20.2.2．数据的离散程度
第1课时 方差
知识点1 方差的概念与统计意义
1．(广西钦州月考)在学校艺术节文艺汇演中，甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差分别是s＝1.5，s＝2.5，那么身高更整齐的是( )
A．甲队 B．乙队
C．甲队和乙队 D．无法判定
2．某校为选拔八年级学生参加“初中生数学素养大赛”，该校数学组根据四名同学平时成绩制作了如表，将选派一名成绩好且发挥稳定的同学参加该比赛，你认为最应该选( )
甲 乙 丙 丁
平均数 134 135 135 134
方差 12.1 10.2 10.8 11.3
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．(广西南宁模拟)在国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名，我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：s2＝[(x1－38)2＋(x2－38)2＋…＋(x6－38)2]，上述公式中的“38”是这组数据的__ __．
知识点2 方差的计算
4．某校举办了运动会，在200 m赛跑中，有5位同学的成绩如下表所示，其中有两个数据被墨水遮盖了，那么被遮盖的两个数据依次是( )
同学 甲 乙 丙 丁 戊 平均 成绩 方差
时间/s 32 34 36 33 33
A.30，4 B．30，2 C．32，4 D．32，2
5．(广西桂林期末)一组数据a1，a2，a3，…，an的方差是2，那一组新数据3a1－1，3a2－1，…，3an－1的方差是( )
A．17 B．18 C．2 D．6
易错易混点 混淆统计量的意义
6．在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是20，20，30，40，40(单位：元)，后来每人都追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是( )
A．平均数 B．众数
C．中位数 D．方差
7．为了迎战中考的第一站——体考，某班50名同学积极训练，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小刚有事没有参加本次集体测试，因此计算其他49人的平均分为49分，方差s2＝1.6.后来小刚进行了补测，成绩为49分，关于该班50人的测试成绩，下列说法正确的是( )
A．平均分不变，方差变大
B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变
D．平均分和方差都改变
8．(广西百色期末)学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行．某校团委组织团员开展“百年党史”知识竞赛，八年级某班6位参赛同学成绩如下表，则以下说法不正确的是( )
参赛同学 1号 2号 3号 4号 5号 6号
成绩 84 88 81 84 89 84
A.6位参赛同学成绩的平均数是85
B．6位参赛同学成绩的众数是84
C．6位参赛同学成绩的方差为
D．6位参赛同学成绩的中位数是82.5
9．某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级(1)班选派的7名学生一次性垫球成绩(单位：个)如图所示．则下列结论中，正确的是( )
A．中位数为17 B．众数为26
C．平均成绩为20 D．方差为0
10．小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：s2＝[2(7－ )2＋(8－ )2＋3(9－ )2]，这组数据的众数是__ __．
11．若a1，a2，a3，…，a10的方差为s1，那么4a1，4a2，4a3，…，4a10的方差为__ __．
12．(广西玉林月考)在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差计算公式：s2＝，并由公式得出以下信息：①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是4，⑤样本的方差是0.5，那么上述信息中正确的是__ __.
13．(河南中考)为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．
技术统计表
队员 平均每场 得分 平均每场 篮板 平均每场 失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
根据以上信息，回答下列问题．
(1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是__ __(填“甲”或“乙”)；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为__ __分．
(2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．
(3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1＋平均每场篮板×1.5＋平均每场失误×(－1)，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好.
【母题P135练习T2】从甲、乙两名工人生产的同一种零件中，各随机抽出4个，量得它们的直径(单位：mm)如下：
甲生产零件：9.98，10.00，10.02，10.00；
乙生产零件：10.00，9.97，10.03，10.00.
