期中检测
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共36分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1．下列各式一定是二次根式的是( C )
A． B．
C． D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是( D )
A． B． C． D．
3．某超市1月份的营业额为36万元，前3个月的营业额共110万元，设每月营业额的平均增长率都为x，则平均增长率x应满足的方程为( D )
A．36(1＋x)2＝110 B．36(1－x)2＝110
C．110(1＋x)2＝36 D．36＋36(1＋x)＋36(1＋x)2＝110
4．若方程(m－2)x|m|－2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为( B )
A．2 B．－2 C．±2 D．不存在
5．若与可以合并，则m的最小正整数值是( D )
A．18 B．8 C．4 D．2
6．观察下列数据：①7，24，25，②7，12，15，③12，15，20，④8，15，17.其中能作为直角三角形三边长的有( B )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
7．化简：－－＝( A )
A．0 B．1 C．2 D．3
8．准备在一块长为30 m，宽为24 m的长方形花圃内修建四条宽度相等且与各边垂直的小路，如图所示，四条小路的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80 m2，则小路的宽度为( B )
A．1 m B． m C．2 m D． m
9．若＋|b－1|＝0，且关于x的方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是( B )
A．k≥4 B．k≤4
C．k≥－4，且k≠0 D．k≤4，且k≠0
10．分别求，，，的值，猜想的值是( D )
A．11 B．12 C．45 D．55
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是( B )
A．3 B．5
C． D．6
连接DE，如图所示．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10.
∵AD＝AC＝6，AF⊥CD，∴DF＝CF，∴CE＝DE，BD＝AB－AD＝4.在△ADE和△ACE中，，
∴△ADE≌△ACE(SSS)，
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，∴∠BDE＝90°.设CE＝DE＝x，则BE＝8－x.在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2＋BD2＝BE2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴CE＝3，∴BE＝8－3＝5.
12．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是( B )
A．48 m2 B．114 m2 C．122 m2 D．158 m2
连接AC.∵∠ABC＝90°，AB＝9 m，BC＝12 m，
∴AC＝＝＝15(m).
∵CD＝8 m，AD＝17 m，
∴AC2＋CD2＝152＋82＝289，AD2＝172＝289，
∴AC2＋CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积＋△ACD的面积＝AB·BC＋AC·CD＝×9×12＋×15×8＝54＋60＝114(m2)，
∴这块菜地的面积为114 m2.
第Ⅱ卷(非选择题 共84分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
13．计算2－的结果是__－__．
14．方程x2＋ax＋1＝0和x2－x－a＝0有一个公共根，则a的值是__2__.
15．已知|a＋3|＋(b－2)2＝＋，则－abx的算术平方根是__2__.
16．已知＝，且x是偶数，则(x＋2)的值为__2__.
17．我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理．如图，若阴影部分的面积是空白部分面积的2倍，则HE∶BE的值为__－1__．
设EF＝FG＝HG＝EH＝a，AH＝BE＝CF＝DG＝b，则AE＝BF＝CG＝DH＝a＋b，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝.
∵阴影部分的面积是空白部分面积的2倍，
∴AB2－4×AH·HG－EF2＝2×4×AH·HG＋2EF2，
∴(a＋b)2＋b2＝6ab＋3a2，
解得a＝(－1)b(负值舍去)，
∴a∶b＝－1，∴HE∶BE的值为－1.
18．如图，长方体箱子ABCD－A′B′C′D′长100 cm，宽100 cm，高50 cm，箱子顶部在点B和DA边的中点E之间绷紧着一根琴弦，一只蚂蚁从底部A′B′边的中点M出发，沿着箱子外壁爬向琴弦(可以爬向顶部)，则它至少需爬行__68__厘米才能接触到琴弦．(答案需为整数)
连接BM，EM，作MN⊥BE于N.
∵长方体箱子ABCD－A′B′C′D′长100 cm，宽100 cm，高50 cm，一只蚂蚁从底部A′B′边的中点M出发，
∴AB＝100 cm，AE＝50 cm，
∴BE＝＝50(cm)，S△EMB＝100×50＋×100×50－×50×100－×50×50＝MN×BE＝×50MN，解得：MN＝30≈68(cm)，则它至少需爬行68厘米才能接触到琴弦．
三、解答题(本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(本题满分6分)先化简，再求值：(x＋)(x－)＋x(x－1)，其中x＝2－2.
(x＋)(x－)＋x(x－1)，＝x2－2＋x2－x，＝2x2－x－2.
当x＝2－2时，
原式＝2(2－2)2－(2－2)－2
＝2(12－8＋4)－2＋2－2
＝32－18.
20．(本题满分6分)已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2＋β2－αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
(1)根据题意，得Δ＝(2m－1)2－4m2≥0，
解得m≤；
(2)存在．理由如下：
根据题意，得α＋β＝－(2m－1)，αβ＝m2.
