(共25张PPT)
3 平行线的性质
第2课时
课时目标 素养达成
1.理解几何推理的要领,分清推理中“因为”“ 所以”表达的意
义,从而初步学会简单的几何推理 推理能力
2.应用平行线的性质和判定直线平行的条件解决问题 几何直观、推理能力
平行线的性质应用的几何推理(如图所示)
(1)因为AB∥CD, 根据“两直线平行,内错角_________”,所以∠1=________.
(2)因为AB∥CD, 根据“两直线平行,同位角_________”,所以∠3=________.
(3)因为AB∥CD, 根据“两直线平行,同旁内角_________”,所以____________=180°.
相等
∠2
相等
∠2
互补
∠4+∠2
1.如图所示,已知点B,C,D在同一直线上,若∠B=∠3,∠2=54°,则∠1=________.
2.已知l1∥l2,一个含有30°角的三角板按照如图所示位置摆放,则∠1+∠2的度数为
_______°.
54°
90
平行线的判定与性质的综合应用(几何直观、推理能力)
【典例1】
(2024·汕头期末)如图所示,已知∠1=∠2,∠D=60°,EF与CD交于点G,求∠B的度数.
【自主解答】因为∠EGD=∠2,∠1=∠2,
所以∠1=∠EGD,所以AB∥CD.
因为∠D=60°,
所以∠B=180°-∠D=180°-60°=120°.
1.如图所示,已知∠1=∠2,∠B=40°,则∠3的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
B
【解析】因为∠1=∠2,
所以AB∥CT,
因为∠B=40°,所以∠3=∠B=40°.
2.如图所示,已知∠1=∠2,∠D=78°,则∠BCD=( )
A.98° B.62° C.88° D.102°
D
【解析】因为∠1=∠2,
所以AD∥BC.
因为∠D=78°,所以∠BCD=180°-78°=102°.
3.(2024·河源连平期末)如图所示,AD∥BC,∠C=70°,DE平分∠ADC交BC于点E.
(1)求∠CDE的度数.
(2)若∠B=55°,判断DE与AB的位置关系,并说明理由.
平行线的判定与性质的实际应用(几何直观、应用意识)
【典例2】如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景,已知∠MAC=120°,∠NBE=60°.
(1)已知驱逐舰在AC方向上航行,巡洋舰在BE方向上航行,假设在航行过程中各自航行方向保持不变,试判断这两艘舰艇会不会相撞.请说明理由.
(2)已知驱逐舰到达点C后沿CD继续航行,巡洋舰到达点E后沿EF继续航行,且MN∥EF,∠ACD=140°.若驱逐舰在原航向上向左转动α(0°<α<180°)后,才能与巡洋舰航向相同,求α的值.
【自主解答】(1)不会.理由:因为∠MAC=120°,所以∠CAN=60°,
因为∠NBE=60°,所以∠CAN=∠NBE,
所以AC∥BE,
所以这两艘舰艇不会相撞.
(2)如图所示,
若要驱逐舰与巡洋舰航向相同,则EF∥CG,
因为MN∥EF,所以CG∥MN,
所以∠ACG=∠MAC=120°,
因为∠ACD=140°,
所以α=∠ACD-∠ACG=20°.
1.如图所示是一款手推车的平面示意图,其中AB∥CD.已知∠1=40°,∠2=140°,则∠3
的度数为________.
80°
【解析】如图所示,
因为AB∥CD,所以∠A=∠1=40°,
因为∠2+∠ANM=180°,∠A+∠AMN+∠ANM=180°,
所以∠2=∠A+∠AMN=140°,所以∠AMN=100°,
所以∠3=180°-∠AMN=80°.
2.近几年中学生近视的现象越来越严重,为响应国家的号召,某公司推出了护眼灯,其
侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示,其中BC⊥AB,ED∥AB,经使用发现,当
∠DCB=140°时,台灯光线最佳,则此时∠EDC的度数为( )
A.130° B.120° C.110° D.100°
A
【解析】过C作CK∥AB,
因为ED∥AB,所以CK∥ED,
因为BC⊥AB,所以BC⊥CK,
所以∠BCK=90°,
因为∠DCB=140°,所以∠DCK=∠DCB-∠BCK=50°,
因为CK∥DE,所以∠EDC+∠DCK=180°,
所以∠EDC=130°.
1.如图所示,已知∠1=43°,∠2=43°,∠3=92°,则∠4的度数是________.
92°
【解析】因为∠1=43°,∠2=43°,所以a∥b,所以∠3=∠4=92°.
2.如图所示,已知∠1+∠2=180°,且∠1=∠D,试说明:BC∥DE.
【解析】因为∠1+∠2=180°,∠1=∠3,所以∠2+∠3=180°,所以AB∥CD,
所以∠4=∠1,
又因为∠1=∠D,所以∠D=∠4,
所以BC∥DE.
知识点1 平行线的性质与判定的综合应用
1.(2024·清远期中)如图所示,下列判断中,正确的是( )
A.因为a∥b,所以∠3+∠4=180°
B.因为∠1=∠2,所以a∥b
C.因为a∥b,所以∠2=∠3
D.因为l∥n,所以∠3=∠4
C
【解析】因为a∥b,所以∠3=∠2,得不到∠3+∠4=180°,故A错误,不符合题意,C正确,符合题意;因为∠1=∠2,所以m∥l,得不到a∥b,故B错误,不符合题意;因为l∥n,所以∠3+∠4=180°,得不到∠3=∠4,故D错误,不符合题意.
2.(2024·湛江廉江质检)如图所示,已知:∠B+∠DAB=180°,AC平分∠DAB,如果∠C=
50°,那么∠B=________.
80°
【解析】因为∠B+∠DAB=180°,
所以AD∥BC,
所以∠DAC=∠C=50°,
因为AC平分∠DAB,
所以∠DAB=2∠DAC=100°,
因为∠B+∠DAB=180°,
所以∠B=180°-∠DAB=80°.
知识点2 平行线的性质与判定的实际应用
3.(2024·梅州五华期中)如图所示是路灯维护工程车的工作示意图,工作篮底部与支
撑平台平行.若∠1=30°,则∠2+∠3的度数为_________.
210°
【解析】过∠2的顶点作直线l∥支撑平台,
所以l∥支撑平台∥工作篮底部,
所以∠1=∠4=30°,∠5+∠3=180°,
所以∠4+∠5+∠3=30°+180°=210°,
因为∠4+∠5=∠2,
所以∠2+∠3=210°.
4.如图所示,一条公路修到湖边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A=115°,第二
次拐的角∠B=145°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路
平行,那么∠C的度数是_________.
150°
【解析】过点B作BD∥AM,则BD∥CN,如图所示.
因为BD∥AM,∠A=115°,
所以∠ABD=∠A=115°,
又因为∠ABC=∠ABD+∠CBD,∠ABC=145°,
所以∠CBD=145°-115°=30°,
因为BD∥CN,
所以∠C=180°-∠CBD=180°-30°=150°.
5.如图所示,已知∠A=∠F=36°,∠C=∠D=75°,则∠CED的度数为( )
A.72° B.75° C.105° D.111°
C
【解析】因为∠A=∠F,所以AC∥DF,所以∠C+∠CED=180°,因为∠C=75°,
所以∠CED=105°.
6.(2024·深圳市实验学校期中)某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画,如图所
示,已知∠BAC=130°,AB∥DE,∠D=70°,则∠ACD=________.
