过关检测（第19章 四边形）
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共36分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1．如图，正六边形的边长为12，AP，BP分别平分∠BAF，∠ABC，则△ABP的周长为( B )
A．24 B．36
C．38 D．40
2．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是( D )
A．AD∥BC B．AC⊥BD
C．AD∥BC，AB＝CD D．OA＝OC，OB＝OD
3．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝24厘米，BC边上的高是10厘米，EF是AD和BC的平行线，图中阴影部分的面积是( C )
A．100平方厘米 B．110平方厘米
C．120平方厘米 D．130平方厘米
4．如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3.
(1)以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D； (2)分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； (3)分别连接DC，BC.
则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是( D )
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
5．四条边都相等，且对角线也相等的四边形是( D )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
6．定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是( C )
7．如图，在正方形网格中，如果把三角形ABC的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点C′，连接BC′，则线段BC′与线段AC的关系是( D )
A．垂直 B．相等
C．平分 D．平分且垂直
如图所示，连接CC′.由图可知，AB＝BC＝CC′＝AC′＝＝，∴四边形ABCC′是菱形，∴线段BC′与线段AC的关系是平分且垂直．
8．如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是线段BD，BC，AC，AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是( B )
A．当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形
B．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB＝CD时，四边形EFGH为菱形
D．当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
∵E，F，G，H是BD，BC，AC，AD的中点，∴EF＝CD，FG＝AB，GH＝CD，HE＝AB，∴EF＝GH，FG＝HE，∴四边形EFGH为平行四边形，故A正确；∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，故C正确；当AC⊥BD时，∠BOC＝90°.∵∠BOC＞∠EHG，∴四边EFGH不可能是矩形，故B错误；当E，F，G，H是相应线段的三等分点时，四边形EFGH是平行四边形．
∵E，F，G，H是相应线段的三等分点，
∴△EHD∽△BAD，△CFG∽△CBA，∴＝，＝，∴EH＝FG.
∵EH∥AB，FG∥AB，∴EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，故D正确．
9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，点D是AB上一动点，作DE∥AC，且DE＝2，连接BE，CD，P，Q分别是BE，DC的中点，连接PQ，则PQ的长为( C )
A．6 B．2
C． D．6.5
∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，∴BC＝＝12.取BD中点F，连接PF，QF，如图所示．
∵P，Q分别是BE，DC的中点，∴PF是△BDE的中位线，FQ是△BCD的中位线，∴PF∥ED，PF＝DE＝1，FQ∥BC，FQ＝BC＝6.
∵DE∥AC，AC⊥BC，∴PF⊥FQ，
∴PQ＝＝＝.
10．如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，B，C，且相互平行，若l1，l2的距离为8，l2，l3的距离为6，则正方形的对角线长为( B )
A．10 B．10
C．14 D．12
如图，
过C作CM⊥l2于点M，过A作AN⊥l2于点N，则∠BMC＝∠ANB＝90°，AN＝8，CM＝6.
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABN＋∠CBM＝∠ABN＋∠BAN＝90°，∴∠BAN＝∠CBM.
在△ABN和△BCM中，∴△ABN≌△BCM(AAS)，∴BN＝CM＝6.∵AB2＝AN2＋BN2，∴AB＝＝10，∴正方形ABCD的对角线BD＝AB＝10.
11．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE是菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA.其中正确的结论有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
①如图，连接CF.
∵∠ACB＝90°，F为AB中点，∴CF＝AB＝AF，
∴点F在AC的垂直平分线上．
∵△ACE是等边三角形，∴AE＝CE，∴点E在AC的垂直平分线上，
∴EF⊥AC，①正确；②∵△ABD是等边三角形，F是AB中点，∴DF⊥AB，∴AD＞DF，∴四边形ADFE不可能是菱形，②不正确；
③∵△ABD是等边三角形，∴AB＝AD＝BD，∠DAB＝60°.∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠DAB＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC.∵AC⊥EF，∠ACB＝90°，∴EF∥BC，∴AD∥EF.∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，∴∠AEC＝∠CAE＝60°，∠AEF＝30°，∴EF＝2AF＝AB，
∴AD＝EF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AG＝AF＝AB＝AD，∴AD＝4AG，③正确；④∵四边形ADFE是平行四边形，∴AE＝DF，AD＝FE.∵AD＝BD，∴BD＝FE.
又∵AF＝FB，∴△DBF≌△EFA(SSS)，④正确．综上所述，正确的结论有3个．
12．如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，EF，GH相交于点O，且OA＝4，EF⊥AB，GH⊥BC，BE＝BH，则四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为( D )
A．4 B．4 C．8 D．16
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD.∵EF⊥AB，GH⊥BC，∴∠AEF＝∠BEF＝90°，∠BHO＝∠CHO＝90°，∴∠B＝∠BEO＝∠BHO＝90°，
∴四边形BEOH是矩形．∵BE＝BH，∴四边形BEOH是正方形．
∵∠BAD＝∠B＝∠BHO＝90°，∴四边形ABHG是矩形，∴AG＝BH.
∵AD∥BC，GH⊥BC，∴GH⊥AD，∴∠DGO＝∠AGO＝90°.∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴∠DFO＝∠CFO＝90°，∴∠DGO＝∠DFO＝∠D＝90°，∴四边形DFOG是矩形．∵∠B＝∠BEO＝∠C＝90°，∴四边形BEFC是矩形，∴CF＝BE，∴AG＝CF.∵AD＝CD，∴DG＝DF，∴四边形DFOG是正方形，∴S正方形BEOH＋S正方形DFOG＝BH2＋OG2＝AG2＋OG2.在Rt△AOG中，由勾股定理，得OA2＝AG2＋OG2＝42＝16，∴四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为16.
