期末检测
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共36分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x≥ B．x≥－ C．x＞ D．x≠
2．已知m＝＋1，n＝－1，则m2＋2mn＋n2的值为( B )
A．2 B．12 C．10 D．6
3．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为( )
A．140° B．135°
C．120° D．115°
4．已知a，b是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则a2b＋ab2的值是( )
A．－1 B．－5 C．－6 D．6
5．某校组织学生进行社会主义核心价值观知识竞赛，进入决赛的共有20名学生，他们的决赛成绩如图所示，则这20名学生决赛成绩的众数和中位数分别是( )
A．85分，85分 B．85分，87.5分
C．90分，87.5分 D．90分，90分
6．已知＋＋y＝2 025，则的值为( )
A．2 024 B．2 025
C．2 024 D．2 025
7．某兴趣小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点O如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在∠AOB处，则这块正多边形纸板的边数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
8．用边长相等的黑色正三角形与白色正六边形镶嵌图案，按图①②③所示的规律依次下去，则第n个图案中，所包含的黑色正三角形和白色正六边形的个数总和是( )
…
A．n2＋4n＋2 B．n2＋3n＋3 C．6n＋1 D．4n＋6
9．一个直角三角形的三边分别是6 cm，8 cm，x cm，则x＝( )
A．100 cm B．10 cm
C．10 cm或2 cm D．100 cm或28 cm
10．若4与可以合并，则m的值不可以是( )
A． B． C． D．
11．如图，若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝n·90°，则n为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
12．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，D，E是BC上的两点，且BD＝CE，过D，E作DM，EN分别垂直于AB，AC，垂足为M，N，延长MD，NE交于点F，连接AD，AE.其中：①四边形AMFN是正方形；②△ABE≌△ACD；③当∠DAE＝45°时，CE2＋BD2＝DE2，正确的结论有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第Ⅱ卷(非选择题 共84分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
13．数学兴趣小组对甲、乙两款语音识别系统分别进行了20次准确度测试，并将测试得分(满分10分)进行统计，如图所示，则对语音识别准确度更稳定的系统是__ __(填“甲”或“乙”)款．
14．如图所示，在Rt△ABC中，P为⊙H上一个动点，AC＝BC，CD⊥AB.P的运动轨迹是以CD的中点H为圆心的圆，连接PB，AP.若AC＝4，则AP＋PB的最小值为__ __.
15．计算：(＋4)2 025·(－4)2 026＝__ __．
16．已知a，b满足，a2＋2a－3＝0，b2＋2b－3＝0，且a≠b，则＋＝__ __．
17．如图，两平行线l1和l2的距离是4，点A，B分别在l1和l2上，且l1和AB的夹角∠BAC＝135°，则AB的长为__ __．
18．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．给出下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是__ __．(填序号)
三、解答题(本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
19．(本题满分6分)某居民小区有一块长方形绿地，先进行如下改造：将长方形的长减少米，宽增加米，得到一块正方形绿地，它的面积是原长方形绿地的2倍，求改造后的正方形绿地的边长是多少米？(结果精确到1米)
20．(本题满分6分)某校有一块形状为正方形的绿地，边长为(＋2)米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为(＋1)米，宽为(－1)米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为 8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元？(参考数据：≈1.41)
21．(本题满分10分)已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程(k－1)x2＋3x－2a＝0有实数根，又k为正整数，求代数式的值．
22．(本题满分10分)为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
②书写准确性：
小青：1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
小海：1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
操作规范性和书写准确性的得分统计表：
项目统计量 学生 操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
小青 4 s 1.8 a
小海 4 s b 2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的a＝__ __，比较s和s的大小__ __；
(2)计算表格中b的值；
(3)综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由；
(4)为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？
23．(本题满分10分)某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1 000元，5月份再生纸产量比上月增加m%，5月份每吨再生纸的利润比上月增加0.5m%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
24．(本题满分10分)【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20，3，2，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
(1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接AB，经过计算得到AB长度为__ __，就是最短路程．
【变式探究】
(2)如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为__ _ __．
【拓展应用】
(3)如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm 的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？(杯壁厚度不计)
图1
25．(本题满分10分)在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，且BE＝DF.