20°
【解析】过点C作CF∥AB,
因为AB∥DE,所以CF∥DE,
所以∠ACF=∠BAC,∠D+∠DCF=180°,
又∠BAC=130°,∠D=70°,
所以∠ACF=130°,∠DCF=110°,
所以∠ACD=∠ACF-∠DCF=20°.
7.(2024·汕尾期末)如图所示,在△ABC中,点F在AB上,且FG⊥AC于点G,BD⊥AC于点D,FC与BD相交于点H.
(1)若∠GFH=40°,求∠FHD的度数.
(2)若BD平分∠ABC,求证:∠1=∠2.
【解析】(1)因为FG⊥AC,BD⊥AC,
所以GF∥BD,
所以∠GFH+∠FHD=180°,
因为∠GFH=40°,所以∠FHD=140°.
(2)因为GF∥BD,所以∠1=∠FBD,
因为BD平分∠ABC,所以∠2=∠FBD,所以∠1=∠2.
8.如图所示,已知∠BAD+∠ADC=180°,AE平分∠BAD,CD与AE相交于点F,∠CFE= ∠AEB.
(1)若∠B=86°,求∠DCG的度数.
(2)AD与BC是什么位置关系 并说明理由.
(3)若∠DAB=α,∠DGC=β,直接写出当α,β满足什么数量关系时,AE∥DG.
【解析】(1)因为∠BAD+∠ADC=180°,
所以AB∥CD,
所以∠DCG=∠B=86°.
(2)AD∥BC.理由如下:
因为AB∥CD,所以∠BAF=∠CFE,
因为AE平分∠BAD,所以∠BAF=∠FAD,
所以∠DAF=∠CFE,因为∠CFE=∠AEB,
所以∠DAF=∠AEB,所以AD∥BC.
(3)当α=2β时,AE∥DG.理由如下:
因为∠DAF=∠AEB,AE平分∠BAD,
所以∠DAB=2∠DAF=2∠AEB,
当∠AEB=∠G时,AE∥DG,
所以α=2β.(共29张PPT)
2 探索直线平行的条件
第2课时
课时目标 素养达成
1.会识别内错角和同旁内角 几何直观
2.掌握平行线的判定定理:内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行 几何直观、推理能力
3.能借助尺规作角,得到两直线平行 几何直观、推理能力
1.
类型 内错角 同旁内角
定义 两条直线被第三条直线所截,其中
两角都在两条直线之间且分别在
第三条直线的_________ 两条直线被第三条直线所截,
两角都在两条直线之间且在
第三条直线的_________
图示
性质 内错角_________, 两直线平行 同旁内角_________,两直线平行
两侧
同侧
相等
互补
2.通过作已知角的同位角或内错角,可以得到两条直线_________.
平行
1.如图所示,与∠1是内错角的是________,与∠1是同旁内角的是________.
2.下列选项中不能证明a∥b的是( )
A.∠1=∠3 B.∠1=∠4
C.∠1+∠2=180° D.∠2+∠4=180°
∠2
∠5
C
内错角、同旁内角的识别(几何直观)
【典例1】如图所示,指出图中直线AC,BC被直线AB所截的同位角、内错角、同旁内角.
【自主解答】因为直线AC,BC被直线AB所截,所以∠1与∠2,∠4与∠DBC是同位角;∠1与∠3,∠4与∠5是内错角;∠3与∠4,∠1与∠5是同旁内角.
1.(2024·江门期中)如图所示,若直线a,b被直线c所截,则∠1与∠2的位置关系是( )
A.同位角
B.对顶角
C.同旁内角
D.内错角
D
【解析】由题图可知:∠1与∠2的位置关系是内错角.
2.数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图形,如图所示(两大拇指代表被截
直线,食指代表截线).从左至右依次表示( )
A.同旁内角、同位角、内错角
B.同位角、内错角、对顶角
C.对顶角、同位角、同旁内角
D.同位角、内错角、同旁内角
D
【解析】根据同位角、内错角、同旁内角的概念,可知题图中第一个图是同位角,第二个图是内错角,第三个图是同旁内角.
平行线的判定(几何直观、推理能力)
【典例2】
(2024·揭阳惠来质检)如图所示,∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC,点B,C,E在同一条直线上.
(1)∠DAB+∠B等于多少度
(2)若∠B=∠D,AB与CD平行吗 请说明理由.
【自主解答】(1)因为AB⊥AC,所以∠BAC=90°,
所以∠DAB+∠B=∠1+∠BAC+∠B=30°+90°+60°=180°.
(2)AB∥CD,理由:由(1)得∠DAB+∠B=180°.
又因为∠B=∠D,
所以∠DAB+∠D=180°,
所以AB∥CD.
1.(2024·汕头潮阳期末)如图所示,以下说法错误的是( )
A.若∠EAD=∠B,则AD∥BC
B.若∠EAD+∠D=180°,则AB∥CD
C.若∠CAD=∠BCA,则AD∥BC
D.若∠D=∠EAD,则AB∥CD
B
【解析】A.若∠EAD=∠B,则AD∥BC,正确,理由:同位角相等,两直线平行.
B.∠EAD与∠D是内错角,当∠EAD=∠D时,AB∥CD,错误.
C.若∠CAD=∠BCA,则AD∥BC,正确,理由:内错角相等,两直线平行.
D.若∠D=∠EAD,则AB∥CD,正确,理由:内错角相等,两直线平行.
2.(2024·阳江期末)如图所示,∠BAC=134°,∠ACE=136°,CE⊥CD.问:CD∥AB吗 请说明理由.
【解析】CD∥AB,理由如下:
因为CE⊥CD,
所以∠DCE=90°,
因为∠ACE=136°,
所以∠ACD=360°-136°-90°=134°,
因为∠BAC=134°,
所以∠ACD=∠BAC,
所以CD∥AB.
用尺规作角(几何直观、推理能力)
【典例3】如图所示,在△ABC中,D是AB边上的一点.请用尺规作图法,在△ABC内,作出∠ADE,使∠ADE=∠B,DE交AC于点E.(保留作图痕迹不写作法)
【自主解答】如图所示,∠ADE即为所求.
用直尺和圆规作图:已知∠1,∠2,求作一个角,使它等于∠1+∠2.
【解析】如图所示,∠AOB即为所求.
1.(2024·佛山南海质检)如图所示,能判定AB∥CD的条件是( )
A.∠1=∠3
B.∠2=∠4
C.∠DCE=∠D
D.∠B+∠BAD=180°
B
【解析】A.当∠1=∠3时,不能得到AB∥CD,故A选项错误;
B.当∠2=∠4时,能得到AB∥CD,故B选项正确;
C.当∠DCE=∠D时,不能得到AB∥CD,故C选项错误;
D.当∠B+∠BAD=180°时,不能得到AB∥CD,故D选项错误.
D
【解析】作∠OBF=∠AOB,由题图可知,①以点O为圆心,以任意长为半径作弧,分别交射线OA,OB于点C,D;②以点B为圆心,以OC长为半径作弧,交射线BO于点E;③以点E为圆心,以CD长为半径作弧,交前面的弧于点F,连接BF,即可得出∠OBF,则∠OBF=∠AOB.
3.如图所示,直线DE经过点A.
(1)写出∠B的内错角是 ,同旁内角是 .
(2)若∠EAC=∠C,AC平分∠BAE,∠B=44°,求∠C的度数.
