方法专题训练（六） 利用平行四边形证明线段之间的关系
思路1 利用平行四边形证明线段相等
1．(广西钦州期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，点F在BC上，点E为AF的中点，连接AF，BE，ED，DF，BF＝DE.
求证：BE＝DF.
2．如图，在四边形ABCD中，已知OE＝OF，OB＝OD，AB＝CD，求证AD＝BC.
3．(广西来宾期末)如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F，使EF＝DE，连接BF.
(1)求证：四边形ABFD是平行四边形；
(2)求证：BF＝DC.
4．(广西玉林月考)如图，点E为平行四边形ABCD的边AD上一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG，H为FG的中点，连接DH，AF.
(1)求证：AF＝DH；
(2)若△EFG的面积为4，求平行四边形ABCD的面积．
思路2 利用平行四边形证明线段平行
5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF.求证：AF∥CE.
6．(广西南宁期末)已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：EH∥GF.
7．如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点M，N分别在BA和DC的延长线上，且AM＝CN，连接ME，EN，NF，FM.
求证：(1)△BEM≌△DFN；
(2)ME∥NF.
思路3 利用平行四边形证明线段互相平分
8．(广西贺州期末)如图，在 ABCD中，点F，H分别在边AB，CD上，对角线AE与HF相交于点O，且BF＝DH.
求证：AC和HF互相平分．
9．如图，在 ABCD中，AE＝CG，BF＝DH，连接EG，HF，EG与HF交于点O.求证：OE＝OG，OF＝OH.
10．(广西河池模拟)如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F，G在边AB上，AG＝AC，AE⊥CG交CG于E，EF∥BC，连接BE，DF，且BE 交DF于O点．
(1)求证：OB＝OE，OD＝OF；
(2)若AB＝10，AC＝6，求BF的长．方法专题训练（六） 利用平行四边形证明线段之间的关系
思路1 利用平行四边形证明线段相等
1．(广西钦州期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，点F在BC上，点E为AF的中点，连接AF，BE，ED，DF，BF＝DE.
求证：BE＝DF.
在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，∴△ABC是等腰三角形，
∴AD＝DC.
∵点E为AF的中点，
∴DE是△ACF的中位线，∴DE∥BF.
∵DE＝BF，∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE＝DF.
2．如图，在四边形ABCD中，已知OE＝OF，OB＝OD，AB＝CD，求证AD＝BC.
(方法一)在△BOE与△DOF中，
∴△BOE≌△DOF(SAS)，∴∠EBO＝∠FDO，
∴AB∥CD.
∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC.
(方法二)如图所示，连接DE，BF，∵OE＝OF，OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF.
∵AB＝CD，∴AB綊CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.
3．(广西来宾期末)如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F，使EF＝DE，连接BF.
(1)求证：四边形ABFD是平行四边形；
(2)求证：BF＝DC.
(1)∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB＝2DE，AD＝CD.
∵EF＝DE，∴DF＝2DE，
∴AB＝DF，且AB∥DF，
∴四边形ABFD是平行四边形；
(2)∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AD＝BF，且AD＝CD.∴BF＝DC.
4．(广西玉林月考)如图，点E为平行四边形ABCD的边AD上一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG，H为FG的中点，连接DH，AF.
(1)求证：AF＝DH；
(2)若△EFG的面积为4，求平行四边形ABCD的面积．
(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC为△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，∴AD∥FG，AD＝FG.
∵H为FG的中点，∴FH＝FG，∴FH＝AD，
∴四边形AFHD为平行四边形，
∴AF＝DH.
(2)如图，连接BH，CH.
∵点H为FG的中点，BF＝BE，CG＝CE，
∴点B，C分别为EF，EG的中点，
∴BC，BH，CH是△EFG的中位线．
∵△EFG的面积为4，
∴S△EBC＝S△BFH＝S△BHC＝S△CHG＝S△EFG＝1，
∴S平行四边形ABCD＝2×S△EBC＝2，
∴平行四边形ABCD的面积为2.
思路2 利用平行四边形证明线段平行
5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF.求证：AF∥CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∵BE＝DF，∴AE＝CF.
∵AB∥CD，∴四边形CEAF是平行四边形，
∴AF∥CE.
6．(广西南宁期末)已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：EH∥GF.
如图，
∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵G，H分别为OA，OC的中点，
∴OG＝OA，OH＝OC，∴OG＝OH.
又∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.
在△OEB和△OFD中，
∴△OEB≌△OFD(ASA)，∴OE＝OF，
∴四边形EHFG为平行四边形，∴EH∥GF.
7．如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点M，N分别在BA和DC的延长线上，且AM＝CN，连接ME，EN，NF，FM.
求证：(1)△BEM≌△DFN；
(2)ME∥NF.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.
∵AM＝CN，∴AM＋AB＝CN＋CD，
即BM＝DN，
在△BEM和△DFN中，
∴△BEM≌△DFN(SAS)；
(2)由(1)，知△BEM≌△DFN，
∴EM＝FN，∠BEM＝∠DFN，
∴180°－∠BEM＝180°－∠DFN，
∴∠MEF＝∠NFE，∴ME∥NF.
思路3 利用平行四边形证明线段互相平分
8．(广西贺州期末)如图，在 ABCD中，点F，H分别在边AB，CD上，对角线AE与HF相交于点O，且BF＝DH.
求证：AC和HF互相平分．
(方法一)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠CAB＝∠ACD.
∵BF＝DH，∴AF＝CH，
在△AFO和△CHO中，
∴△AFO≌△CHO(AAS)，∴AO＝CO，FO＝HO，
∴AC和HF互相平分．
(方法二)如图所示，连接AH，CF，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∵BF＝DH，
∴AB－BF＝CD－DH，∴AF＝CH，∴AF綊CH，
∴四边形AFCH是平行四边形，
∴AC和HF互相平分．
9．如图，在 ABCD中，AE＝CG，BF＝DH，连接EG，HF，EG与HF交于点O.求证：OE＝OG，OF＝OH.
如图所示，分别连接EF，FG，GH，HE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AD＝BC.
又∵BF＝DH，∴CF＝AH.
在△AEH和△CGF中，
∴△AEH≌△CGF(SAS)，
∴EH＝GF；同理GH＝EF；
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴OE＝OG，OF＝OH.
10．(广西河池模拟)如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F，G在边AB上，AG＝AC，AE⊥CG交CG于E，EF∥BC，连接BE，DF，且BE 交DF于O点．
(1)求证：OB＝OE，OD＝OF；
(2)若AB＝10，AC＝6，求BF的长．
(1)∵AG＝AC，AE⊥CG，∴CE＝GE.
∵点D是边BC的中点，
∴DE是△BCG的中位线，∴DE∥BG.
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴OB＝OE，OD＝OF；
(2)∵AG＝AC＝6，AB＝10，
∴BG＝AB－AG＝10－6＝4，
∵四边形BDEF是平行四边形，∴BF＝DE，
由(1)可知，DE是△BCG的中位线，
∴DE＝BG＝2，∴BF＝DE＝2，
即BF的长为2.
