BC=ED B.AB=FD
C.∠A=∠F D.以上条件都不正确
A
【解析】A.因为∠C=∠D,BC=ED,∠B=∠E,所以△ABC≌△FED(ASA),故A选项正确;
B.添加AB=FD,不是对应边,不能证明全等,本选项错误;
C.添加∠A=∠F,两个三角形三个角对应相等不能判定全等,本选项错误.
利用“AAS”判定三角形全等(模型观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P102“思考·交流”强化)
如图所示,在△ABC和△AED中,AC=DE,∠B=90°,点C在AD上,AB∥DE,连接CE,CE⊥AD.试说明:AB=DC.
【自主解答】因为AB∥DE,所以∠BAC=∠D,
因为CE⊥AD,所以∠B=∠DCE=90°,
因为AC=DE,所以△ABC≌△DCE(AAS),
所以AB=DC.
2.(2024·东莞期末)如图所示,点A,C,D,E在同一条直线上,BC⊥AE,FD⊥AE,∠F=∠B,且AB=EF.
(1)试说明:△ABC≌△EFD.
(2)若AE=8,CD=2,求DE的长.
1.(2024·惠州期末)如图所示,小虎用10块高度都是3 cm的相同长方体小木块,垒了两
堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=
90°),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合,则两堵木墙之间的距离DE的长度
为( )
A.30 cm B.27 cm C.24 cm D.21 cm
A
2.如图所示,在△ABC中,D是BC的中点,AC∥BF.
(1)试说明:DE=DF.
(2)若∠BAC=110°,BD平分∠ABF,求∠C的度数.
知识点1 应用“ASA”判定两三角形全等
1.如图所示,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到玻璃店去配
一块完全一样的玻璃,那么为了省事应带去的玻璃碎片是( )
A.① B.② C.③ D.①和②
C
【解析】第①块和第②块只保留了原三角形的一个角和部分边,根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的,第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边,则可以根据ASA来配一块一样的玻璃,应带③去.
知识点2 应用“AAS”判定两三角形全等
3.如图所示,点E,C,F,B在一条直线上,AB∥ED,∠A=∠D,添加下列条件后不能判定
△ABC≌△DEF的是( )
A.AC∥DF B.AB=DE
C.EC=BF D.AC=DF
A
【解析】因为AB∥ED,
所以∠E=∠B,
A.因为AC∥DF,
所以∠ACB=∠DFE,
因为∠A=∠D,∠E=∠B,
所以△ABC和△DEF不一定全等,
故A符合题意;
B.因为∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E,
所以△ABC≌△DEF(ASA),
故B不符合题意;
C.因为EC=BF,
所以EC+CF=BF+CF,
所以EF=BC,
因为∠A=∠D,∠B=∠E,
所以△ABC≌△DEF(AAS),
故C不符合题意;
D.因为∠A=∠D,∠B=∠E,AC=DF,
所以△ABC≌△DEF(AAS),
故D不符合题意.
4.(2024·江门新会四模)如图所示,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.4 cm,DE=1.6 cm.求BE的长.
5.如图所示,∠BAC=90°,BD⊥DE,CE⊥DE,添加下列条件后仍不能使△ABD≌△CAE
的是( )
A.AD=AE B.AB=AC
C.BD=AE D.AD=CE
A
【解析】因为∠BAC=90°,BD⊥DE,CE⊥DE,
所以∠D=∠E=∠BAC=90°,
所以∠B+∠BAD=90°,
∠BAD+∠CAE=90°,
所以∠B=∠CAE,
A.AD和AE不是对应边,
即不能判断△ABD≌△CAE,故本选项符合题意;
12
7.已知:在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,且AC⊥BD,作BF⊥CD,垂足为点F,BF与AC交于点G,∠BGE=∠ADE.
(1)如图1所示,试说明:AD=CD.
(2)如图2所示,BH是△ABE的中线,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍.(共24张PPT)
3 探索三角形全等的条件
第1课时
课时目标 素养达成
1.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等 推理能力
2.了解三角形的稳定性 几何直观、应用意识
三角形全等的条件
1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,EB=EC,则可以由“SSS”直接判定__________≌
__________.
△ABE
△ACE
2.如图所示,已知AD=CB,若利用“SSS”来判定△ABC≌△CDA,则应添加的直接条件是
____________.
AB=CD
应用“SSS”判定两个三角形全等(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P100T1拓展)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE=CE,试猜想ED与AB的位置关系,并说明理由.
