方法专题训练（二） 巧用一元二次方程定义及根的定义
思路1 利用定义识别一元二次方程
1．(广西柳州期中)下列方程中，属于一元二次方程的是( D )
A．x＋2y＝1 B．ax2＋bx＋c＝0
C．3x＋＝4 D．x2－2＝0
2．关于x的方程：①ax2＋bx＋c＝0；②x2－＝7；③3x2－4x＋5＝0；④x2－1＋2x2＝0.其中一元二次方程的个数是( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列方程中，无论a取何值时，总是关于x的一元二次方程的是( D )
A．(2a－1)(x2＋3)＝2x2－2
B．ax2－2x－9＝0
C．ax2＋x＝x2－1
D．(a2＋1)x2＋x＝0
4．(广西防城港期中)试说明关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4，
又∵(a－4)2≥0，∴a2－8a＋20≠0，
∴关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
思路2 利用定义确定方程中某个字母的值
5．若方程(a＋2)xa2－2－x＋a2－1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为( B )
A．±2 B．2 C．－2 D．±1
6．已知关于x的一元二次方程2xa－3xb－5＝0，试写出满足要求的所有a，b的值__或或或或__．
7．(广西柳州月考)关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0.
(1)m取何值时，它是一元二次方程？
(2)m取何值时，它是一元一次方程？
(1)∵(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是一元二次方程，∴m＋1≠0且m2＋1＝2，∴m＝1，
当m＝1时，方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是一元二次方程；
(2)(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是一元一次方程，①m＋1≠0且m2＋1＝1，∴m＝0；
②m＋1＝0，解得m＝－1；
③m2＋1＝0且m－3≠0，方程无解．
当m＝0或m＝－1时，方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是一元一次方程．
8．(广西贺州期中)阅读与理解
已知ax2＋bx＋c是关于x的多项式，记为P(x).我们规定：P(x)的导出多项式为2ax＋b，记为Q(x).例如：若P(x)＝3x2－2x＋1，则P(x)的导出多项式Q(x)＝2·3x－2＝6x－2.
根据以上信息，回答问题：
(1)若P(x)＝x2－2x，则它的导出多项式Q(x)＝__2x－2__；
(2)设Q(x)是P(x)的导出多项式．
①若P(x)＝2x2＋4(2x－1)，求关于x的方程Q(x)＝0的解；
②已知P(x)＝(a－2)x2－6x＋2是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q(x)＝－x的解为整数，求正整数a的值．
(1)∵P(x)＝x2－2x，
∴它的导出多项式Q(x)＝2·x＋(－2)＝2x－2；，
(2)①∵P(x)＝2x2＋4(2x－1)＝2x2＋8x－4，
∴它的导出多项式Q(x)＝2·2x＋8＝4x＋8.
∵Q(x)＝0，∴4x＋8＝0，∴x＝－2，
∴关于x的方程Q(x)＝0的解为x＝－2；
②∵P(x)＝(a－2)x2－6x＋2，
∴它的导出多项式Q(x)＝2·(a－2)x＋(－6)＝2x(a－2)－6.
∵Q(x)＝－x，∴2x(a－2)－6＝－x，∴(2a－3)x＝6.
∵关于x的方程Q(x)＝－x的解为整数，
∴2a－3≠0，∴x＝，
∴2a－3的值为±1，±2，±3，±6，
∴a的值为2，1，，，0，3，，－，
∴正整数a的值为2，1，3.
又∵a－2≠0，∴a≠2，∴正整数a的值为1，3.
思路3 利用定义确定方程中某个字母的取值范围9.(广西柳州期中)若关于x的方程(a－8)x2＋2 024x－2 025＝0是一元二次方程，则a的取值范围是( A )
A．a≠8 B．a＝8
C．a＞8 D．a≥0
10．(广西北海模拟)若关于x的方程mx2－3x＝x2－3mx＋2是一元二次方程，则m应满足的条件是( C )
A．m只能等于1 B．m只能等于－1
C．m必须不等于1 D．m必须不等于－1
mx2－3x＝x2－3mx＋2，整理得(m－1)x2＋(3m－3)x－2＝0.∵关于x的方程mx2－3x＝x2－3mx＋2是一元二次方程，∴m－1≠0，∴m≠1，即m必须不等于1.
