方法专题训练（三） 选择合适的方法解一元二次方程
思路1 不(直接)含有一次项的一元二次方程
1．解下列方程：
(1)2y2＝8；(2)2(x＋3)2－4＝0；
(3)(x＋1)2＝25；(4)(2x＋1)2＝(x－1)2.
思路2 可转化为一边为0，另一边易于因式分解的
一元二次方程
2．解下列方程：
(1)(4x－1)(5x＋7)＝0；
(2)3x(x－1)＝2－2x；
(3)(2x＋3)2＝4(2x＋3)；
(4)2(x－3)2＝x2－9.
思路3 二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元
二次方程
3．解方程：
(1)x2＋4x－2＝0；(2)x2－2x－4 899＝0.
思路4 适合所有方程的公式法
4．用公式法解下列方程：
(1)3x2－10x－8＝0；(2)y(2y＋7)＝4.
思路5 用指定的方法解一元二次方程
5．用指定的方法解方程：
(1)x2－2x＝0(因式分解法);
(2)x2－2x－3＝0(用配方法)；
(3)2x2－9x＋8＝0(用公式法)；
(4)(x－2)2＝(2x＋3)2(用合适的方法)
思路6 换元法解与一元二次方程相关的特殊方程
6．(广西钦州模拟)读下列材料：已知实数m，n满足(2m2＋n2＋1)(2m2＋n2－1)＝80，试求2m2＋n2的值.
解：设2m2＋n2＝t，则原方程变为(t＋1)(t－1)＝80，整理得t2－1＝80，t2＝81，
∴t＝±9，∵2m2＋n2≥0，∴2m2＋n2＝9，
上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)设a，b满足等式(a2＋b2)(2a2＋2b2－1)＝3，求3a2＋3b2－1的值；
(2)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数．方法专题训练（三） 选择合适的方法解一元二次方程
思路1 不(直接)含有一次项的一元二次方程
1．解下列方程：
(1)2y2＝8；(2)2(x＋3)2－4＝0；
(3)(x＋1)2＝25；(4)(2x＋1)2＝(x－1)2.
(1)2y2＝8，y2＝4，y＝±2，解得y1＝2，y2＝－2；
(2)2(x＋3)2－4＝0，(x＋3)2＝2，x＋3＝±，解得x1＝－3＋，x2＝－3－；
(3)(x＋1)2＝25，(x＋1)2＝100，x＋1＝±10，解得x1＝－11，x2＝9；
(4)(2x＋1)2＝(x－1)2，2x＋1＝x－1，2x＋1＝－(x－1)，解得x1＝0，x2＝－2.
思路2 可转化为一边为0，另一边易于因式分解的
一元二次方程
2．解下列方程：
(1)(4x－1)(5x＋7)＝0；
(2)3x(x－1)＝2－2x；
(3)(2x＋3)2＝4(2x＋3)；
(4)2(x－3)2＝x2－9.
(1)(4x－1)(5x＋7)＝0，4x－1＝0或5x＋7＝0，解得x1＝，x2＝－；
(2)3x(x－1)＝2－2x，3x(x－1)＋2(x－1)＝0，(x－1)(3x＋2)＝0，
x－1＝0或3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝－；
(3)(2x＋3)2＝4(2x＋3)，(2x＋3)2－4(2x＋3)＝0，(2x＋3)(2x＋3－4)＝0，2x＋3＝0或2x＋3－4＝0，解得x1＝－，x2＝.
(4)2(x－3)2＝x2－9，2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，x－3＝0或2(x－3)－(x＋3)＝0，解得x1＝3，x2＝9.
思路3 二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元
二次方程
3．解方程：
(1)x2＋4x－2＝0；(2)x2－2x－4 899＝0.
(1)x2＋4x＋22＝2＋22，即(x＋2)2＝6，x＋2＝±，x1＝－2＋，x2＝－2－；
(2)x2－2x＝4 899，x2－2x＋1＝4 899＋1，
即(x－1)2＝4 900，x－1＝70或x－1＝－70，
解得x1＝71，x2＝－69.
思路4 适合所有方程的公式法
4．用公式法解下列方程：
(1)3x2－10x－8＝0；(2)y(2y＋7)＝4.
(1)这里a＝3，b＝－10，c＝－8，
∵b2－4ac＝100＋96＝196，
∴x＝，
解得x1＝4，x2＝－；
(2)方程整理，得2y2＋7y－4＝0，这里a＝2，b＝7，c＝－4，
∵b2－4ac＝49＋32＝81，∴y＝，解得y1＝，y2＝－4.
思路5 用指定的方法解一元二次方程
5．用指定的方法解方程：
(1)x2－2x＝0(因式分解法);
(2)x2－2x－3＝0(用配方法)；
(3)2x2－9x＋8＝0(用公式法)；
(4)(x－2)2＝(2x＋3)2(用合适的方法)
(1)∵x2－2x＝0，x(x－2)＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
(2)∵x2－2x－3＝0，x2－2x＝3，x2－2x＋1＝4，(x－1)2＝4，
∴x－1＝±2，∴x1＝3，x2＝－1；
(3)∵b2－4ac＝81－4×2×8＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
(4)(x－2)2－(2x＋3)2＝0，
∴[(x－2)＋(2x＋3)][(x－2)－(2x＋3)]＝0，
∴(3x＋1)(－x－5)＝0，
∴x1＝－，x2＝－5.
思路6 换元法解与一元二次方程相关的特殊方程
6．(广西钦州模拟)读下列材料：已知实数m，n满足(2m2＋n2＋1)(2m2＋n2－1)＝80，试求2m2＋n2的值.
解：设2m2＋n2＝t，则原方程变为(t＋1)(t－1)＝80，整理得t2－1＝80，t2＝81，
∴t＝±9，∵2m2＋n2≥0，∴2m2＋n2＝9，
上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)设a，b满足等式(a2＋b2)(2a2＋2b2－1)＝3，求3a2＋3b2－1的值；
(2)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数．
(1)设a2＋b2＝m，
则原方程变为m(2m－1)＝3，
整理，得2m2－m＝3，
解得m＝或m＝－1.
∵a2＋b2≥0，
∴a2＋b2＝，
∴3a2＋3b2－1＝3×－1＝；
(2)设最小正整数为x，由题意，得x(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝24，
整理，得(x2＋3x)(x2＋3x＋2)＝24.
设x2＋3x＝y，则方程化为y2＋2y－24＝0，
解得y1＝－6，y2＝4.
∵x为正整数，
∴y＝x2＋3x＝4，
解得x1＝1，x2＝－4＜0(舍去)，
故这四个连续正整数为1，2，3，4.