三角形的稳定性(应用意识)
【典例2】
(2024·河源紫金期末)空调安装在墙上时,一般都会采用如图所示的方法固定,这种方法应用的几何原理是( )
A.三角形的稳定性
B.两点之间线段最短
C.两点确定一条直线
D.垂线段最短
【自主解答】选A.这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性.
1.(2024·梅州质检)下列图形中,具有稳定性的是( )
B
【解析】A.三角形下方是四边形,不具有稳定性,故A不符合题意;
B.对角线两侧是三角形,具有稳定性,故B符合题意;
C.连线两侧是四边形,不具有稳定性,故C不符合题意;
D.连线两侧是四边形,不具有稳定性,故D不符合题意.
2.如图所示,生活中经常把自行车的几根梁做成三角形的支架,这是利用了三角形的
___________.
稳定性
【解析】生活中经常把自行车的几根梁做成三角形的支架,这是因为三角形具有稳定性.
1.(2024·深圳罗湖期中)如图所示,工人师傅在砌门时,通常用木条BD固定长方形门框
ABCD,使其不变形,这样做的数学根据是( )
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.同角的余角相等
D.三角形具有稳定性
D
【解析】工人师傅在砌门时,通常用木条BD固定长方形门框ABCD,使其不变形,这样做的数学根据是三角形具有稳定性.
2.如图所示,点E在AB上,AC=AD,请添加一个条件,使图中存在全等三角形.所添加条
件为_______________________.
CE=DE(答案不唯一)
知识点1 应用“SSS”判定三角形全等
1.如图所示,在△ABC和△DCB中,AC,BD相交于点E,AB=DC,若利用“SSS”来判定
△ABC≌△DCB,则需添加的条件是( )
A.AE=DE B.CE=CD C.BE=CE D.AC=DB
D
【解析】因为AB=DC,BC=CB,
所以当AC=DB时,
根据SSS可判定△ABC≌△DCB.
2.(2024·深圳光明质检)如图所示,已知∠AOB,以点O为圆心,以任意长为半径画弧①,
分别交OA,OB于点E,F,再以点E为圆心,以EF长为半径画弧,交弧①于点D,画射线OD.
若∠AOB=32°,则∠BOD的度数为( )
A.32° B.54°
C.64° D.68°
C
【解析】由题意可得:OF=OD,EF=DE.
因为OE=OE,
所以△DOE≌△EOF,
所以∠DOE=∠AOB=32°,
所以∠BOD=∠DOE+∠AOB=64°.
知识点2 三角形的稳定性
3.如图所示,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边的中点,为了
保证在施工过程中窗框不变形,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在( )
A.B,F之间 B.A,C之间
C.G,H之间 D.F,H之间
D
【解析】因为三角形具有稳定性,
所以为了窗框稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条钉在F,H两点之间时,不能构成三角形,所以不应该钉在F,H两点之间.
4.如图所示,图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的,它的形状
不稳定.如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到形状稳定的目的,且所
加螺栓尽可能少,那么需要添加螺栓( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
【解析】如图所示,A点加上螺栓后,
根据三角形的稳定性,原不稳定的五角星中具有了稳定的各边.
5.如图所示,AB=ED,BC=DC,CA=CE,∠ACB=80°,∠1=50°,则∠2=( )
A.20° B.30°
C.50° D.80°
B
6.(2024·潮州质检)已知:如图所示,AC与BD交于点O,AD=CB,E,F是BD上两点,且AE=CF,OD=OB,OE=OF.
试说明:
(1)∠D=∠B.
(2)AE∥CF.
【解析】(1)因为OD=OB,OE=OF,
所以OD-OE=OB-OF,所以DE=BF,
在△ADE和△CBF中,
因为AD=CB,AE=CF,DE=BF,
所以△ADE≌△CBF(SSS),
所以∠D=∠B.
(2)由(1)得△ADE≌△CBF,
所以∠AED=∠CFB,
所以180°-∠AED=180°-∠CFB,
所以∠AEO=∠CFO,所以AE∥CF.
7.已知:如图1所示,点A,C,F,D在同一条直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF.
(1)试说明:AB∥DE,BC∥EF.
(2)把图中的△DEF沿直线AD平移到四个不同的位置,是否仍能证明(1)
中的位置关系 选择其中的一个图形进行说明.