11．若关于x的方程(m－2)x|m|＋2x－2m＝0是一元二次方程，求不等式(m＋1)x－m＞1的解集．
∵(m－2)x|m|＋2x－2m＝0是一元二次方程，∴|m|＝2，m－2≠0，解得m＝±2，m≠2，
∴m＝－2，∴原不等式变为－x＋2＞1，
∴－x＞－1，∴x＜1.
思路4 利用根的定义求某个字母的值
12．若x＝1是方程x2＋mx＋1＝0的一个解，则m的值为( D )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
13．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a－5＝0的一个根是1，则a的值是__2__．
14．(广西桂林模拟)已知f(x)＝a1xn＋a2xn-1＋…＋an－1x2＋anx＋c(其中a1，a2，…，an是各项的系数，c是常数项)；我们规定f(x)的伴随多项式是g (x)，且g(x)＝na1xn-1＋(n－1)a2xn-2＋…＋2an－1x＋an.如果f(x)＝4x3－3x2＋5x－8，则它的伴随多项式g(x)＝3×4x2－2×3x＋1×5＝12x2－6x＋5.
请根据上面的材料，完成下列问题：
(1)已知f(x)＝x5，则它的伴随多项式g(x)＝__5x4__；
(2)已知f(x)＝5x2－3(9x－1)，则它的伴随多项式g(x)＝__10x－27__；若g(x)＝13，求x的值．
(3)已知二次多项式f(x)＝(a＋3)x2＋16x＋21，并且它的伴随多项式是g(x)，若关于x的方程g(x)＝－2x有正整数解，求a的整数值．
(1)已知f(x)＝x5，则它的伴随多项式g(x)＝5x4；
(2)∵f(x)＝5x2－3(9x－1)＝5x2－27x＋3，
∴它的伴随多项式g(x)＝10x－27，
根据题意，得10x－27＝13，解得x＝4；
(3)∵二次多项式f(x)＝(a＋3)x2＋16x＋21，
∴它的伴随多项式是g(x)＝2(a＋3)x＋16，
∵g(x)＝－2x有正整数解，且2(a＋3)x＋16＝－2x，即x＝－，
∴a＋4＝－1或a＋4＝－2或a＋4＝－4或a＋4＝－8，解得a＝－5或－6或－8或－12.
思路5 利用根的定义求某个代数式的值
15．已知a是方程2x2－7x－1＝0的一个根，求代数式a(2a－7)＋5的值．
∵a是方程2x2－7x－1＝0的一个根，
∴2a2－7a－1＝0，
∴2a2－7a＝1，
∴a(2a－7)＋5＝2a2－7a＋5＝1＋5＝6.
16．(广西贺州月考)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，如果a，b，c满足3a＋2b＋c＝0，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．
(1)判断方程2x2－x－4＝0是否为波浪方程，并说明理由．
(2)已知关于x的波浪方程ax2－2x＋c＝0的一个根是－1，求这个波浪方程．
(1)是波浪方程．理由如下：
∵a＝2，b＝－1，c＝－4，
∴3a＋2b＋c＝6＋(－2)＋(－4)＝0，
故此方程为波浪方程．
(2)将x＝－1代入原方程，得a＋2＋c＝0①.
∵此方程为波浪方程，
∴3a＋(－4)＋c＝0②，
由①②，得
∴这个波浪方程为3x2－2x－5＝0.