(1)如图1，求证： ABCD是菱形；
(2)如图2，连接BD，交AE于点G，交AF于点H，连接EF，FG，若∠CEF＝30°，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中面积是△BEG面积2倍的所有三角形．
26．(本题满分10分)正方形ABCD，AB＝2，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
(2)探究：CE＋CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
变式1 设AE＝x，四边形DEFG的面积为S，直接写出S与x的函数关系式．
变式2 当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
期末检测
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共36分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( A )
A．x≥ B．x≥－ C．x＞ D．x≠
2．已知m＝＋1，n＝－1，则m2＋2mn＋n2的值为( B )
A．2 B．12 C．10 D．6
3．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为( C )
A．140° B．135°
C．120° D．115°
4．已知a，b是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则a2b＋ab2的值是( C )
A．－1 B．－5 C．－6 D．6
5．某校组织学生进行社会主义核心价值观知识竞赛，进入决赛的共有20名学生，他们的决赛成绩如图所示，则这20名学生决赛成绩的众数和中位数分别是( B )
A．85分，85分 B．85分，87.5分
C．90分，87.5分 D．90分，90分
6．已知＋＋y＝2 025，则的值为( B )
A．2 024 B．2 025
C．2 024 D．2 025
7．某兴趣小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点O如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在∠AOB处，则这块正多边形纸板的边数是( A )
A．6 B．7 C．8 D．9
8．用边长相等的黑色正三角形与白色正六边形镶嵌图案，按图①②③所示的规律依次下去，则第n个图案中，所包含的黑色正三角形和白色正六边形的个数总和是( C )
…
A．n2＋4n＋2 B．n2＋3n＋3 C．6n＋1 D．4n＋6
9．一个直角三角形的三边分别是6 cm，8 cm，x cm，则x＝( C )
A．100 cm B．10 cm
C．10 cm或2 cm D．100 cm或28 cm
10．若4与可以合并，则m的值不可以是( D )
A． B． C． D．
11．如图，若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝n·90°，则n为( C )
A．4 B．5 C．6 D．7
12．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，D，E是BC上的两点，且BD＝CE，过D，E作DM，EN分别垂直于AB，AC，垂足为M，N，延长MD，NE交于点F，连接AD，AE.其中：①四边形AMFN是正方形；②△ABE≌△ACD；③当∠DAE＝45°时，CE2＋BD2＝DE2，正确的结论有( D )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
∵DM，EN分别垂直于AB，AC，
垂足为M，N，∴∠AMF＝∠ANF＝90°.又∵∠BAC＝90°，∴四边形AMFN是矩形；∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝45°.∵DM⊥AB，EN⊥AC，∴△BDM和△CEN均为等腰直角三角形，又∵BD＝CE，∴△BDM≌△CEN(AAS)，∴BM＝CN，∴AM＝AN，∴四边形AMFN是正方形，故①正确；
∵BD＝CE，∴BE＝CD.∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠C＝45°，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD(SAS)，故②正确；如图所示，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABE′，则CE＝BE′，∠E′BA＝∠C＝45°.由于△BDM≌△CEN，故点N落在点M处，连接ME′，则D，M，E′共线，当∠DAE＝45°时，∠DAE′＝∠DAM＋∠EAN＝90°－45°＝45°，AE＝AE′，AD＝AD，∴△ADE≌△ADE′(SAS)，∴DE′＝DE.
∵∠E′BA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠DBE′＝90°，
∴BE′2＋BD2＝DE′2，
∴CE2＋BD2＝DE′2，即CE2＋BD2＝DE2，故③正确．
第Ⅱ卷(非选择题 共84分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
13．数学兴趣小组对甲、乙两款语音识别系统分别进行了20次准确度测试，并将测试得分(满分10分)进行统计，如图所示，则对语音识别准确度更稳定的系统是__甲__(填“甲”或“乙”)款．
14．如图所示，在Rt△ABC中，P为⊙H上一个动点，AC＝BC，CD⊥AB.P的运动轨迹是以CD的中点H为圆心的圆，连接PB，AP.若AC＝4，则AP＋PB的最小值为__4__.