(3)在△DEF平移的过程中.哪些量是变化的 哪些量是不变的 (共37张PPT)
3 探索三角形全等的条件
第3课时
课时目标 素养达成
1.能借助尺规作出三角形 应用意识、几何直观、推理能力
2.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 几何直观、推理能力
如图所示,已知AO=CO,若以“SAS”为依据说明△AOB≌△COD,还要添加的条件是
____________.
BO=DO
用尺规作三角形(几何直观、应用意识)
【典例1】作图题:已知∠α,∠β和线段a,求作△ABC,使∠B=∠α,∠C=∠β,BC=2a.
【自主解答】如图所示,△ABC为所作.
1.(2024·深圳南山质检)根据下列已知条件,能够画出唯一确定的△ABC的是( )
A.AB=5,BC=6,∠A=70°
B.AB=5,BC=6,AC=13
C.∠A=50°,∠B=80°,AB=8
D.∠A=40°,∠B=50°,∠C=90°
C
【解析】A.已知两边和一对角,不能画出唯一确定的△ABC,故本选项不符合题意;
B.因为5+6<13,不能构成三角形,故本选项不符合题意;
C.根据两角和一夹边,能画出唯一确定的△ABC,故本选项符合题意;
D.根据∠A=40°,∠B=50°,∠C=90°不能画出唯一确定的△ABC,故本选项不符合题意.
2.(2024·揭阳揭西期末)在数学课上,老师给出三条边长分别为a,b,c的△ABC,其三个内
角的度数如图所示.下面是4名同学用不同方法画出的三角形,则根据图中已知的条
件判断,其中不一定与△ABC全等的是( )
C
【解析】选项A中,根据SAS可以判定两个三角形全等,本选项不符合题意;
选项B中,根据ASA可以判定两个三角形全等,本选项不符合题意;
选项C中,SSA不能判断三角形全等,本选项符合题意;
选项D中,根据SSS可以判定两个三角形全等,本选项不符合题意.
3.已知:线段a(如图所示).
求作:△ABC,使AB=2a,BC=AC=3a.
【解析】作射线PN,在PN上截取PQ=3a,作射线AM,在AM上截取AB=2a,分别以A,B为圆心,PQ的长为半径作弧交于C,连接AC,BC,如图所示,△ABC即为所求.
三角形判定定理的综合应用(几何直观、推理能力)
【典例3】(教材再开发·P106T5强化)
如图所示,AD=AC,AB=AE,∠DAB=∠CAE.
(1)试说明:△ADE≌△ACB.
(2)判断线段DF与CF的数量关系,并说明理由.
(2024·潮州潮安期末)如图所示,点E,H,G,N共线,∠E=∠N,EF=NM,添加一个条件后,
不能判断△EFG≌△NMH的是( )
A.EH=NG B.∠F=∠M
C.FG=MH D.FG∥HM
C
【解析】在△EFG与△NMH中,已知,∠E=∠N,EF=NM,
A.由EH=NG可得EG=NH,所以添加条件EH=NG,根据SAS可证△EFG≌△NMH,故本选项不符合题意;
B.添加条件∠F=∠M,根据ASA可证△EFG≌△NMH,故本选项不符合题意;
C.添加条件FG=MH,不能证明△EFG≌△NMH,故本选项符合题意;
D.由FG∥HM可得∠EGF=∠NHM,所以添加条件FG∥HM,根据AAS可证△EFG≌△NMH,故本选项不符合题意.
1.(2024·佛山南海期中)如图所示,AB=AC,添加下列条件后,仍不能判定△ABE≌
△ACD的是( )
A.∠B=∠C B.BE=CD
C.∠AEB=∠ADC D.AE=AD
B
【解析】因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,
所以当添加∠B=∠C时,△ABE≌△ACD(ASA);
当添加BE=CD时,不能判断△ABE≌△ACD;
当添加∠AEB=∠ADC时,△ABE≌△ACD(AAS);
当添加AE=AD时,△ABE≌△ACD(SAS).
2.(2024·揭阳榕城期末)如图所示,已知∠ACB=∠DBC,要用“SAS”判断△ABC≌
△DCB,需添加的一个条件是____________.
AC=DB
3.作图题(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
已知:如图所示,线段a,c,∠α.
求作:△ABC,使得BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.
【解析】如图所示:
△ABC即为所求.
知识点1 用尺规作三角形
1.如图所示,已知:∠α,线段a,利用尺规作图求作△ABC,使∠A=∠α,AB=AC=a,要求:不写作法,保留作图痕迹,标明字母.