求它们的方差，并说明谁做的零件直径差异较小．
【变式1】为弘扬中华优秀传统文化，学校从八、九年级各抽取10名学生开展优秀传统文化知识竞赛(为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分)，成绩如表格所示(单位：分).经计算，八、九年级学生的平均成绩都是8分．
学生编号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
八年级 7 8 9 8 10 6 8 a 8 7
九年级 9 7 8 10 8 7 7 7 8 9
(1)表格中a的值为__ __；
(2)求八年级学生成绩的中位数；
(3)唐老师先正确计算出了九年级学生成绩的方差为1分2，请帮唐老师计算八年级学生成绩的方差，并判断八、九两个年级哪个年级学生的成绩更稳定？
【变式2】甲、乙两位同学5次参加“数学学科素养赛”选拔赛的成绩统计如表，他们5次测试的总成绩相同，请同学们完成下列问题：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲成绩 80 40 70 50 60
乙成绩 70 50 70 a 70
(1)根据统计表求a，甲同学成绩的中位数，乙同学成绩的众数；
(2)小林计算出甲同学的成绩平均数为60，方差是s＝200，请你求出乙同学成绩的平均数和方差；
(3)从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定．
14．(应用意识&运算能力)(广西钦州期末)某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)，数据整理如下：
a．16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；
b．16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75 m n
(1)写出表中m，n的值；
(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是__ __(填“甲组”或“乙组”);
甲组学生 的身高 162 165 165 166 166
乙组学生 的身高 161 162 164 165 175
(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为.在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为__ _ __和__ _ __．
15．(应用意识&运算能力)某校甲、乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据(成绩)进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息．
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89；
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81；
【整理数据】
班级 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
甲班 6 3 1
乙班 4 5 1
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
甲班 80 a b 51.4
乙班 80 80 80，85 c
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：a＝__ __，b＝__ __，c＝__ __；
(2)请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由；
(3)甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？20.2.2．数据的离散程度
第1课时 方差
知识点1 方差的概念与统计意义
1．(广西钦州月考)在学校艺术节文艺汇演中，甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差分别是s＝1.5，s＝2.5，那么身高更整齐的是( A )
A．甲队 B．乙队
C．甲队和乙队 D．无法判定
2．某校为选拔八年级学生参加“初中生数学素养大赛”，该校数学组根据四名同学平时成绩制作了如表，将选派一名成绩好且发挥稳定的同学参加该比赛，你认为最应该选( B )
甲 乙 丙 丁
平均数 134 135 135 134
方差 12.1 10.2 10.8 11.3
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．(广西南宁模拟)在国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名，我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：s2＝[(x1－38)2＋(x2－38)2＋…＋(x6－38)2]，上述公式中的“38”是这组数据的__平均数__．
知识点2 方差的计算
4．某校举办了运动会，在200 m赛跑中，有5位同学的成绩如下表所示，其中有两个数据被墨水遮盖了，那么被遮盖的两个数据依次是( A )
同学 甲 乙 丙 丁 戊 平均 成绩 方差
时间/s 32 34 36 33 33
A.30，4 B．30，2 C．32，4 D．32，2
5．(广西桂林期末)一组数据a1，a2，a3，…，an的方差是2，那一组新数据3a1－1，3a2－1，…，3an－1的方差是( B )
A．17 B．18 C．2 D．6
易错易混点 混淆统计量的意义
6．在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是20，20，30，40，40(单位：元)，后来每人都追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是( D )
A．平均数 B．众数
C．中位数 D．方差
根据题意知，后来每人都追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，平均数、中位数均增加了10，众数改变为30和50，而数据的波动幅度不变，即方差不变．
7．为了迎战中考的第一站——体考，某班50名同学积极训练，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小刚有事没有参加本次集体测试，因此计算其他49人的平均分为49分，方差s2＝1.6.后来小刚进行了补测，成绩为49分，关于该班50人的测试成绩，下列说法正确的是( B )
A．平均分不变，方差变大
B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变
D．平均分和方差都改变
∵小刚的成绩和其他49人的平均数相同，都是49分，∴该班50人的测试成绩的平均分为49分，∴新数据的每个数据与平均数差的平方和保持不变，而总人数在原数据的基础上增加1，∴新数据方差变小．
8．(广西百色期末)学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行．某校团委组织团员开展“百年党史”知识竞赛，八年级某班6位参赛同学成绩如下表，则以下说法不正确的是( D )
参赛同学 1号 2号 3号 4号 5号 6号
成绩 84 88 81 84 89 84
A.6位参赛同学成绩的平均数是85
B．6位参赛同学成绩的众数是84
C．6位参赛同学成绩的方差为
D．6位参赛同学成绩的中位数是82.5
由题意，可得这组数据的平均数为×(84＋88＋81＋84＋89＋84)＝85.将这组数据从小到大排列起来，81，84，84，84，88，89，数据84出现3次，次数最多，所以众数为84，方差s2＝×[(88－85)2＋3×(84－85)2＋(81－85)2＋(89－85)2]＝，一共6个数据，从小到大重新排列后中间两个数是84，84，所以中位数是×(84＋84)＝84.