15．计算：(＋4)2 025·(－4)2 026＝__4－__．
16．已知a，b满足，a2＋2a－3＝0，b2＋2b－3＝0，且a≠b，则＋＝__－__．
17．如图，两平行线l1和l2的距离是4，点A，B分别在l1和l2上，且l1和AB的夹角∠BAC＝135°，则AB的长为__4__．
过点B作BD⊥l1，垂足为D，
∴∠BDA＝90°.由题意，得BD＝4.∵∠BAC＝135°，∴∠DAB＝180°－∠BAC＝45°，∴∠DBA＝90°－∠DAB＝45°，∴∠DBA＝∠DAB＝45°，
∴AD＝BD＝4，∴AB＝＝＝4.
18．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．给出下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是__②③④__．(填序号)
三、解答题(本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
19．(本题满分6分)某居民小区有一块长方形绿地，先进行如下改造：将长方形的长减少米，宽增加米，得到一块正方形绿地，它的面积是原长方形绿地的2倍，求改造后的正方形绿地的边长是多少米？(结果精确到1米)
设改造后正方形绿地的边长为a米，则改造前长方形绿地的长为(a＋)米，宽为(a－)米．由题意，得
a2＝2(a＋)(a－)，
整理，得a2＝68，
a＝2≈8.
答：改造后正方形绿地的边长大约为8米．
20．(本题满分6分)某校有一块形状为正方形的绿地，边长为(＋2)米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为(＋1)米，宽为(－1)米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为 8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元？(参考数据：≈1.41)
通道的面积为(＋2)2－4(＋1)(－1)＝50＋4＋4－4×(7－1)＝50＋20＋4－4×6＝30＋20≈30＋20×1.41＝58.2(平方米)，
58．2×8＝465.6(元)
答：购买地砖需要花费465.6元．
21．(本题满分10分)已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程(k－1)x2＋3x－2a＝0有实数根，又k为正整数，求代数式的值．
设方程x2＋3x＋a＝0①的两个根为x1，x2，则
由条件知＋＝＝3，
即＝3且a≤，故a＝－1.
则方程(k－1)x2＋3x－2a＝0②为(k－1)x2＋3x＋2＝0.
当k－1＝0即k＝1时，＝0；
当k－1≠0时，Δ＝9－8(k－1)＝17－8k≥0，∴k≤.
又∵k是正整数，且k－1≠0，
∴k＝2，但使无意义．
综上，代数式的值为0.
22．(本题满分10分)为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
②书写准确性：
小青：1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
小海：1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
操作规范性和书写准确性的得分统计表：
项目统计量 学生 操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
小青 4 s 1.8 a
小海 4 s b 2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的a＝__2__，比较s和s的大小__s＞s__；
(2)计算表格中b的值；
(3)综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由；
(4)为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？
(2)小海的平均数b＝＝2；
(3)情况①从操作规范性来分析，小青和小海的平均得分相等，但是小海的方差小于小青的方差，所以小海在物理实验操作中发挥较稳定；或：情况②从书写准确性来分析，小海的平均得分比小青的平均得分高，所以小海在物理实验中书写更准确；或：情况③从两个方面综合分析，小海的操作更稳定，并且书写的准确性更高，所以小海的综合成绩更好．
(4)情况①熟悉实验方案和操作流程．
或：情况②注意仔细观察实验现象和结果．
或：情况③平稳心态，沉稳应对．
备注：第(3)(4)题答案不唯一，言之有理即可，至少列出一条．
23．(本题满分10分)某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1 000元，5月份再生纸产量比上月增加m%，5月份每吨再生纸的利润比上月增加0.5m%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
(1)设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为(2x－100)吨．依题意，得x＋2x－100＝800，解得x＝300，∴2x－100＝2×300－100＝500.
答：4月份再生纸的产量为500吨．
(2)依题意，得1 000(1＋0.5m%)×500(1＋m%)＝660 000，
整理，得m2＋300m－6 400＝0，解得m1＝20，m2＝－320(不合题意，舍去).
答：m的值为20.