【解析】(1)∠B的内错角是∠BAD,∠B的同旁内角是∠BAC,∠EAB和∠C.
答案:∠BAD ∠BAC,∠EAB和∠C
(2)因为∠EAC=∠C,所以DE∥BC,
所以∠BAE=180°-44°=136°,
因为AC平分∠BAE,所以∠EAC=68°,
所以∠C=∠EAC=68°.
知识点1 内错角、同旁内角的识别
1.阳江风筝是流传于广东省阳江市的传统手工技艺,已有1 400余年的历史.如图所示
的风筝骨架中,下列选项中,与∠3构成同旁内角的是( )
A.∠1 B.∠2
C.∠4 D.∠5
A
【解析】与∠3构成同旁内角的是∠1.
2.(2024·茂名电白区期中)如图所示,下列说法错误的是( )
A.∠1与∠2是对顶角
B.∠1与∠3是同位角
C.∠1与∠4是内错角
D.∠B与∠D是同旁内角
C
【解析】A.∠1与∠2是对顶角,故A不符合题意;
B.∠1与∠3是同位角,故B不符合题意;
C.∠1与∠4不是内错角,故C符合题意;
D.∠B与∠D是同旁内角,故D不符合题意.
知识点2 两直线平行的判断
3.(2024·肇庆高要期中)如图所示,直线a,b被直线c所截,下列条件中能判定a∥b的
是( )
A.∠1=∠4 B.∠2+∠3=180°
C.∠2=∠5 D.∠4=∠5
D
【解析】A.∠1=∠4,不能得到a∥b,不符合题意;
B.∠2+∠3=180°,不能得到a∥b,不符合题意;
C.∠2=∠5,对顶角相等,不能得到a∥b,不符合题意;
D.∠4=∠5,内错角相等,两直线平行,能得到a∥b,符合题意.
4.(2024·珠海质检)如图所示,在下列给出的条件中,可以判定AB∥
CD的有___________.(填序号)
①∠1=∠2;②∠1=∠3;③∠2=∠4;④∠DAB+∠ABC=180°;
⑤∠BAD+∠ADC=180°.
②③⑤
【解析】①∠1=∠2,不能得出AB∥CD;
②因为∠1=∠3,所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行);
③因为∠2=∠4,所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行);
④因为∠DAB+∠ABC=180°,所以AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行),不能判定AB∥CD;
⑤因为∠BAD+∠ADC=180°,所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),
则符合题意的是②③⑤.
知识点3 尺规作角
5.如图所示,过点P画直线a的平行线b的作法的依据是( )
A.两直线平行,同位角相等
B.同位角相等,两直线平行
C.两直线平行,内错角相等
D.内错角相等,两直线平行
D
【解析】根据题图中的作法,可得依据为内错角相等,两直线平行.
6.如图所示,点P在射线BA上,作∠BPD,且∠BPD=∠B,你能作几个符合条件的角 把它们都作出来.(不写作法,保留作图痕迹)
【解析】能作2个符合条件的角,如图所示,∠BPD和∠BPD'为所作.
7.(2024·中山期中)如图所示,下列条件中,能判定AB∥CD的是( )
A.∠1=∠4 B.∠1=∠3
C.∠5=∠ADC D.∠2=∠4
B
【解析】A.∠1=∠4,不能判定AB∥CD,故该选项不正确,不符合题意;
B.因为∠1=∠3,所以AB∥CD,故该选项正确,符合题意;
C.因为∠5=∠ADC,所以AD∥BC,故该选项不正确,不符合题意;
D.因为∠2=∠4,所以AD∥BC,故该选项不正确,不符合题意.
8.(2024·云浮罗定期中)如图所示,在不添加任何字母的条件下,写出一个能判定
AB∥CE的条件___________________________.
∠A=∠ECF(答案不唯一)
【解析】能判定AB∥CE的一个条件是∠A=∠ECF(答案不唯一).
9.如图所示,线段EF∥AB交BC于点D.
(1)尺规作图:以点F为顶点,射线FE为一边,在FE的右侧作∠EFG,使∠EFG=∠B.(要求:不写作法,但保留作图痕迹并写出结论)
(2)完善以下解题过程.
解:因为EF∥AB,(已知)
所以∠EDC= ,(理由: )
因为∠EFG=∠B,(已知)
所以∠EDC=∠EFG,(理由: )
所以FG∥ .(理由: )
【解析】(1)如图所示,
∠EFG即为所求.
(2)因为EF∥AB,(已知)
所以∠EDC=∠B,(理由:两直线平行,同位角相等)
因为∠EFG=∠B,(已知)
所以∠EDC=∠EFG,(理由:等量代换)
所以FG∥BC.(理由:同位角相等,两直线平行)
10.如图所示,点O在直线AB上,OC平分∠AOF,OD平分∠BOF,F是DE上一点,连接OF.
(1)试说明:OC⊥OD.
(2)若∠D与∠1互余,试说明:ED∥AB.(共23张PPT)
单元综合回顾
基础知识的应用
1.(2024·韶关期末)如图所示,已知∠1=28°,∠AOC=90°,点B,O,D在同一条直线上,则
∠2的度数为( )
A.102° B.118°
C.122° D.62°
B
【解析】因为∠1=28°,∠AOC=90°,
所以∠BOC=90°-28°=62°,
因为点B,O,D在同一条直线上,
所以∠2=180°-62°=118°.
2.(2024·潮州潮安期末)英文字母中,存在同位角、内错角、同旁内角(不考虑字母宽
度),下列字母中含同旁内角最多的是( )
A
【解析】A.字母A中含有4对同旁内角,符合题意;
B.字母F中含有1对同旁内角,不符合题意;
C.字母M中含有0对同旁内角,不符合题意;
D.字母Z中含有0对同旁内角,不符合题意.
3.(2024·中山期末)利用如图所示的工具可以测得∠1的大小是_______°.
30
【解析】根据对顶角相等可得∠1=30°.
4.若∠α的余角是25°27',则∠α的度数是__________.
64°33'
【解析】因为∠α的余角是25°27',
所以∠α=90°-25°27'=64°33'.
基本技能(方法)、基本思想的应用
5.(2024·惠州模拟)用两块相同的三角板按如图所示的方式作平行线AB和CD,能解释
其中的道理的依据是( )
A.内错角相等,两直线平行
B.同位角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行
D.平行于同一直线的两直线平行
A
【解析】直线AD把AB和CD所截,此时两块相同的三角板的最小两个角的位置关系正好是内错角,所以这是根据内错角相等,来判定两直线平行的.
6.(2024·广东中考)如图所示,一把直尺、两个含30°的三角板拼接在一起,则∠ACE的
度数为( )
A.120° B.90°
C.60° D.30°
C
【解析】由题知,
∠ACD=180°-∠ACB=90°,
又因为∠ECD=30°,
所以∠ACE=90°-30°=60°.
7.(2024·佛山南海模拟)如图所示,将直尺与含30°角的三角板叠放在一起,若∠2=80°,
则∠1的大小是( )
A.35° B.40° C.45° D.30°
B
【解析】因为AB∥CD,
所以∠3=∠2=80°,
因为∠4=90°-30°=60°,
所以∠1=180°-60°-80°=40°.