17．若m是一元二次方程x|a|-1－x－2＝0的一个实数根．
(1)求a的值；
(2)不解方程，求代数式(m2－m)·(m－＋1)的值．
(1)由于x|a|-1－x－2＝0是关于x的一元二次方程，
所以|a|－1＝2，解得a＝±3；
(2)由(1)知，该方程为x2－x－2＝0，
把x＝m代入，得m2－m＝2.①
又因为m－1－＝0，
所以m－＝1，②
把①②代入(m2－m)·(m－＋1)，得(m2－m)·(m－＋1)＝2×(1＋1)＝4，即(m2－m)·(m－＋1)＝4.方法专题训练（二） 巧用一元二次方程定义及根的定义
思路1 利用定义识别一元二次方程
1．(广西柳州期中)下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A．x＋2y＝1 B．ax2＋bx＋c＝0
C．3x＋＝4 D．x2－2＝0
2．关于x的方程：①ax2＋bx＋c＝0；②x2－＝7；③3x2－4x＋5＝0；④x2－1＋2x2＝0.其中一元二次方程的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列方程中，无论a取何值时，总是关于x的一元二次方程的是( )
A．(2a－1)(x2＋3)＝2x2－2
B．ax2－2x－9＝0
C．ax2＋x＝x2－1
D．(a2＋1)x2＋x＝0
4．(广西防城港期中)试说明关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
思路2 利用定义确定方程中某个字母的值
5．若方程(a＋2)xa2－2－x＋a2－1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为( )
A．±2 B．2 C．－2 D．±1
6．已知关于x的一元二次方程2xa－3xb－5＝0，试写出满足要求的所有a，b的值__ __．
7．(广西柳州月考)关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0.
(1)m取何值时，它是一元二次方程？
(2)m取何值时，它是一元一次方程？
8．(广西贺州期中)阅读与理解
已知ax2＋bx＋c是关于x的多项式，记为P(x).我们规定：P(x)的导出多项式为2ax＋b，记为Q(x).例如：若P(x)＝3x2－2x＋1，则P(x)的导出多项式Q(x)＝2·3x－2＝6x－2.
根据以上信息，回答问题：
(1)若P(x)＝x2－2x，则它的导出多项式Q(x)＝__ __；
(2)设Q(x)是P(x)的导出多项式．
①若P(x)＝2x2＋4(2x－1)，求关于x的方程Q(x)＝0的解；
②已知P(x)＝(a－2)x2－6x＋2是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q(x)＝－x的解为整数，求正整数a的值．
思路3 利用定义确定方程中某个字母的取值范围
9.(广西柳州期中)若关于x的方程(a－8)x2＋2 024x－2 025＝0是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A．a≠8 B．a＝8
C．a＞8 D．a≥0
10．(广西北海模拟)若关于x的方程mx2－3x＝x2－3mx＋2是一元二次方程，则m应满足的条件是( )
A．m只能等于1 B．m只能等于－1
C．m必须不等于1 D．m必须不等于－1
思路4 利用根的定义求某个字母的值
12．若x＝1是方程x2＋mx＋1＝0的一个解，则m的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
13．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a－5＝0的一个根是1，则a的值是__ __．
14．(广西桂林模拟)已知f(x)＝a1xn＋a2xn-1＋…＋an－1x2＋anx＋c(其中a1，a2，…，an是各项的系数，c是常数项)；我们规定f(x)的伴随多项式是g (x)，且g(x)＝na1xn-1＋(n－1)a2xn-2＋…＋2an－1x＋an.如果f(x)＝4x3－3x2＋5x－8，则它的伴随多项式g(x)＝3×4x2－2×3x＋1×5＝12x2－6x＋5.
请根据上面的材料，完成下列问题：
(1)已知f(x)＝x5，则它的伴随多项式g(x)＝__ __；
(2)已知f(x)＝5x2－3(9x－1)，则它的伴随多项式g(x)＝__ __；若g(x)＝13，求x的值．
(3)已知二次多项式f(x)＝(a＋3)x2＋16x＋21，并且它的伴随多项式是g(x)，若关于x的方程g(x)＝－2x有正整数解，求a的整数值．
思路5 利用根的定义求某个代数式的值
15．已知a是方程2x2－7x－1＝0的一个根，求代数式a(2a－7)＋5的值．
16．(广西贺州月考)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，如果a，b，c满足3a＋2b＋c＝0，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．
(1)判断方程2x2－x－4＝0是否为波浪方程，并说明理由．
(2)已知关于x的波浪方程ax2－2x＋c＝0的一个根是－1，求这个波浪方程．
17．若m是一元二次方程x|a|-1－x－2＝0的一个实数根．
(1)求a的值；
(2)不解方程，求代数式(m2－m)·(m－＋1)的值．