9．某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级(1)班选派的7名学生一次性垫球成绩(单位：个)如图所示．则下列结论中，正确的是( B )
A．中位数为17 B．众数为26
C．平均成绩为20 D．方差为0
A选项，将这组数据从小到大排列为17，19，22，26，26，30，35，从中可以看出，一共7个数据，第4个数据为26，所以这组数据的中位数为26；B选项，这组数据中26出现的次数最多，所以这组数据的众数为26；C选项，(17＋19＋22＋26＋26＋30＋35)÷7＝25(个)，所以这组数据的平均数为25；D选项，方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，所以当方差等于0时，这组7个数据应相同，不符合题意．
10．小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：s2＝[2(7－ )2＋(8－ )2＋3(9－ )2]，这组数据的众数是__9__．
11．若a1，a2，a3，…，a10的方差为s1，那么4a1，4a2，4a3，…，4a10的方差为__16s1__．
∵样本a1，a2，a3，…，a10的平均数＝，∴4a1，4a2，4a3，…，4a10的平均数＝＝＝4；4a1，4a2，…，4an的方差＝×[(4a1－4)2＋(4a2－4)2＋…＋(4a10－4)2]＝×{16×[(a1－)2＋(a2－)2＋…＋(a10－)2]}＝16×[(a1－)2＋(a2－)2＋…＋(a10－)2]＝16s1.
12．(广西玉林月考)在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差计算公式：s2＝，并由公式得出以下信息：①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是4，⑤样本的方差是0.5，那么上述信息中正确的是__①③④__.
根据题意，
得s2＝，∴样本的容量是4，故①说法正确；这组数据为3，3，4，6，则中位数为＝3.5，故②说法错误；样本的众数为3，故③说法正确；样本平均数为＝4，故④说法正确；方差为×[2×(3－4)2＋(4－4)2＋(6－4)2]＝1.5，故⑤说法错误；∴上述信息正确的是①③④.
13．(河南中考)为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．
技术统计表
队员 平均每场 得分 平均每场 篮板 平均每场 失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
根据以上信息，回答下列问题．
(1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是__甲__(填“甲”或“乙”)；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为__29__分．
(2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．
(3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1＋平均每场篮板×1.5＋平均每场失误×(－1)，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好.
(2)因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好(注：答案不唯一，合理即可)；
(3)甲的综合得分为26.5×1＋8×1.5＋2×(－1)＝36.5.
乙的综合得分为26×1＋10×1.5＋3×(－1)＝38.
因为38＞36.5，所以乙队员表现更好．
【母题P135练习T2】从甲、乙两名工人生产的同一种零件中，各随机抽出4个，量得它们的直径(单位：mm)如下：
甲生产零件：9.98，10.00，10.02，10.00；
乙生产零件：10.00，9.97，10.03，10.00.
求它们的方差，并说明谁做的零件直径差异较小．
∵甲＝(9.98＋10.00＋10.02＋10.00)＝10.00，
乙＝(10.00＋9.97＋10.03＋10.00)＝10.00，
∴s＝[(9.98－10.00)2＋(10.00－10.002)2×2＋(10.02－10.00)2]＝0.000 2；
s＝[(10.00－10.00)2×2＋(9.97－10.00)2＋(10.03－10.00)2]＝0.000 45，
∴s∴甲做的零件直径差异较小．
【变式1】为弘扬中华优秀传统文化，学校从八、九年级各抽取10名学生开展优秀传统文化知识竞赛(为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分)，成绩如表格所示(单位：分).经计算，八、九年级学生的平均成绩都是8分．
学生编号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
八年级 7 8 9 8 10 6 8 a 8 7
九年级 9 7 8 10 8 7 7 7 8 9
(1)表格中a的值为__9__；
(2)求八年级学生成绩的中位数；
(3)唐老师先正确计算出了九年级学生成绩的方差为1分2，请帮唐老师计算八年级学生成绩的方差，并判断八、九两个年级哪个年级学生的成绩更稳定？
(2)将八年级学生成绩重新排列为6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，
所以这组数据的中位数为＝8(分)；
(3)八年级学生成绩的方差为×[(6－8)2＋2×(7－8)2＋4×(8－8)2＋2×(9－8)2＋(10－8)2]＝1.2(分2).
