20.2.2．数据的离散程度
第2课时 用样本方差估计总体方差
知识点 用样本方差估计总体方差
1．在数据分析中，通过计算样本的方差可以近似反映出总体的( B )
A．平均状态 B．波动大小
C．分布规律 D．最大值和最小值
2．为了比较甲、乙两种水稻秧苗哪种出苗更整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9，15.8，则下列说法正确的是( A )
A．甲秧苗出苗更整齐
B．乙秧苗出苗更整齐
C．甲、乙秧苗出苗一样整齐
D．无法确定
3．欣欣榨菜公司购买了甲、乙、丙三台包装机，同时分别包装质量为150 g的榨菜，从它们各自包装的榨菜中分别随机抽取10袋，测得它们的实际质量的方差如下表所示．根据表中数据，可以认为三台包装机中，包装榨菜质量最稳定的是包装机( B )
包装机 甲 乙 丙
方差 20.70 5.21 10.22
A.甲 B．乙
C．丙 D．甲与丙
4．(广西玉林月考)某树苗培育基地培育了10 000棵银杏树苗，为了解树苗的长势，测量了6棵树苗的高(单位：cm)，其分别为51，48，51，49，52，49，则这10 000棵树苗的方差的估计值为( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
易错易混点 混淆方差的变化特征
5．(广西崇左期末)跳远运动员李阳对训练效果进行了5次测试，成绩如下：7.9，7.6，7.8，7.7，8.0(单位：m)，这五次成绩的平均数为7.8 m，方差为0.02；如果李阳再跳一次，成绩为7.8 m，则李阳这6次跳远成绩的方差会发生改变吗？
∵李阳再跳一次，成绩为7.8 m，
∴这组数据的平均数是＝7.8(m)，
∴这6次跳远成绩的方差是s2＝[(7.8－7.9)2＋(7.8－7.6)2＋2×(7.8－7.8)2＋(7.8－7.7)2＋(7.8－8.0)2]＝＜0.02，∴方差变小．
6．(广西北海期末)为比较甲、乙两个品种麦苗的长势，现分别从中随机抽取50株麦苗测量其高度，发现甲、乙两个品种麦苗高度的平均数相同，且s＝3.5，s＝5.3，则下列说法正确的是( A )
A．甲品种麦苗长得更整齐
B．乙品种麦苗长得更整齐
C．甲、乙品种麦苗长得一样整齐
D．无法确定甲、乙两个品种麦苗谁长得更整齐
7．(江苏常州中考)小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩(单位：m)，此时这组成绩的平均数是20 m，方差是s m2.若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是s m2，则s__>__s (填“＞”“＝”或“＜”).
8．(广西桂林永福县期末)罗汉果发源于永福县龙江乡，享有“东方神果”之美誉．某罗汉果培育基地引进了甲、乙、丙、丁四个品种的罗汉果树．为了解每种罗汉果树的产量，从每个品种中各随机抽取10棵树进行采摘，下表是采摘的每个品种中10棵罗汉果树产量的平均数x(kg)和方差s2：
甲 乙 丙 丁
平均数x/kg 194 196 188 191
方差s2 9.2 8.6 8.9 9.7
若从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的罗汉果树进行种植，应选择的品种为__乙__.