8.(2024·潮州湘桥期末)下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的图形有( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
C
【解析】题中第一个图形,因为∠1=∠2,
所以AC∥BD,故不符合题意;
题中第二个图形,因为∠1=∠2,
所以AB∥CD,故符合题意;
第三个图形,
因为∠1=∠2,∠2=∠3,
所以∠1=∠3,
所以AB∥CD,故符合题意;
题中第四个图形,∠1=∠2不能得到AB∥CD,
故不符合题意.
9.(2024·揭阳揭东期中)如图所示,将△ADE沿直线DE折叠,使点A落在BC边上的点F
处,DE∥BC,若∠C=70°,则∠FEC=( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
B
【解析】因为DE∥BC,∠C=70°,
所以∠AED=∠C=70°,由折叠得:∠DEF=∠AED=70°,
所以∠FEC=180°-∠AED-∠DEF=180°-70°-70°=40°.
10.(2024·深圳福田期中)中华武术,博大精深.小明把如图1所示的武术动作抽象成数
学问题.如图2所示,已知AB∥CD,∠C=90°,∠B=78°,∠E=98°,则∠F的度数是( )
A.106° B.110° C.118° D.120°
B
【解析】过点E作EG∥AB,过点F作FH∥AB,
因为AB∥CD,
所以AB∥FH∥EG∥CD,
所以∠B+∠HFB=180°,∠EFH=∠GEF,∠C+∠CEG=180°,所以∠HFB=180°-∠B=102°,∠CEG=180°-∠C=90°,
所以∠GEF=∠CEF-∠CEG=98°-90°=8°,
所以∠EFH=∠GEF=8°,
所以∠EFB=∠EFH+∠HFB=8°+102°=110°.
11.(2024·广州中考)如图所示,直线l分别与直线a,b相交,a∥b,若∠1=71°,则∠2的度数
为_________.
109°
【解析】因为∠1=71°,
所以∠3=180°-71°=109°,
因为a∥b,所以∠2=∠3=109°.
答案:109°
实际生活生产中的运用
12.(2024·东莞期中)一副三角板按如图所示叠放在一起,其中点B,D重合,若固定三角
板AOB,改变三角板ACD的位置(其中A点位置始终不变),当∠BAD=______________时,
CD∥AB.
150°或30°
【解析】如图所示,当CD∥AB时,∠BAD=∠D=30°;
如图所示,当AB∥CD时,∠C=∠BAC=60°,
则∠BAD=60°+90°=150°.
跨学科应用
13.(2023·广东中考)如图所示,街道AB与CD平行,若拐角∠ABC=137°,则拐角∠BCD
=( )
A.43° B.53° C.107° D.137°
D
【解析】因为AB∥CD,
所以∠ABC=∠BCD=137°.
14.(2024·深圳龙岗期末)图1是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆,图2是其截面图,已知
AB∥CD,c表示吸管.若∠1=76°,则∠2=________度.
104
【解析】因为AB∥CD,
所以∠1=∠3=76°.
因为∠2与∠3是邻补角,
所以∠2+∠3=180°.
所以∠2=180°-∠3=180°-76°=104°.
15.【与物理结合】(2024·深圳中考)如图所示,一束平行光线照射平面镜后反射,若入
射光线与平面镜夹角∠1=50°,则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
B
【解析】因为入射光线是平行光线,
所以∠1=∠3,
由反射定律得:∠3=∠4,
所以∠4=∠1=50°.
16.【与地理结合】(2024·湛江廉江质检)如图所示是地球截面图,其中AB,CD分别表
示赤道和南回归线,冬至正午时,太阳光直射南回归线(太阳光线MD的延长线经过地
心O),此时,太阳光线与地面水平线EF垂直,已知∠MDN=23°26',则∠EDN的度数是
__________.
66°34'
【解析】因为太阳光线与地面水平线EF垂直,
所以∠MDE=90°,
因为∠MDN=23°26',
所以∠EDN=90°-∠MDN=90°-23°26'=66°34',
即∠EDN的度数是66°34'.(共28张PPT)
3 平行线的性质
第1课时
课时目标 素养达成
1.经历探索平行线性质的过程,掌握平行线的性质 几何直观、推理能力
2.能应用平行线的性质并能解决实际问题 推理能力、应用意识
平行线
的性质
性质
1 两直线平行,同位角_________
因为AB∥CD,所以∠1=_________
性质
2 两直线平行,内错角_________
因为AB∥CD,所以∠2=________
性质
3 两直线平行,同旁内角______
因为AB∥CD,所以∠3+________=180°
相等
∠3
相等
∠3
互补
∠4
1.如图所示,直线AB,CD被直线CE所截,若AB∥CD,∠C=50°,则∠1的度数为( )
A.40° B.50° C.130° D.150°
2.如图所示,直线a∥b,c是截线,若∠1=50°,则∠2=( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
C
C
平行线的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P53习题T1拓展)如图所示,AB∥CD,EC∥FB,∠C=(85-x)°,∠B=(3x+25)°,求∠C的度数.
【自主解答】因为AB∥CD,EC∥FB,
所以∠B+∠EGB=180°,∠EGB=∠C,
所以∠B+∠C=180°,
因为∠C=(85-x)°,∠B=(3x+25)°,
所以85-x+3x+25=180,
解得x=35,
所以∠C=(85-35)°=50°.
1.(2024·河源紫金一模)如图所示,直线a∥b,直线c与直线a,b分别相交于A,B两点,
AC⊥AB于点A,交直线b于点C.如果∠1=38°,那么∠2的度数为( )
A.52° B.48°
C.38° D.32°
A
【解析】因为直线a∥b,
所以∠1+∠BAD=180°,
因为AC⊥AB于点A,∠1=38°,所以∠2=180°-90°-38°=52°.
2.(2024·广州期中)如图所示,已知直线AB∥CD,BC平分∠ABD,
若∠1=80°,则∠2等于( )
A.140° B.160° C.120° D.150°
A
平行线性质的实际应用(几何直观、推理能力、应用意识)
【典例2】
(教材再开发·P50“思考·交流”拓展)美丽的徒骇河横穿江北水城,是聊城一道美丽的风景线.图中是地图上几条主干路形成的图形,若建设路AB、辽河路CF和东昌路DE平行,数学兴趣小组通过实际测量得到∠ABC=96°,∠BCD=144°,那么东昌路DE与光岳路CD的夹角∠CDE=( )
A.50° B.60° C.70° D.48°
【自主解答】选B.反向延长CF,
因为AB∥CF,∠ABC=96°,
所以∠BCM=180°-96°=84°,
因为∠BCD=144°,
所以∠DCM=144°-84°=60°,
因为CF∥DE,
所以∠CDE=∠DCM=60°.
1.(2024·东莞一模)将一块含45°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,若
∠1=68°,则∠2的度数为( )
A.33° B.28° C.23° D.17°
C
【解析】因为AB∥CD,所以∠EFC=∠1=68°,
所以∠2=∠EFC-∠AFE=68°-45°=23°.
2.光线在不同介质中的传播速度不同,因此当光线从空气射向水中时,
会发生折射.如图所示,在空气中平行的两条入射光线,在水中的两条
折射光线也是平行的.若水面和杯底互相平行,且∠1=122°,则∠2=( )
A.61° B.58° C.48° D.41°
B
【解析】因为水面和杯底互相平行,
所以∠1+∠3=180°,
所以∠3=180°-∠1=180°-122°=58°.
因为水中的两条折射光线平行,
所以∠2=∠3=58°.