∵α2＋β2－αβ＝6，
∴(α＋β)2－3αβ＝6，
即(2m－1)2－3m2＝6，
整理，得m2－4m－5＝0，解得m1＝5，m2＝－1.
∵m≤；
∴m的值为－1.
21．(本题满分10分)周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
(1)由题意，可知BD＝12米，CD⊥BD，AB＝DE＝1.65米，
在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD2＝BC2－BD2＝202－122＝256，
∴CD＝16(负值已舍去)，
∴CE＝CD＋DE＝16＋1.65＝17.65(米)，
答：风筝的垂直高度CE为17.65米；
(2)∵风筝沿CD方向下降11米，DE保持不变，如图，
∴此时的C′D＝16－11＝5(米)，
即此时在Rt△C′DB中，BD＝12米，
有BC′＝＝＝13(米)，
相比下降之前，BC缩短长度为20－13＝7(米)，
∴他应该往回收线7米．
22．(本题满分10分)△ABC的三边a，b，c满足b＝8－c，a2－bc－12a＋52＝0.
(1)若b，c的值是一个一元二次方程的实数解，写出这个一元二次方程．
(2)求出a，b，c的值，并指出△ABC的形状(按边分类).
(1)∵b＝8－c，a2－bc－12a＋52＝0，
∴b＋c＝8，bc＝a2－12a＋52，
∴以b，c为解的一元二次方程是x2－8x＋a2－12a＋52＝0.
(2)∵b＝8－c，
∴bc＝(8－c)c＝－c2＋8c，
∴bc＝a2－12a＋52＝－c2＋8c，
即a2－12a＋36＋16＋c2－8c＝0，
整理，得(a－6)2＋(c－4)2＝0.
∵(a－6)2≥0，(c－4)2≥0，
∴a－6＝0，即a＝6；c－4＝0，即c＝4，
∴b＝8－4＝4，
则△ABC为等腰三角形．
23．(本题满分10分)商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价5元，日销售量就减少50件．据此规律，请回答：
(1)当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？
(2)在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8 000元？
(1)当每件商品售价定为55元时，
每天可销售500－(55－50)×10＝450(件)，
商场获得的日盈利是450×(55－40)＝6 750(元)，
答：每天可销售450件商品，商场获得的日盈利是6 750元；
(2)设涨价x元，则根据题意，列方程得
(500－x)(50＋x－40)＝8 000，
整理，得x2－40x＋300＝0，(x－10)(x－30)＝0，
解得x1＝10，x2＝30，
故每件商品的销售定价为50＋10＝60(元)，30＋50＝80(元)，
答：每件商品的销售定价为60元或80元时，商场日盈利可达到8 000元．
24．(本题满分10分)设a，b，c为三个不同的实数，使得方程x2＋ax＋1＝0和x2＋bx＋c＝0有一个相同的实数根，并且使方程x2＋x＋a＝0和x2＋cx＋b＝0也有一个相同的实数根，试求a＋b＋c的值．
设x＋ax1＋1＝0，x＋bx1＋c＝0，两式相减，得(a－b)x1＋1－c＝0，解得x1＝，
同理，由x＋x2＋a＝0，x＋cx2＋b＝0，得x2＝(c≠1).
∵x2＝，是方程x2＋ax＋1＝0的根，
∴x2是方程x2＋ax＋1＝0和x2＋x＋a＝0的公共根．
因此两式相减有(a－1)(x－1)＝0，
当a＝1时，这两个方程无实数根，
故x2＝1，从而x1＝1，
于是a＝－2，b＋c＝－1，
所以a＋b＋c＝－3.
25．(本题满分10分)(1)【阅读】若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p＝(a＋b＋c)，则这个三角形的面积为S＝.请说明理由．
(2)【应用】如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△ABC面积．
(3)【引申】如图2，在(2)的条件下，AD，BE分别为△ABC的角平分线，它们的交点为I，求I到AB的距离．
(1)如图，在△ABC中，过A作AD⊥BC于D.
设BD＝x，那么DC＝a－x.
由于AD是△ABD，△ACD的公共边，
∴h2＝c2－x2＝b2－(a－x)2，
解得x＝，
于是h＝，
△ABC的面积S＝ah＝a
即S＝.
令p＝(a＋b＋c)，
对被开方数分解因式，并整理得到S＝；
(2)由题意，得a＝4，b＝5，c＝6，
∴p＝＝；
∴S＝＝＝，
故△ABC的面积是；
(3)如图，过点I作IF⊥AB，IG⊥AC，IH⊥BC，垂足分别为点F，G，H.
∵AD，BE分别为△ABC的角平分线，
∴IF＝IH＝IG.
∵S△ABC＝S△ABI＋S△ACI＋S△BCI，
即＝×6·IF＋×5·IG＋×4·IH，
∴3·IF＋·IF＋2·IF＝，
解得IF＝，
故I到AB的距离为.