9．如图是某超市A，B两种水果连续五天的单价调研情况，比较A，B两种水果单价，这五天中，单价平均值高的是__B__种水果，单价较稳定的是__A__种水果．
A种水果单价平均值为＝8.4(千克)，B种水果单价平均值为＝9(千克)，∴单价平均值高的是B种水果．由水果单价的折线统计图可知A种水果的单价波动小，B种水果的单价波动大，所以单价较稳定的是A种水果．
10．2024年第十四届全国冬季运动会在内蒙古呼伦贝尔市举办，这是北京冬奥会后首次举办的全国冬季项目大型体育赛事．某俱乐部准备从三名短道速滑运动员中选一名运动员参加，他们最近几次训练成绩如下表，应派出哪位队员参赛？
甲 乙 丙 丁
平均时间(s) 51.3 50.2 50.1 50.1
方差 0.8 1.3 0.8 1.3
由表可知从平均时间看，丙、丁的成绩最好，其次是乙，甲的成绩最差，从方差看，丁成绩波动幅度大，丙成绩最稳定，
∴结合平均时间与方差看，丙发挥优秀且稳定，应派出丙队员参赛．
【母题P137习题20.2T10】某校从甲、乙两名优秀选手中选1名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：
次数成绩/s选手 1 2 3 4 5 6 7 8
甲 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2
乙 12 12.4 12.8 13 12.2 12.8 12.3 12.5
根据测试成绩，请你运用所学知识作出判断，派哪位选手参加比赛更好？为什么？
甲成绩的平均数＝
＝12.5，
乙成绩的平均数＝
＝12.5，
s＝[(12.1－12.5)2＋(12.2－12.5)2＋(13－12.5)2＋(12.5－12.5)2＋(13.1－12.5)2＋(12.5－12.5)2＋(12.4－12.5)2＋(12.2－12.5)2]＝0.12，
s＝[(12－12.5)2＋(12.4－12.5)2＋(12.8－12.5)2＋(13－12.5)2＋(12.2－12.5)2＋(12.8－12.5)2＋(12.3－12.5)2＋(12.5－12.5)2]＝0.102 5.
因为s＞s，所以乙的成绩稳定，派乙选手参加比赛更好．
【变式】甲、乙两名运动员进行射击练习，两人在相同条件下各射10次，将射击结果作统计分析，如下表所示：
命中环数 5 6 7 8 9 10 平均数 中位数 方差
甲命中环数 的次数 1 4 2 1 1 1 7 6.5 2.2
乙命中环数 的次数 1 2 4 2 1 0 ________ ________ ________
(1)填空：乙的平均数为__7__、中位数为__7__、方差为__1.2__.
(2)根据你所学的统计知识，利用上述某些数据评价甲、乙两人的射击水平．
(1)乙的平均数为×(5×1＋6×2＋7×4＋8×2＋9×1)＝7(环)；
∵将乙的射击结果从小到大排列，第5，第6个数都是7，故中位数为7(环)；
方差为×[(5－7)2＋2×(6－7)2＋4×(7－7)2＋2×(8－7)2＋(9－7)2]＝1.2.
(2)从平均水平看，甲、乙两人射击的环数平均数均为7环，水平相当；
从中位数看，乙的中位数比甲大，乙的成绩比甲的好些；
从稳定性看，s＜s，所以乙的成绩比甲稳定．
11．(应用意识&运算能力)种子被称作农业的“芯片”，粮安天下，种子为基．农科院计划为某地区选择合适的甜玉米种子，随机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量(单位：t)，并对数据(每公顷产量)进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．20块试验田每公顷产量的频数分布表如下：
每公顷产量(t) 频数
7.40≤x＜7.45 3
7.45≤x＜7.50 2
7.50≤x＜7.55 m
7.55≤x＜7.60 6
7.60≤x≤7.65 5
b.试验田每公顷产量在7.55≤x＜7.60这一组的是7.55，7.55，7.57，7.58，7.59，7.59.
c．20块试验田每公顷产量的统计图如下：
(1)表中m的值为__4__；
(2)随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数为__7.55__．
(3)下列推断合理的是__①__(填序号)；
①20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于7.50 t的试验田数量占试验田总数的25%；
②3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第5名．
(4)1～10号试验田使用的是甲种种子，11～20号试验田使用的是乙种种子，已知甲、乙两种种子的每公顷产量的平均数分别为7.537 t及7.545 t，若某种种子在各试验田每公顷产量的10个数据的方差越小，则认为这种种子的产量越稳定．据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是__乙__(填“甲”或“乙”).