3.(2024·惠州惠阳期末)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢,自行车的示意图如图所示,其中AB∥CD,AE∥BD.若∠CDB=60°,∠ACD=80°,求∠EAC的度数.
【解析】因为AB∥CD,
所以∠ACD+∠BAC=180°,∠BDC+∠ABD=180°,
因为∠ACD=80°,
所以∠BAC=100°,
因为AE∥BD,
所以∠BAE+∠ABD=180°,
所以∠BAE=∠BDC=60°,
所以∠EAC=100°-60°=40°.
1.如图所示,若AD∥BC,则( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4
C.∠A=∠C D.∠2=∠3
A
【解析】A.由AD∥BC,推出∠1=∠2,故A符合题意;B.由AB∥CD,推出∠3=∠4,由AD∥BC得不到∠3=∠4,故B不符合题意;C.∠A和∠C不是同位角,也不是内错角,由AD∥BC,得不到∠A=∠C,故C不符合题意;D.∠2和∠3不是同位角,也不是内错角,由AD∥BC,得不到∠2=∠3,故D不符合题意.
2.如图所示,要在一条公路的两侧铺设平行管道,现在要将两侧的管道对接,如果一侧
铺设的角度为120°,那么另一侧铺设的角度大小应为( )
A.120° B.100° C.80° D.60°
D
【解析】两侧铺设的角属于同旁内角,根据两直线平行,同旁内角互补,可得另一侧铺设的角度大小应为180°-120°=60°.
3.(2024·河源龙川期末)如图所示,AB∥CD,CE平分∠ACD,∠A=108°,求∠AEC的度数.
【解析】因为AB∥CD,
所以∠A+∠ACD=180°,
因为∠A=108°,
所以∠ACD=180°-∠A=180°-108°=72°,
因为CE平分∠ACD,
所以∠ACE=∠DCE=36°,
因为AB∥CD,
所以∠AEC=∠DCE=36°.
知识点1 平行线的性质
1.(2024·珠海斗门期末)如图所示,AB∥CD,若∠CDE=130°,则∠A的度数为( )
A.70° B.65°
C.50° D.40°
C
【解析】由题意知,∠CDA=180°-∠CDE=50°,
因为AB∥CD,所以∠A=∠CDA=50°.
2.如图所示,将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,DE交BF于点G,若
∠EFG=50°,则∠EGB的度数是_________.
100°
【解析】如图所示,
因为AH∥BF,所以∠HEF=∠EFG=50°,∠EGB=∠HEG,
由折叠可得∠GEF=∠HEF=50°,所以∠HEG=100°,
所以∠EGB=∠HEG=100°.
3.(2024·深圳光明质检)如图所示,已知CD∥BE,∠1+∠2=180°.
(1)试问∠AFE与∠ABC相等吗 请说明理由.
(2)若∠D=2∠AEF,∠1=136°,求∠D的度数.
【解析】(1)∠AFE与∠ABC相等,理由如下:
因为CD∥BE,
所以∠1+∠CBE=180°,
因为∠1+∠2=180°,
所以∠2=∠CBE(同角的补角相等),
所以EF∥BC(内错角相等,两直线平行),
所以∠AFE=∠ABC(两直线平行,同位角相等).
(2)因为CD∥BE,
所以∠D=∠AEB,
因为∠AEB=∠2+∠AEF,∠D=2∠AEF,
所以∠2=∠AEF,即∠D=2∠2,
因为∠1=136°,∠1+∠2=180°,
所以∠2=44°,即∠D=88°.
知识点2 平行线性质的实际应用
4.(2024·深圳宝安期中)如图所示,∠AOB的一边OA为平面镜,∠AOB=35°,在OB上有
一点E,从E点射出一束光线经OA上一点D反射,反射光线DC恰好与OB平行,已知
∠ADC=∠ODE,则∠DEB的度数是( )
A.80° B.60° C.70° D.75°
C
【解析】因为DC∥OB,所以∠ADC=∠AOB=35°,
因为∠ODE=∠ADC=35°,所以∠DEB= ∠AOB+∠ODE=35°+35°=70°.
5.一杆古秤在称物时的状态如图所示,已知∠1=102°,则∠2的度数为________.
78°
【解析】如图所示,由题意得AB∥CD,
所以∠2=∠BCD,因为∠1=102°,
所以∠BCD=78°,所以∠2=78°.
6.(2024·广州越秀期中)将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,若∠3=28°,
则∠1的度数为( )
A.28° B.52° C.56° D.62°
D
【解析】因为纸条两边平行,
所以∠1=∠2,∠4=∠3=28°,
所以∠2=180°-90°-28°=62°,所以∠1=62°.
7.(2024·滨州中考)一副三角板如图1所示摆放,把三角板AOB绕公共顶点O顺时针旋
转至图2,即AB∥OD时,∠1的大小为 _______°.
75
【解析】由已知可得,∠B=45°,因为AB∥OD,所以∠B=∠BOD=45°,由图可得,∠D=30°,因为CD,OB交于点E,所以∠1+∠OED=180°,∠OED+∠BOD+∠D=180°,所以∠1=∠BOD+∠D=45°+30°=75°.
8.如图所示,已知:在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,点E为线段BC延长线上一点,连接AE交CD于点F,∠1=∠2.
(1)试说明:∠DAC=∠BAE.
(2)若CD是∠ACE的平分线,∠1=80°,求∠DAE的度数.
9.(几何直观、推理能力)已知直线l1∥l2,直线l3交l1于点C,交l2于点D,P是直线CD上
一点.
(1)如图1所示,当点P在线段CD上时,请你探究∠1,∠2,∠3之间的关系,并说明理由.
(2)如图2所示,当点P在线段DC的延长线上时,∠1,∠2,∠3之间的关系是否仍然成立 若成立,请说明理由;若不成立,请找出它们之间的关系,并说明理由.
(3)如图3所示,当点P在线段CD的延长线上时,请直接写出结论.
【解析】(1)∠3=∠1+∠2,如图1所示,过点P作PE∥l1,所以∠APE=∠1,
因为l1∥l2,所以PE∥l2,所以∠BPE=∠2,
所以∠APE+∠BPE=∠1+∠2,
所以∠3=∠1+∠2.
(2)不成立,∠2=∠1+∠3,
理由:过点P作PE∥l1,如图2所示,
所以∠APE=∠1,
因为l1∥l2,所以PE∥l2,
所以∠BPE=∠2,
因为∠3=∠BPE-∠APE=∠2-∠1,所以∠2=∠1+∠3.
(3)∠1=∠2+∠3,
理由:过点P作PE∥l1,如图3所示,
所以∠APE=∠1,
因为l1∥l2,所以PE∥l2,
所以∠BPE=∠2,
因为∠3=∠APE-∠BPE=∠1-∠2,
所以∠1=∠2+∠3.(共30张PPT)
1 两条直线的位置关系
第2课时
课时目标 素养达成
1.了解垂直是相交的特殊情况,理解垂线的概念,会用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线 几何直观
2.掌握点到直线的距离的概念,并会度量点到直线的距离.掌握垂线的性质,并会利用所学知识进行简单的推理 几何直观、推理能力、应用意识
1.如图所示,O是直线AB上一点,OC⊥OD,∠BOC=20°,则∠AOD的大小是( )
A.20° B.30° C.70° D.80°
C
2.如图所示,BC⊥AC,BC=8 cm,AC=6 cm,AB=10 cm那么点B到AC的距离是
_________,A,B两点的距离是__________.
3.如图所示,CB⊥AB,∠CBA与∠CBD的度数比是5∶1,则∠DBA=________.