26．(本题满分10分)阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB＝__150°__，由于PA，PB，PC不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌__△ABP__，这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．
(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2＋FC2.
图1
(1)如图1，将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，
∴△BAP≌△CAP′，
∴AB＝AC，AP＝AP′，∠BAP＝∠CAP′，
∴∠BAC＝∠PAP′＝60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠APP′＝60°.
∵B，P，P′不一定在一条直线上，连接PC，
∴P′C＝PB＝4，PP′＝PA＝3，PC＝5，
∴∠PP′C＝90°，
∴△PP′C是直角三角形，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°，
∴∠APB＝150°；
图2
(2)如图2，把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连接EG，
则△ACF≌△ABG，
∴AG＝AF，BG＝CF，∠ABG＝∠ACF＝45°.
∵∠BAC＝90°，∠GAF＝90°，
∴∠GAE＝∠EAF＝45°.
在△AEG和△AFE中，
∴△AEG≌△AFE，
∴EF＝EG.
又∵∠GBE＝∠ABG＋∠ABE＝＝90°，
∴BE2＋BG2＝EG2，
即BE2＋CF2＝EF2.期中检测
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共36分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1．下列各式一定是二次根式的是( )
A． B．
C． D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
3．某超市1月份的营业额为36万元，前3个月的营业额共110万元，设每月营业额的平均增长率都为x，则平均增长率x应满足的方程为( )
A．36(1＋x)2＝110 B．36(1－x)2＝110
C．110(1＋x)2＝36 D．36＋36(1＋x)＋36(1＋x)2＝110
4．若方程(m－2)x|m|－2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．不存在
5．若与可以合并，则m的最小正整数值是( )
A．18 B．8 C．4 D．2
6．观察下列数据：①7，24，25，②7，12，15，③12，15，20，④8，15，17.其中能作为直角三角形三边长的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
7．化简：－－＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
8．准备在一块长为30 m，宽为24 m的长方形花圃内修建四条宽度相等且与各边垂直的小路，如图所示，四条小路的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80 m2，则小路的宽度为( )
A．1 m B． m C．2 m D． m
9．若＋|b－1|＝0，且关于x的方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A．k≥4 B．k≤4
C．k≥－4，且k≠0 D．k≤4，且k≠0
10．分别求，，，的值，猜想的值是( )
A．11 B．12 C．45 D．55
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是( )
A．3 B．5
C． D．6
12．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是( )
A．48 m2 B．114 m2 C．122 m2 D．158 m2
第Ⅱ卷(非选择题 共84分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
13．计算2－的结果是__ __．
14．方程x2＋ax＋1＝0和x2－x－a＝0有一个公共根，则a的值是__ __.
15．已知|a＋3|＋(b－2)2＝＋，则－abx的算术平方根是__ __.
16．已知＝，且x是偶数，则(x＋2)的值为__ __.
17．我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理．如图，若阴影部分的面积是空白部分面积的2倍，则HE∶BE的值为__ __．
18．如图，长方体箱子ABCD－A′B′C′D′长100 cm，宽100 cm，高50 cm，箱子顶部在点B和DA边的中点E之间绷紧着一根琴弦，一只蚂蚁从底部A′B′边的中点M出发，沿着箱子外壁爬向琴弦(可以爬向顶部)，则它至少需爬行__ __厘米才能接触到琴弦．(答案需为整数)
三、解答题(本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(本题满分6分)先化简，再求值：(x＋)(x－)＋x(x－1)，其中x＝2－2.
20．(本题满分6分)已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2＋β2－αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
21．(本题满分10分)周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
22．(本题满分10分)△ABC的三边a，b，c满足b＝8－c，a2－bc－12a＋52＝0.
(1)若b，c的值是一个一元二次方程的实数解，写出这个一元二次方程．
(2)求出a，b，c的值，并指出△ABC的形状(按边分类).
23．(本题满分10分)商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价5元，日销售量就减少50件．据此规律，请回答：
(1)当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？
(2)在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8 000元？
24．(本题满分10分)设a，b，c为三个不同的实数，使得方程x2＋ax＋1＝0和x2＋bx＋c＝0有一个相同的实数根，并且使方程x2＋x＋a＝0和x2＋cx＋b＝0也有一个相同的实数根，试求a＋b＋c的值．
25．(本题满分10分)(1)【阅读】若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p＝(a＋b＋c)，则这个三角形的面积为S＝.请说明理由．
(2)【应用】如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△ABC面积．
(3)【引申】如图2，在(2)的条件下，AD，BE分别为△ABC的角平分线，它们的交点为I，求I到AB的距离．
26．(本题满分10分)阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB＝__ __，由于PA，PB，PC不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌__ __，这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．
(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2＋FC2.
图1