(1)20－3－2－6－5＝4(块)，即m的值为4；
(2)将20块试验田每公顷产量数据从小到大排列，可知第10个和第11个数据均为7.55，
所以这组数据的中位数为(7.55＋7.55)÷2＝7.55；
(3)①(2＋3)÷20＝25%，所以①说法正确，
②从统计图可以看出，7.60≤x≤7.65共有5块试验田，分别是1，3，5，6，17，其中1，5，6的试验田数据略高于3号，17号略小于3号，
所以3号田的数据从高到低排第4名，②说法错误；
(4)首先，从统计图可以看出，甲的数据主要分布于7.40～7.65，乙的数据主要分布于7.45～7.60，
所以与甲的数据相比，乙的数据波动较低，离散程度较低，数据更加稳定，
其次，乙的平均数大于甲的平均数，
所以这个地区比较适合种植的种子是乙．
12．(应用意识&运算能力)(广西桂林期末)某果园收获了一批苹果，有2 000个苹果作为大果装入包装盒进行销售．设苹果的果径为x mm，其中A款包装盒中的苹果果径要求是80≤x＜85，B款包装盒中的苹果果径要求是85≤x＜90.从这2 000个苹果中随机抽取20个，测量它们的果径(单位：mm)，所得数据整理如下：
80 81 82 82 83 84 84 85 86 86 87 87 87 89 90 91 92 92 94 98
(1)这20个苹果的果径的众数是__87__，中位数是__86.5__；
(2)如果一个包装盒中苹果果径的方差越小，那么认为该包装盒中的苹果大小越均匀．从抽取的苹果中分别选出6个装入两个包装盒，其果径如表所示．
包装盒1的 苹果果径 80 81 82 82 83 84
包装盒2的 苹果果径 86 86 87 87 87 89
其中，包装盒__1__中的苹果大小更均匀(填“1”或“2”)；
(3)请估计这2 000个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果有多少个？
(1)87出现的次数最多，故众数是87；
把20个苹果的果径从小到大排列，排在中间的两个数分别是86，87，故中位数是＝86.5；
(2)包装盒1的平均数为＝82，
包装盒1的方差为×[(80－82)2＋(81－82)2＋(82－82)2＋(82－82)2＋(83－82)2＋(84－82)2]＝，
包装盒2的平均数为＝87，
包装盒2的方差为×[2×(86－87)2＋3×(87－87)2＋(89－87)2]＝1.
因为1＜，
所以包装盒1中苹果大小更为整齐；
(3)2 000×＝700(个)，
答：估计符合A款包装盒要求的苹果有700个．20.2.2．数据的离散程度
第2课时 用样本方差估计总体方差
知识点 用样本方差估计总体方差
1．在数据分析中，通过计算样本的方差可以近似反映出总体的( )
A．平均状态 B．波动大小
C．分布规律 D．最大值和最小值
2．为了比较甲、乙两种水稻秧苗哪种出苗更整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9，15.8，则下列说法正确的是( )
A．甲秧苗出苗更整齐
B．乙秧苗出苗更整齐
C．甲、乙秧苗出苗一样整齐
D．无法确定
3．欣欣榨菜公司购买了甲、乙、丙三台包装机，同时分别包装质量为150 g的榨菜，从它们各自包装的榨菜中分别随机抽取10袋，测得它们的实际质量的方差如下表所示．根据表中数据，可以认为三台包装机中，包装榨菜质量最稳定的是包装机( )
包装机 甲 乙 丙
方差 20.70 5.21 10.22
A.甲 B．乙
C．丙 D．甲与丙
4．(广西玉林月考)某树苗培育基地培育了10 000棵银杏树苗，为了解树苗的长势，测量了6棵树苗的高(单位：cm)，其分别为51，48，51，49，52，49，则这10 000棵树苗的方差的估计值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
易错易混点 混淆方差的变化特征
5．(广西崇左期末)跳远运动员李阳对训练效果进行了5次测试，成绩如下：7.9，7.6，7.8，7.7，8.0(单位：m)，这五次成绩的平均数为7.8 m，方差为0.02；如果李阳再跳一次，成绩为7.8 m，则李阳这6次跳远成绩的方差会发生改变吗？
6．(广西北海期末)为比较甲、乙两个品种麦苗的长势，现分别从中随机抽取50株麦苗测量其高度，发现甲、乙两个品种麦苗高度的平均数相同，且s＝3.5，s＝5.3，则下列说法正确的是( )
A．甲品种麦苗长得更整齐
B．乙品种麦苗长得更整齐
C．甲、乙品种麦苗长得一样整齐
D．无法确定甲、乙两个品种麦苗谁长得更整齐
7．(江苏常州中考)小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩(单位：m)，此时这组成绩的平均数是20 m，方差是s m2.若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是s m2，则s__ __s (填“＞”“＝”或“＜”).