8 cm
10 cm
72°
垂直的定义及应用(几何直观、运算能力)
【典例1】(2024·广州花都期中)如图所示,已知OA⊥OB于点O,∠BOC=120°,OD平分∠BOC,求∠AOD的度数.
1.(2024·惠州博罗期末)如图所示,三条直线AB,CD,EF交于点O,且AB⊥CD,若
∠EOD=70°,则∠BOF=( )
A.10° B.30° C.35° D.20°
D
【解析】因为AB⊥CD,所以∠AOD=90°,
所以∠AOE=∠AOD-∠EOD=90°-70°=20°.所以∠BOF=∠AOE=20°.
2.(2024·中山期末)如图所示是光的反射规律示意图.CO是入射光线,OD是反射光线,
法线EO⊥AB,∠EOD=∠COE.若∠BOD=∠COD,则∠AOC的度数为( )
A.30° B.40° C.45° D.60°
D
【解析】设∠COE=∠EOD=α,
则∠BOD=∠COD=2α,
因为EO⊥AB,所以∠AOC+∠COE=90°,∠BOD+∠DOE=90°,
所以∠AOC=∠BOD=2α,
因为∠AOC+∠BOD+∠COD=6α=180°,
所以α=30°,所以∠AOC=2α=60°.
3.如图所示,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O.
(1)若∠COE=35°,则∠AOD的度数为 °(直接写出结果);
(2)若∠AOD+∠COE=170°,求∠COE的度数.
【解析】(1)因为EO⊥AB,所以∠EOB=90°,
因为∠COE=35°,所以∠COB=∠COE+∠EOB=125°,
所以∠AOD=∠COB=125°.
答案:125
(2)因为∠AOD+∠COE=170°,
所以∠BOC+∠COE=170°,
所以∠BOE+∠COE+∠COE=170°,
所以∠BOE+2∠COE=170°,
因为∠BOE=90°,
所以∠COE=40°.
垂线、垂线段的性质及应用(几何直观)
【典例2】(教材再开发·P37“尝试·交流”拓展)
已知直线BC及直线外一点A(如图所示),按要求完成下列问题:
(1)画出射线CA,线段AB,过点C画CD⊥AB,垂足为点D;
(2)比较线段CD和线段CA的大小,并说明理由;
(3)在以上的图中,互余的角为 ,互补的角为 .(各写出一对即可)
【自主解答】(1)如图所示:
(2)因为CD⊥AD,
所以CA>CD.
(3)因为∠DAC+∠DCA=90°,
所以∠DAC与∠DCA互余,
因为∠ADC+∠BDC=90°+90°=180°,
所以∠ADC与∠BDC互补.
答案:∠DAC,∠DCA(答案不唯一)
∠ADC,∠BDC
1.(2024·佛山南海质检)如图所示,要把河中的水引到水池A中,应在河岸B处(AB⊥CD)
开始挖渠才能使水渠的长度最短,这样做依据的几何学原理是( )
A.两点之间线段最短 B.点到直线的距离
C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
D
【解析】要把河中的水引到水池A中,应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短,这样做依据的几何学原理是:垂线段最短.
2.(2024·茂名电白期中)如图所示,点A为直线BC外一点,且AC⊥BC于点C,AC=3.6,点P
是直线BC上的动点,则线段AP长不可能是( )
A.3.5 B.4 C.4.5 D.5
A
【解析】因为点A为直线BC外一点,且AC⊥BC于点C,所以AP≥AC=3.6,
所以线段AP长不可能是3.5.
3.如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5,BC=3,则BD的长度的值可能是_________________,
依据是_______________.
4(答案不唯一)
垂线段最短
【解析】因为AD⊥BD,BC⊥CD,所以BC
1.如图所示,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,则∠BOD的度数为________.
30°
【解析】因为∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC=120°,所以∠BOC=180°-120°=60°,又因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,所以∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-60°=30°.
2.如图所示,C是河岸AB外一点.
(1)过点C修一条与河岸AB平行的绿化带(绿化带用直线l表示),请画图表示;
(2)现用水管从河岸AB将水引到C处,问:从河岸AB上的何处开口,才能使所用的水管最短 画图表示,并说明设计的理由.
【解析】(1)如图所示,过点C画一条平行于AB的直线l,则l为绿化带.
(2)如图所示,过点C作CD⊥AB于点D,从河岸AB上的点D处开口,才能使所用的水管最短.
设计的理由是垂线段最短.
知识点1 垂直及性质
1.(2024·广州南沙期末)如图所示,已知直线AB与直线CD相交于点O,下列条件中不能
说明AB⊥CD的是( )
A.∠AOC=90°
B.∠AOC=∠BOC
C.∠AOC=∠BOD
D.∠AOC+∠BOD=180°
C
【解析】A.∠AOC=90°可以判定两直线垂直,故此选项不符合题意;
B.∠AOC和∠BOC是邻补角,邻补角的和是180°,所以可以得到∠COB=90°,能判定垂直,故此选项不符合题意;
C.∠AOC=∠BOD是对顶角,对顶角相等,不能判定垂直,故此选项符合题意;
D.∠AOC和∠BOD是对顶角,对顶角相等,和又是180°,所以可得到∠AOC=90°,故此选项不符合题意.
2.如图所示,已知OA⊥OB,OC⊥OD,∠BOD=5∠AOC,
则∠AOC的度数为( )
A.22.5° B.30°
C.36° D.45°
B
【解析】因为OA⊥OB,OC⊥OD,所以∠AOB=90°,∠COD=90°,又因为∠AOB+∠BOD+∠COD+∠AOC=360°,∠BOD=5∠AOC,所以90°+5∠AOC+90°+∠AOC=360°,所以∠AOC=30°.
知识点2 垂线、垂线段及性质的应用
3.(2024·佛山顺德期中)在体育课上某同学跳远的情况如图所示,直线l表示起跳线,经
测量,PB=3.3 m,PC=3.1 m,PD=3.5 m,则该同学的实际立定跳远成绩是_______m.
3.1
【解析】因为PC⊥l,所以该同学的实际立定跳远成绩应测量图中线段CP的长,
所以该同学的实际立定跳远成绩为3.1 m.
4.如图所示,点M,N分别在直线AB,CD上.
(1)请在图中作出表示M,N两点间的距离的线段a和表示点N到直线AB的距离的线段b;
(2)请比较(1)中线段a,b的大小,并说明理由.
【解析】(1)如图所示,连接MN,过点N作NE⊥AB于点E,线段a,b即为所作.
(2)a>b.
理由:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
5.如图所示,直线AB与直线CD相交于点O,∠BOC∶∠BOD=2∶1,射线OE⊥CD,则
∠AOE度数为________.
30°
【解析】因为∠BOC∶∠BOD=2∶1,所以∠BOD+∠BOC= ∠BOD+2∠BOD=3∠BOD=180°,所以∠BOD=60°,
所以∠AOC=∠BOD=60°,
又因为OE⊥CD,所以∠COE=90°,
所以∠AOE=90°-60°=30°.
6.(2024·深圳龙岗期中)如图所示,三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,P为直
线AB上一动点,连接PC,则线段PC的最小值是_____.
8.已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线.
