方法专题训练（五） 利用勾股定理解决折叠和展开问题
思路1 用勾股定理解决折叠问题
1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为( )
A．1 cm
B．1.5 cm
C．2 cm
D．3 cm
2．如图，沿AC折叠长方形纸片ABCD，点D落到点E处，CE交AB于点F，若AB＝8，BC＝4，则EF＝__ __．
3．(广西柳州期中)如图，已知长方形ABCD中AB＝8 cm，BC＝10 cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F处，求CF的长．
4．(广西崇左期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(－2，0)，点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为(0，6)，求点E的坐标．
5．如图，长方形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝24 cm，将该矩形沿对角线BD折叠.
(1)求BE的长；
(2)求阴影部分的面积．
思路2 利用勾股定理解决平面展开问题
6．(广西梧州模拟)华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20 000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶(从A点到B点)均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少( )米．
A．3 B．20 C．15 D．9
7．(广西柳州期中)如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2 cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5 cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18 cm，长为15 cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是( )
A．5 cm B．4 cm C．8 cm D．15 cm 8．深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形ABCD，现已知AB＝30 m，AA′＝50 m，蜘蛛侠欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点A′处，则蜘蛛侠行走的最短距离为__ __m.
9．每年的秋分日是中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20 cm，高为10 cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点(接头不计)，则装饰带的长度最短为__ __cm.
10．(广西来宾模拟)(1)如图1，长方体的长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm.求该长方体中能放入木棒的最大长度；
(2)如图2，长方体的长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm.现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；
(3)如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为12 cm，在容器内壁离底部5 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿1 cm 与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
方法专题训练（五） 利用勾股定理解决折叠和展开问题
思路1 用勾股定理解决折叠问题
1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为( A )
A．1 cm
B．1.5 cm
C．2 cm
D．3 cm
2．如图，沿AC折叠长方形纸片ABCD，点D落到点E处，CE交AB于点F，若AB＝8，BC＝4，则EF＝__3__．
∵四边形ABCD为长方形，∴DC＝AB＝8，AB∥CD，∠B＝90°，∴∠DCA＝∠FAC，由翻折，得CD＝CE＝8，∠DCA＝∠FCA，∴∠FAC＝∠FCA，∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，则BF＝8－x，在Rt△BCF中，BC2＋BF2＝CF2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴EF＝CE－CF＝8－5＝3.
3．(广西柳州期中)如图，已知长方形ABCD中AB＝8 cm，BC＝10 cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F处，求CF的长．
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC＝10 cm，∠B＝90，
根据折叠性质，得AF＝AD＝10 cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2＋BF2＝AF2，
即82＋BF2＝102，∴BF＝6 cm，
∴CF＝BC－BF＝10－6＝4(cm).
4．(广西崇左期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(－2，0)，点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为(0，6)，求点E的坐标．
∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，∴AD＝AB＝CD＝CB，AD⊥x轴，CD⊥y轴．
由折叠，得FB＝CB，FE＝CE.
设CD交y轴于点G，AD＝AB＝CB＝CD＝m，则BF＝OG＝m.
∵A(－2，0)，F(0，6)，∴OA＝GD＝2，OF＝6，
∴OB＝m－2.
∵∠BOF＝∠EGF＝90°，∴OB2＋OF2＝BF2，
∴(m－2)2＋62＝m2，解得m＝10，
∴AD＝OG＝CD＝10，
∴FG＝10－6＝4，FE＝CE＝10－2－GE＝8－GE.
∵GE2＋FG2＝FE2，∴GE2＋42＝(8－GE)2，
解得GE＝3，∴E(3，10).
5．如图，长方形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝24 cm，将该矩形沿对角线BD折叠.
(1)求BE的长；
(2)求阴影部分的面积．
(1)∵四边形ABCD为长方形，
∴∠A＝∠C＝∠C′＝90°，AB＝CD＝C′D.
又∵∠AEB＝∠C′ED，∴△AEB≌△C′ED(AAS)
∴BE＝DE，∴△BED为等腰三角形；
设BE＝DE＝x，则AE＝24－x.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得x2＝122＋(24－x)2，
解得x＝15，∴BE的长为15；
(2)由(1)，得DE＝15，
∴S阴影＝DE·AB＝×15×12＝90.
思路2 利用勾股定理解决平面展开问题
6．(广西梧州模拟)华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20 000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶(从A点到B点)均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少( C )米．
A．3 B．20 C．15 D．9
7．(广西柳州期中)如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2 cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5 cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18 cm，长为15 cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是( D )
A．5 cm B．4 cm C．8 cm D．15 cm
①如图1为圆柱体侧面展开图，过点M作MA⊥AN于点A，作出点N关于底面直径所在直线的对称点N′，连接MN′.根据题意，可知AM＝×18＝9(cm)，AN′＝15－2＋5＝18(cm).
在Rt△AMN′中，根据勾股定理，得MN′＝＝＝9(cm)，②如图2为圆柱体侧面展开图，过点N作NB⊥BM于点B，作出点M关于底面直径所在直线的对称点M′，连接M′N.根据题意，可知BN＝×18＝9(cm)，BM′＝15－5＋2＝12(cm).在Rt△AMN′中，根据勾股定理，得M′N＝＝＝15(cm).∵9 cm＞15 cm，∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是M′N的长为15 cm.
8．深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形ABCD，现已知AB＝30 m，AA′＝50 m，蜘蛛侠欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点A′处，则蜘蛛侠行走的最短距离为__130__m.
如图，
将长方体展开如图所示．∵ABCD是正方形，AB＝30 m，AA′＝50 m，∴AB＝BC＝CD＝DE＝30 m，∴AE＝4AB＝120 m，E′E＝50 m，∴从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点A′，行走的最短距离相当于直三角形AEE′的斜边AE′的长，∴AE′＝＝＝130(m)，∴行走的最短距离为130 m．
9．每年的秋分日是中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20 cm，高为10 cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点(接头不计)，则装饰带的长度最短为__20__cm.
圆柱侧面展开如图所示，
则AC＝A′C.由题意，可得AB＝10 cm，BC＝B′C＝BB′＝×20＝10(cm)，∴AC＝＝10(cm)，∴装饰带的最短长度＝2AC＝20(cm).
10．(广西来宾模拟)(1)如图1，长方体的长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm.求该长方体中能放入木棒的最大长度；
(2)如图2，长方体的长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm.现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；
(3)如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为12 cm，在容器内壁离底部5 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿1 cm 与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
(1)如图1，由题意，得该长方体中能放入木棒的最大长度是＝13(cm)；
(2)①如图2，AG＝＝(cm)，
②如图3，AG＝＝(cm)，
③如图4，AG＝＝(cm)，
∵ cm＞ cm＞ cm，
∴最短路程为 cm；
(3)∵高为12 cm，底面周长为12 cm，在容器内壁离容器底部5 cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿1 cm与饭粒相对的点A处，如图5，将容器沿侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，
∴A′D＝6 cm，BD＝12－5＋1＝8(cm)，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
∴A′B＝＝10(cm).