【解析】如图所示,△ABC为所作.
知识点2 应用“SAS”判定三角形全等
2.(2024·佛山期末)如图所示,在△ABD和△ACE中,AB=AC,AD=AE,要证明△ABD≌
△ACE,需补充的条件是( )
A.∠B=∠C B.∠D=∠E
C.∠DAE=∠BAC D.∠CAD=∠DAC
C
3.(2024·深圳宝安期中)如图所示,已知AB=DC,AB∥CD,E,F是AC上两点,且AF=CE.
(1)试说明:△ABE≌△CDF.
(2)若∠BCE=30°,∠CBE=70°,求∠CFD的度数.
【解析】(1)因为AB∥CD,
所以∠BAE=∠FCD,
因为AF=CE,
所以AE=CF,
又因为AB=CD,
所以△ABE≌△CDF(SAS).
(2)因为∠BCE=30°,∠CBE=70°,
所以∠CEB=180°-∠BCE-∠CBE=80°,
所以∠AEB=180°-∠CEB=100°,
因为△ABE≌△CDF,
所以∠AEB=∠CFD=100°.
知识点3 三角形判定定理的综合应用
4.(2024·梅州质检)如图所示,点E,F在BC上,BE=CF,∠BED=∠AFC,添加一个条件后,
不能完全证明△ABF≌△DCE的是( )
A.∠B=∠C B.∠A=∠D
C.AF=DE D.AB=DC
D
【解析】因为∠BED=∠AFC,
所以∠DEC=∠AFB,
因为BE=CF,
所以BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
当添加∠B=∠C时,符合ASA定理,可以判定△ABF≌△DCE,故A不符合题意;
当添加∠A=∠D时,符合AAS定理,可以判定△ABF≌△DCE,故B不符合题意;
当添加AF=DE时,符合SAS定理,可以判定△ABF≌△DCE,故C不符合题意;
当添加AB=DC时,不符合判定三角形全等的定理,不能判定△ABF≌△DCE,故D符合题意.
5.如图所示,在△ABC中,AB=6,BC=5,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,在AB上截取
AE=AC,则△BDE的周长为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
B
6.(2024·潮州期末)如图所示,已知线段AB=20 m,MA⊥AB于点A,MA=6 m,射线BD⊥
AB于B,点P从点B处出发向A运动,每秒走1 m,点Q从点B处出发向D运动,每秒走3 m,
P,Q同时从B出发.若出发x s后,在线段MA上有一点C,使△CAP与△PBQ全等,则x的值为
( )
A.5 B.5或10 C.10 D.6或10
A
8.(1)已知AB∥CD,AD∥BC,O为AC中点,过点O的直线分别与AD,BC相交于点M,N,如图1所示,那么AM与CN有什么关系 请说明理由.
(2)若将过点O的直线分别旋转至图2,图3的情况时,其他条件不变,那么图1中的AM与CN的关系都还成立吗 请说明理由.(共24张PPT)
4 利用三角形全等测距离
课时目标 素养达成
能利用三角形的全等解决实际问题,体会数学与实际生活的联系 推理能力、应用意识
应用全等测距离是利用了“全等三角形的_______________”的性质.
对应边相等
如图所示,小明与小红玩跷跷板游戏,如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)到地面
的距离是50 cm,当小红从水平位置CD下降 30 cm时,这时小明离地面的高度是
_______cm.
80
利用全等测距离(推理能力、应用意识)
【典例】(教材再开发·P112T2拓展)如图所示,某段河流的两岸是平行的,数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得了河的宽度,他们是这样做的:
①在河流的一条岸边B点,选对岸正对的一棵树A.
②沿河岸直走20 m有一棵树C,继续前行 20 m 到达D处.
③从D处沿河岸垂直的方向行走,当到达树A正好被树C遮挡住的E处时停止行走.
④测得DE的长为6 m.
根据他们的做法,回答下列问题:
(1)河的宽度是多少米
(2)请你说明他们做法的正确性.
(2024·揭阳惠来期末)某校项目式学习小组开展项目活动,过程如下:
项目主题:测量某水潭的宽度.
问题驱动:能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度
组内探究:由于水潭中间不易到达,无法直接测量,需要借助一些工具来测量,比如自制的直角三角形硬纸板、米尺、测角仪、平面镜等,甚至还可以利用无人机,确定方法后,先画出测量示意图,然后进行实地测量,并得到具体数据,从而计算水潭的宽度.