(1)当∠AOB=60°时,求∠AOC的度数;
(2)在(1)的条件下,过点O作OE⊥OC,求∠AOE的度数;
(3)当∠AOB=α时,过点O作OE⊥OC,直接写出∠AOE的度数.(用含α的式子表示)(共6张PPT)
第二章 相交线与平行线
单元知识总览 为教师备课、授课提供丰富教学资源
平面内两条直线的位置关系是“图形与几何”所要研究的基本问题,本章内容主要涉及平行线与相交线的基本概念、性质以及应用.通过学习本章知识,运用平行线与相交线的相关知识解决实际问题.所体现的基本思想和方法是后续学习三角形、四边形、相似图形、图形与坐标以及圆等章节的重要基础.从这章开始,学生要学会用符号来表示推理过程,是完成从实验几何到论证几何的关键章节.通过梳理各知识之间的内在联系,可建立下面的知识体系:
单元目标达成 为教师备课、授课提供丰富教学资源
认知水平 课标内容 素养目标
理解 理解对顶角、补角、余角的概念,识别同位角、内错角、同旁内角.理解平行线概念,了解平行于同一条直线的两条直线平行. 几何直观
理解垂线、垂线段等概念,理解点到直线的距离的意义.
掌握 掌握对顶角相等. 几何直观、
推理能力
掌握两个基本事实,并以此探索并证明平行线的判定定理.
掌握平行线的性质定理.
认知水平 课标内容 素养目标
运用 能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线,能度量点到直线的距离. 推理能力、
应用意识
能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
单元素养提升 为教师备课、授课提供丰富教学资源
本章作为推理几何的入门,要通过简单的几何对象,使学生知道研究一个几何对象的“基本套路”,培养学生的几何直观、推理能力、应用意识等核心素养.(共28张PPT)
2 探索直线平行的条件
第1课时
课时目标 素养达成
1.会识别由“三线八角”构成的同位角,会用三角板过已知直线外一点画这条直线的平行线 几何直观
2. 掌握基本事实:同位角相等,两直线平行 几何直观、推理能力
1.如图所示,在所标识的角中,同位角是( )
A.∠2和∠4 B.∠1和∠3
C.∠1和∠4 D.∠2和∠3
C
2.如图所示,已知∠1=65°,要使a∥b,则须具备另一个条件( )
A.∠3=65° B.∠3=115°
C.∠4=65° D.∠2=65°
A
同位角的识别(几何直观)
【典例1】如图所示,三条直线两两相交,∠1的同位角是( )
A.∠2
B.∠4
C.∠3
D.∠5
【自主解答】选B.三条直线两两相交,∠1的同位角是∠4.
1.如图所示,∠1的同位角是( )
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
C
【解析】观察图形,∠1的同位角是∠4.
2.如图所示,∠1的同位角是( )
A.∠2 B.∠A C.∠3 D.∠C
C
【解析】∠1与∠3是同位角.
(2024·河源期末)如图所示,将三角板的直角顶点放在直线b上,如果∠2=50°,要使a∥b,
那么∠1=( )
A.40° B.50° C.60° D.80°
A
【解析】因为∠2=50°,
所以∠3=180°-90°-50°=40°,
所以当∠1=∠3=40°时,a∥b.
平行线的基本性质
【典例3】
如图所示,有直线a,点B,点C.
(1)过点B画直线a的平行线,能画几条
(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗
【自主解答】(1)如图所示,过直线a外的一点B画直线a的平行线,有且只有一条直线与直线a平行.
(2)如图所示,过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行.理由如下:
因为b∥a,c∥a,所以c∥b.
若AB∥CD,AB∥EF,则________∥________,理由是_____________________________
_______.
CD
EF
平行于同一条直线的两条直线
平行
【解析】因为AB∥CD,AB∥EF,所以CD∥EF,理由是:平行于同一条直线的两条直线平行.
1.如图所示,∠1的同位角是( )
A.∠2 B.∠3
C.∠4 D.∠5
B
【解析】根据同位角定义,∠1的同位角是∠3.
2.如图所示,点A,B,E在同一条直线上,添加一个条件_______________,即可判断
AD∥BC.
∠A=∠CBE
【解析】根据同位角相等,两直线平行可添加∠A=∠CBE,可得AD∥BC.
3.如图所示,在三角形ABC中,∠B=∠ACB,D在BC的延长线上,CD平分∠ECF,试说明:AB∥CE.
【解析】因为CD平分∠ECF,所以∠DCF=∠DCE,又因为∠DCF=∠ACB,所以∠ACB=∠DCE,又因为∠B=∠ACB,所以∠B=∠DCE,所以AB∥CE.
知识点1 同位角的识别
1.(2024·佛山南海质检)如图所示,∠1和∠2是同位角的是( )
C
【解析】根据同位角的定义,观察图可知,
A.∠1和∠2是不同位角,故此选项不符合题意;
B.∠1和∠2不是同位角,故此选项不符合题意;
C.∠1和∠2是同位角,故此选项符合题意;
D.∠1和∠2不是同位角,故此选项不符合题意.
2.(2024·惠州龙门期中)如图所示,与∠1是同位角的为________.
∠4
【解析】如题图所示,与∠1是同位角的为∠4.
知识点2 由同位角相等判断两直线平行
3.如图所示,若∠1=63°,则添加下列哪个条件后,可判定l1∥l2 ( )
A.∠2=127° B.∠4=117°
C.∠3=27° D.∠5=17°
B
【解析】A.因为∠2=127°,∠2+∠3=180°,所以∠3=53°,因为∠1=63°,所以∠1≠∠3,所以不能判定l1∥l2,故A不符合题意;
B.因为∠4=117°,∠4+∠3=180°,所以∠3=63°,因为∠1=63°,所以∠1=∠3,所以l1∥l2,故B符合题意;
C.因为∠1=63°,∠3=27°,所以∠1≠∠3,所以不能判定l1∥l2,故C不符合题意;
D.因为∠1=63°,∠5=∠3=17°,所以∠1≠∠3,所以不能判定l1∥l2,故D不符合题意.
4.(2024·广州番禺区期中)如图所示,CE平分∠ACD,若∠1=30°,∠2=60°,试说明: AB∥CD.
【解析】因为CE平分∠ACD,∠1=30°,
所以∠ACD=2∠1=60°(角平分线定义),
因为∠2=60°(已知),
所以∠2=∠ACD(等量代换),
所以AB∥CD(同位角相等两直线平行).
知识点3 平行线的基本性质
5.如图所示,已知A,B,C三点,过点A可画直线BC的平行线的条数是( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
B
【解析】因为经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行,所以过点A画直线BC的平行线,能画1条.
6.如图所示,AB∥CD,过点E画EF∥AB,则EF与CD的位置关系是_________,理由是
___________________________________.
平行
平行于同一条直线的两条直线平行
【解析】EF与CD的位置关系是EF∥CD,理由是:平行于同一条直线的两条直线平行.
7.(2024·广州期中)下列图中∠1和∠2不是同位角的是( )
C
【解析】A.由图可知,∠1,∠2是同位角,故A不符合题意.B.由图可知,∠1,∠2是同位角,故B不符合题意.C.由图可知,∠1,∠2不是同位角,故C符合题意.D.由图可知,∠1,∠2是同位角,故D不符合题意.