∵九年级学生成绩的方差为1分2，
∴九年级学生的成绩更稳定．
【变式2】甲、乙两位同学5次参加“数学学科素养赛”选拔赛的成绩统计如表，他们5次测试的总成绩相同，请同学们完成下列问题：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲成绩 80 40 70 50 60
乙成绩 70 50 70 a 70
(1)根据统计表求a，甲同学成绩的中位数，乙同学成绩的众数；
(2)小林计算出甲同学的成绩平均数为60，方差是s＝200，请你求出乙同学成绩的平均数和方差；
(3)从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定．
(1)a＝(80＋40＋70＋50＋60)－(70＋50＋70＋70)＝40.
将甲同学成绩从小到大排列为40，50，60，70，80，
所以甲同学成绩的中位数是60，
由成绩统计表得，乙同学成绩的众数是70，
即a的值为40，甲同学成绩的中位数为60，乙同学成绩的众数为70；
(2)乙同学成绩的平均数为×(70＋50＋70＋40＋70)＝60，
方差s＝×[(70－60)2＋(50－60)2＋(70－60)2＋(40－60)2＋(70－60)2]＝160；
(3)因为甲、乙两位同学的平均数相同，s＞s，
所以乙同学的成绩更稳定．
14．(应用意识&运算能力)(广西钦州期末)某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)，数据整理如下：
a．16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；
b．16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75 m n
(1)写出表中m，n的值；
(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是__甲组__(填“甲组”或“乙组”);
甲组学生 的身高 162 165 165 166 166
乙组学生 的身高 161 162 164 165 175
(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为.在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为__170_cm__和__172_cm__．
(1)数据按由小到大的顺序排序：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，
则舞蹈队16名学生身高的中位数为m＝＝166(cm)，众数为n＝165(cm).
(2)甲组学生身高的平均数是
＝164.8(cm)，
甲组学生身高的方差是[(164.8－162)2＋(164.8－165)2＋(164.8－165)2＋(164.8－166)2＋(164.8－166)2]＝2.16，
乙组学生身高的平均数是＝165.4(cm)，
乙组学生身高的方差是×[(165.4－161)2＋(165.4－162)2＋(165.4－164)2＋(165.4－165)2＋(165.4－175)2]＝25.04.
∵25.04＞2.16，
∴甲组舞台呈现效果更好．
(3)∵168，168，172的平均数为(168＋168＋172)＝169(cm)，
且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，∴数据的差别较小，
可供选择的有170 cm，172 cm，
平均数为(168＋168＋170＋172＋172)＝170(cm)，
方差为[(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(172－170)2＋(172－170)2]＝3.2<，
∴选出的另外两名学生的身高分别为170 cm和172 cm.
15．(应用意识&运算能力)某校甲、乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据(成绩)进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息．
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89；
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81；
【整理数据】
班级 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
甲班 6 3 1
乙班 4 5 1
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
甲班 80 a b 51.4
乙班 80 80 80，85 c
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：a＝__79__，b＝__79__，c＝__27__；
(2)请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由；
(3)甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
(1)甲班成绩从低到高排列为70，71，72，78，79，79，85，86，89，91，故中位数a＝＝79；
众数b＝79；
乙班的方差为×[2×(85－80)2＋2×(80－80)2＋(81－80)2＋(77－80)2＋(73－80)2＋(74－80)2＋(90－80)2＋(75－80)2]＝27；
(2)乙班成绩比较好．理由如下：
两个班的平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩比甲班稳定，所以乙班成绩比较好；
(3)45×＋40×＝42(人)，
答：估计这两个班可以获奖的总人数大约是42人．