8．(广西桂林永福县期末)罗汉果发源于永福县龙江乡，享有“东方神果”之美誉．某罗汉果培育基地引进了甲、乙、丙、丁四个品种的罗汉果树．为了解每种罗汉果树的产量，从每个品种中各随机抽取10棵树进行采摘，下表是采摘的每个品种中10棵罗汉果树产量的平均数x(kg)和方差s2：
甲 乙 丙 丁
平均数x/kg 194 196 188 191
方差s2 9.2 8.6 8.9 9.7
若从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的罗汉果树进行种植，应选择的品种为__ __.
9．如图是某超市A，B两种水果连续五天的单价调研情况，比较A，B两种水果单价，这五天中，单价平均值高的是__ __种水果，单价较稳定的是__ __种水果．
10．2024年第十四届全国冬季运动会在内蒙古呼伦贝尔市举办，这是北京冬奥会后首次举办的全国冬季项目大型体育赛事．某俱乐部准备从三名短道速滑运动员中选一名运动员参加，他们最近几次训练成绩如下表，应派出哪位队员参赛？
甲 乙 丙 丁
平均时间(s) 51.3 50.2 50.1 50.1
方差 0.8 1.3 0.8 1.3
【母题P137习题20.2T10】某校从甲、乙两名优秀选手中选1名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：
次数成绩/s选手 1 2 3 4 5 6 7 8
甲 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2
乙 12 12.4 12.8 13 12.2 12.8 12.3 12.5
根据测试成绩，请你运用所学知识作出判断，派哪位选手参加比赛更好？为什么？
【变式】甲、乙两名运动员进行射击练习，两人在相同条件下各射10次，将射击结果作统计分析，如下表所示：
命中环数 5 6 7 8 9 10 平均数 中位数 方差
甲命中环数 的次数 1 4 2 1 1 1 7 6.5 2.2
乙命中环数 的次数 1 2 4 2 1 0 ________ ________ ________
(1)填空：乙的平均数为__ __、中位数为__ __、方差为__ __.
(2)根据你所学的统计知识，利用上述某些数据评价甲、乙两人的射击水平．
11．(应用意识&运算能力)种子被称作农业的“芯片”，粮安天下，种子为基．农科院计划为某地区选择合适的甜玉米种子，随机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量(单位：t)，并对数据(每公顷产量)进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．20块试验田每公顷产量的频数分布表如下：
每公顷产量(t) 频数
7.40≤x＜7.45 3
7.45≤x＜7.50 2
7.50≤x＜7.55 m
7.55≤x＜7.60 6
7.60≤x≤7.65 5
b.试验田每公顷产量在7.55≤x＜7.60这一组的是7.55，7.55，7.57，7.58，7.59，7.59.
c．20块试验田每公顷产量的统计图如下：
(1)表中m的值为__ __；
(2)随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数为__ __．
(3)下列推断合理的是__ __(填序号)；
①20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于7.50 t的试验田数量占试验田总数的25%；
②3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第5名．
(4)1～10号试验田使用的是甲种种子，11～20号试验田使用的是乙种种子，已知甲、乙两种种子的每公顷产量的平均数分别为7.537 t及7.545 t，若某种种子在各试验田每公顷产量的10个数据的方差越小，则认为这种种子的产量越稳定．据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是__ __(填“甲”或“乙”).
12．(应用意识&运算能力)(广西桂林期末)某果园收获了一批苹果，有2 000个苹果作为大果装入包装盒进行销售．设苹果的果径为x mm，其中A款包装盒中的苹果果径要求是80≤x＜85，B款包装盒中的苹果果径要求是85≤x＜90.从这2 000个苹果中随机抽取20个，测量它们的果径(单位：mm)，所得数据整理如下：
80 81 82 82 83 84 84 85 86 86 87 87 87 89 90 91 92 92 94 98
(1)这20个苹果的果径的众数是__ __，中位数是__ __；
(2)如果一个包装盒中苹果果径的方差越小，那么认为该包装盒中的苹果大小越均匀．从抽取的苹果中分别选出6个装入两个包装盒，其果径如表所示．
包装盒1的 苹果果径 80 81 82 82 83 84
包装盒2的 苹果果径 86 86 87 87 87 89
其中，包装盒__ __中的苹果大小更均匀(填“1”或“2”)；
(3)请估计这2 000个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果有多少个？