8.下列说法中,正确的是( )
A.两条不相交的直线叫作平行线
B.一条直线的平行线有且只有一条
C.在同一平面内,若直线a∥b,a∥c,则b∥c
D.若两条线段不相交,则它们互相平行
C
【解析】A.平行线的定义:在同一平面内,两条不相交的直线叫作平行线.故错误;
B.过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.一条直线的平行线有无数条,故错误;
C.在同一平面内,平行于同一直线的两条直线平行.故正确;
D.根据平行线的定义知是错误的.
9.如图所示,a,b是木工师傅用角尺在工件上画出的与工件边缘垂直的两条垂线.这两
条垂线平行的理由是_________________________.
同位角相等,两直线平行
【解析】如图所示,
因为a⊥AB,b⊥AB,所以∠MAC=90°,∠NBD=90°,
所以∠MAC=∠NBD,所以a∥b(同位角相等,两直线平行).(共30张PPT)
1 两条直线的位置关系
第1课时
课时目标 素养达成
1.了解两条直线相交和平行的关系,理解对顶角、补角、余角的概念 几何直观
2.掌握对顶角相等、同角(或等角)的补角相等、同角(或等角)的余角相等这些性质,并能解决一些实际问题 运算能力、应用意识、推理能力
1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的是( )
B
2.已知∠A=30°,则∠A的余角的度数是________.
3.一个角的补角是40°,那么这个角的度数是_________.
4.一个角和它的余角相等,则这个角的度数是________.
60°
140°
45°
对顶角及性质应用(几何直观、运算能力)
【典例1】如图所示,直线AB,CD相交于点O,OB平分∠DOE,
(1)写出图中所有的对顶角;
(2)若∠AOC=35°,求∠DOE的度数;
(3)若∠BOE∶∠COE=1∶3,求∠AOC的度数.
1.(2024·韶关翁源期中)生活中常见的伸缩门中存在非常多的对顶角,如图所示为简
易伸缩门,当∠AOB减小10°时,∠COD的度数( )
A.减小10° B.增大10°
C.增大20° D.不变
A
【解析】根据题意可得,当∠AOB减小10°时,∠COD的度数减小10°.
45°
余角、补角及性质应用(运算能力)
【典例2】(2024·茂名高州质检)已知一个角的余角的两倍与这个角的补角的和是180°,求这个角的度数.
【自主解答】设这个角为x,则这个角的余角为90°-x,这个角的补角为180°-x,
因为一个角的余角的两倍与这个角的补角的和是180°,
所以2(90°-x)+180°-x=180°,
解得x=60°,所以这个角的度数是60°.
1.若一个角的度数是50°,则它的余角的度数是( )
A.140° B.130° C.40° D.30°
C
【解析】一个角的度数是50°,则它的余角的度数是90°-50°=40°.
2. (2024·深圳龙岗期中)如果一个角的余角是37°,那么这个角的补角是_________.
127°
【解析】如果一个角的余角是37°,那么这个角为90°-37°=53°,所以这个角的补角是180°-53°=127°.
3.如图所示,一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上,此时∠AOC=∠BOD,依据是
___________________.
同角的余角相等
【解析】根据三角板的性质可得:∠AOB=∠COD=90°,
因为∠AOB=∠AOC+∠COB=90°,
∠COD=∠BOD+∠COB=90°,
所以∠AOC=∠BOD(同角的余角相等).
1.(2024·广州番禺期末)在下列各图中,∠1和∠2是对顶角的是( )
D
【解析】由对顶角的定义可知,选项D中的∠1与∠2是对顶角.
2.(2024·惠州惠城期末)如图所示,直线a,b相交于点O.如果∠1+∠2=60°,那么∠3的度
数为_________.
150°
【解析】因为∠1+∠2=60°,∠1=∠2(对顶角相等),
所以∠1=∠2=30°,
所以∠3=180°-∠1=180°-30°=150°.
3.如图所示,∠AOC与∠BOC互为补角,∠BOC与∠BOD互为余角,且
∠BOC=4∠BOD.
(1)求∠BOC的度数;
(2)若OE平分∠AOC,求∠BOE的度数.
知识点1 对顶角及性质应用
1.(2024·揭阳榕城期中)泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家,据
说“两条直线相交,对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的.论证“对顶角相等”使
用的依据是( )
A.等角的补角相等 B.同角的余角相等
C.等角的余角相等 D.同角的补角相等
D
【解析】论证“对顶角相等”使用的依据是:同角的补角相等.
2.如图所示.直线a,b相交.∠1+∠3=82°,∠2=_________.
139°
3.为了测量古塔的外墙底角∠AOB的度数,王明设计了如下方案:作AO,BO的延
长线OD,OC,量出∠COD的度数,就得到了∠AOB的度数,王明这样做的依据是
_______________.
对顶角相等
【解析】作AO,BO的延长线OD,OC,量出∠COD的度数,就得到了∠AOB的度数,王明这样做的依据是对顶角相等.
知识点2 余角、补角及性质的应用
4.(2024·佛山南海模拟)如果一个角的补角是60°,那么这个角的度数是( )
A.30° B.60°
C.90° D.120°
D
【解析】因为一个角的补角是60°,
所以这个角的度数是180°-60°=120°.
5.(2024·深圳罗湖期末)在下列图形中,∠1和∠2互为余角的是( )
D
【解析】根据余角的定义,两角之和为90°,这两个角互余.
D中∠1和∠2之和为90°,互为余角.
6.(2024·河源期末)如图所示,∠AOC=∠BOD=90°,∠BOC=54°,则∠AOD的大小为( )
A.134° B.126°
C.128° D.以上都不对
B
【解析】因为∠AOC=∠BOD=90°,∠BOC=54°,
所以∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-54°=36°,所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=36°+90°=126°.
7.(2024·深圳南山期中)在下列四个图中,∠1=∠2一定成立的是( )
B
【解析】因为选项A中的∠1与∠2不一定相等,所以选项A不符合题意;
根据对顶角的性质可知:选项B中的∠1与∠2一定相等,所以选项B符合题意;
因为选项C中的∠1与∠2互为余角,但不一定相等,所以选项C不符合题意;
因为选项D中的∠1与∠2互为补角,但不一定相等,所以选项D不符合题意.
8.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,∠AOE=144°,则∠BOC的度数
为( )
A.108° B.100° C.92° D.72°
A
9.(2024·茂名高州期末)一个角的补角比这个角的余角的4倍少60°,这个角的度数是
_______°.
40
【解析】设这个角为x,
由题意得,180°-x=4(90°-x)-60°,
解得x=40°.
【解析】(1)设∠COF=α,因为OF平分∠BOC,所以∠BOF=∠COF=α.
因为OE平分∠AOC,∠AOC=70°,所以∠COE=∠AOE=35°,
因为∠AOC与∠AOB互补,
所以70°+70°+2α=180°,所以α=20°,
所以∠EOF=35°+20°=55°.
(2)①设∠COD=2m,∠COF=n,
因为∠AOC-3∠COD=32°,
所以∠AOC=32°+6m,
因为OE平分∠AOC,
所以∠COE=∠EOA=16°+3m,
所以∠DOE=16°+3m-2m=16°+m,
因为OF平分∠BOC,
所以∠BOF=∠COF=n.
因为∠AOC与∠AOB互补,
所以32°+6m+32°+6m+2n=180°,
所以6m+n=58°,
因为OD平分∠AOB,所以∠BOD=∠AOD,
所以2n+2m=16°+m+16°+3m,
所以n=m+16°,
所以6m+m+16°=58°,
解得m=6°,所以n=m+16°=22°,
所以∠EOF=n+16°+3m=56°.