成果展示:下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案.
方案 方案① 方案②
测量
示意
图
测量
说明 如图①所示,测量员在地面上找一点C,在BC连线的中点D处做好标记,从点C出发,沿着与AB平行的直线向前走到点E处,使得点E与点A,D在一条直线上,测出CE的长度 如图②所示,测量员在地面上找一点C,沿着BC向前走到点D处,使得CD=AC,沿着AC向前走到点E处,使得CE=BC,测出D,E两点之间的距离
测量结果 CE=20 m,BD=CD,CE∥AB AC=CD,BC=CE,DE=20 m
请你选择上述两种方案中的一种,计算水潭的宽度AB.
【解析】选择方案①:因为CE∥AB,
所以∠ABC=∠C.因为∠ADB=∠EDC,DB=DC,
所以△ABD≌△ECD(ASA).
因为CE=20 m,
所以AB=CE=20 m.
所以水潭的宽度AB为20 m.
选择方案②:因为AC=DC,BC=EC,∠ACB=∠DCE,
所以△ACB≌△DCE(SAS).
因为DE=20 m,所以AB=DE=20 m.
所以水潭的宽度AB为20 m.
1.(2024·河源连平期末)如图所示,亮亮想测量某湖A,B两点之间的距离,他选取了可以
直接到达点A,B的一点C,连接CA,CB,并作BD∥AC,截取BD=AC,连接CD.他说,根据三
角形全等的判定定理,可得△ABC≌△DCB,所以AB=CD.他用到的三角形全等的判定
定理是( )
A.SAS B.AAS
C.SSS D.ASA
A
2.(2024·梅州质检)如图所示是一个瓶子的切面图,测量得到瓶子的外径AB的长度是
10 cm.为了得到瓶子的壁厚a,小庆把两根相同长度的木条DE和CF的中点O固定在一
起,做了一个简单的测量工具,得到EF的长为6 cm,则瓶子的壁厚a的值为______cm.
2
【解析】因为O是木条DE和CF的中点,
所以OC=OF,OE=OD.
又因为∠EOF=∠DOC,
所以△EOF≌△DOC(SAS),
所以CD=EF=6 cm.
因为a+6+a=10,
所以a=2 cm.
3.某同学用10块高度都是5 cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD(∠ABD=90°,BD=BA),点B在CE上,点A和D分别与木墙的顶端重合.
(1)试说明:△ACB≌△BED.
(2)求两堵木墙之间的距离.
(2)由题意得AC=5×3=15(cm),
DE=7×5=35(cm),
因为△ACB≌△BED,
所以DE=BC=35 cm,BE=AC=15 cm,
所以CE=BC+BE=50(cm).
答:两堵木墙之间的距离为50 cm.
知识点 利用三角形全等测距离
1.(2024·汕头澄海期末)如图所示,要测量水池的宽度AB,可从点A出发在地面上画一
条线段AC,使AC⊥AB,再从点C观测,在BA的延长线上测得一点D,使∠ACD=∠ACB,
这时量得AD=80 m,则水池宽AB的长度是_______m.
80
2.为了测量一幢6层高楼的层高,在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C的视线
PC与地面的夹角∠DPC=21°,测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB=69°,量得点P到
楼底的距离PB与旗杆CD的高度均为12 m,量得旗杆与楼之间的距离为DB=30 m,则
每层楼的高度为______m.
3
3.小明利用一根长3 m的竿子来测量路灯AB的高度.他的方法如下:如图所示,在路灯前选一点P,使BP=3 m,并测得∠APB=70°,然后把竖直的竿子CD(CD=3 m)在BP的延长线上左右移动,使∠CPD=20°,此时测得BD=11.2 m.请根据这些数据,计算出路灯AB的高度.
4.综合实践:小明站在堤岸凉亭A点处,正对他的B点(AB与堤岸垂直)停有一艘游艇,他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离,于是制定了如下方案.
课题 测凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示
意图(不完整)
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆C旁(直线AC与堤岸平行).
②再往前走相同的距离,到达D点.
③他到达D点后向左转90°直行,当自己、电线杆与游艇在一条直线上时停下来,此时小明位于点E处.
测量数据 AC=30 m,CD=30 m,DE=9 m
根据题意解答下列两个问题:
(1)请你根据题意帮助小明同学将测量方案示意图补充完整.
(2)你认为小明制定的方案正确吗 若正确,求出凉亭与游艇之间的距离.