(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨．
依题意，得1 200(1＋y)2·a(1＋y)＝(1＋25%)×1 200(1＋y)·a，
∴1 200(1＋y)2＝1 500.
答：6月份每吨再生纸的利润是1 500元．
24．(本题满分10分)【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20，3，2，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
(1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接AB，经过计算得到AB长度为__25__，就是最短路程．
【变式探究】
(2)如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为__17_cm__．
【拓展应用】
(3)如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm 的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？(杯壁厚度不计)
图1
(2)将圆柱体展开，如图1，由题意，得
AC＝＝15(cm)，BC＝8 cm，∠C＝90°，
由勾股定理，得AB＝＝17(cm).
(3)如图2，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′.
图2
由题意，得DE＝BB′＝1 cm，AE＝9－4＝5(cm)，
∴AD＝AE＋DE＝6 cm.
∵底面周长为16 cm，∴B′D＝×16＝8(cm)，
∴AB′＝＝10 cm，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为10 cm.
25．(本题满分10分)在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，且BE＝DF.
(1)如图1，求证： ABCD是菱形；
(2)如图2，连接BD，交AE于点G，交AF于点H，连接EF，FG，若∠CEF＝30°，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中面积是△BEG面积2倍的所有三角形．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△AEB和△AFD中，
∴△AEB≌△AFD(ASA)，∴AB＝AD，
∴ ABCD是菱形；
(2)图中面积是△BEG面积2倍的所有三角形为△ABG，△ADH，△AGH，△DFG.理由如下：
连接AC交BD于O，如图所示，则AC⊥BD.
∵BC＝CD，BE＝DF，∴BE∶BC＝DF∶CD，∴EF∥BD，
∴∠CBD＝∠CEF＝30°，∴∠ABC＝60°.
∵ ABCD是菱形，∴BC＝AC＝AB＝CD，
∴△ABC是等边三角形，∠EBG＝∠FDH，
∴∠BAG＝∠ABG，∴AG＝BG，同理，AH＝DH.
∵AE⊥BC，∴BE＝BC＝AB.
∵ ABCD是菱形，∴BD是∠ABC的平分线，
∴点G到AB与BC边上的高相等，∴S△ABG＝2S△BEG.
在△BEG和△DFH中，
∴△BEG≌△DFH(ASA)，
∴△BEG的面积＝△DFH的面积，BG＝DH，∴AG＝AH.
∵△AEB≌△AFD，
∴S△ABG＝S△ADH，∴S△ADH＝2S△BEG；
∵∠GAH＝∠OAG＋∠OAH＝60°，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH＝AG＝AH＝BG＝DH，OG＝AG＝EG，OA＝OG＝BE，
∴△AGH的面积＝2△BEG的面积，
∴△GHF的面积＝△DFH的面积，
∴△DFG的面积＝2△BEG的面积，
∴图中面积是△BEG面积2倍的三角形为△ABG，△ADH，△AGH，△DFG.
26．(本题满分10分)正方形ABCD，AB＝2，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
(2)探究：CE＋CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
变式1 设AE＝x，四边形DEFG的面积为S，直接写出S与x的函数关系式．
变式2 当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
(1)过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图1所示．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形．
∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN＋∠NEF＝∠MEF＋∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF.
在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，
(2)CE＋CG的值为定值．理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC＋∠CDG＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG.
在△ADE和△CDG中，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，
∴AC＝AE＋CE＝AB＝×2＝4，∴CE＋CG＝4是定值；
变式1 过点E作EM⊥AD，如图2所示，∴∠DAE＝45°.
∵AE＝x，∴AM＝EM＝x，
在Rt△DME中，DM＝AD－AM＝2－x，EM＝x，
根据勾股定理，得DE2＝DM2＋EM2＝(2－x)2＋(x)2＝x2－4x＋8.
∵四边形DEFG为正方形，∴S＝S正方形DEFG＝DE2＝x2－4x＋8；
变式2 ①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，如图2所示，
则∠CDE＝90°－30°＝60°.
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理，得∠EFC＝360°－90°－90°－60°＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示．
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝30°.
综上所述，∠EFC＝120°或30°.