第Ⅱ卷(非选择题 共84分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
13．如图，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为__360°__．
14．如图，在 ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，连接BE，DF，则BE，DF之间的数量和位置关系分别是__BE＝DF，BE∥DF__．
15．春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型．如图，这个图案是由正六边形ABCDEF、正方形EDMN及△FEN拼成的(不重叠，无缝隙)，则∠EFN的度数是__15°__．
16．如图，∠EOD＝90°，点A，B分别在OE，OD上，∠EAB与∠ABD的平分线交于点P，PC⊥AB于C，若PC＝2，则OP＝__2__．
过点P作PG⊥OE于G，PH⊥OD于H.
∵∠EOD＝90°，∴四边形GOHP为矩形．
∵AP平分∠EAB，PC⊥AB，PG⊥OE，∴PG＝PC＝2.
同理，可得PH＝PC＝2，∴PG＝PH，
∴矩形GOHP为正方形，∴OH＝PG＝2，
∴OP＝＝2.
17．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(－3，1)，则点B的坐标为__(－2，4)__．
如图所示，过点A，B分别作x轴，y轴的垂线，∠AEO＝∠BFA＝90°，∠AOE＝∠ABF，AB＝AO，∴△AEO≌△AFB(AAS)，∴AF＝AE＝1，AG＝BF＝3，BN＝AG－AF＝3－1＝2，BM＝BF＋AE＝4，故点B坐标为(－2，4).
18．如图，D是△ABC内部一点，AC⊥BD，且AC＝2，BD＝3，依次取AB，BC，CD，AD的中点，并顺次连接得到四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积是____.
如图，延长BD交PQ于点E，交AC于点F.
∵AC⊥BD，∴BF⊥AC，∴∠CFD＝90°.
∵P，Q分别是CD，AD的中点，
∴PQ是△ADC的中位线，
∴PQ∥AC，PQ＝AC＝×2＝，
∴∠BEP＝∠CFD＝90°.
∵N，P分别是BC，CD的中点，∴PN是△BCD的中位线，
∴PN∥BD，PN＝BD＝×3＝.
∵M，Q分别是AB，AD的中点，∴MQ是△ABD的中位线，
∴MQ∥BD，MQ＝BD，∴MQ∥PN，MQ＝PN，∴四边形MNPQ是平行四边形．
∵PN∥BD，∠BEP＝90°，∴∠NPE＝90°，∴平行四边形MNPQ是矩形，∴矩形MNPQ的面积是PN·PQ＝×＝.
三、解答题(本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
19．(本题满分6分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P，求证：四边形BPCO是矩形．
∵BP∥AC，CP∥BD，∴BP∥OC，CP∥OB，
∴四边形BPCO是平行四边形．
∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴∠BOC＝90°，∴平行四边形BPCO是矩形．
20．(本题满分6分)如图是以正八边形为“基本图形”构成的一种密铺图案，图中间的四边形是什么四边形，请说说你的理由．
因为正方形的每个内角为90°，正八边形每个内角为135°.由题图，可得在每个顶点处有两个正八边形的内角和一个正方形的内角，2×135°＋90°＝360°，即能够密铺，所以中间的四边形为正方形．因为只有是正方形时，进行密铺，才能彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片．
21．(本题满分10分)如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF.
(1)求证：四边形EBFD是菱形；
(2)若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积．
(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO.
∵AE＝CF，∴AO＋AE＝CO＋CF，即EO＝FO.
∵BO＝DO，EO＝FO，∴四边形EBFD是菱形；
(2)∵四边形EBFD是菱形，BD＝10，EF＝24，
∴菱形EBFD的面积＝BD·EF＝×10×24＝120.
22．(本题满分10分)如图，以边长为2的正方形CDEF的对角线交点O为端点引两条互相垂直的射线，分别与正方形CDEF的边交于A，B两点，求线段AB的最小值．
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD.
∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°，
∴∠COA＋∠AOD＝90°，∠AOD＋∠DOB＝90°，∴∠COA＝∠DOB.
在△COA和△DOB中，
∴△COA≌△DOB(ASA)，∴OA＝OB.
∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形．
由勾股定理，得AB＝＝OA，要使AB最小，只要OA取最小值即可，根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小．
∵正方形CDEF，∴OC＝OD，OC⊥OD，
∴OA＝CA＝DA＝CD＝1，∴AB＝OA＝.
23．(本题满分10分)AD是△ABC的角平分线，M是BC的中点，FM∥AD交AB的延长线于F，交AC于E.
(1)求证：CE＝BF；
(2)探索线段CE与AB＋AC之间的数量关系，并证明．
(1)延长CA交FM的平行线BG于G点，
由题易得∠G＝∠CAD，∠GBA＝∠BAD.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠GBA＝∠G，∴AG＝AB.
∵FM∥AD，∴∠F＝∠BAD，∠FEA＝∠DAC.
∵∠BAD＝∠DAC，∴∠F＝∠FEA，∴EA＝FA，
∴GE＝BF，∴M为BC边的中点，∴BM＝CM.
∵EM∥GB，∴CE＝GE，∴CE＝BF；
(2)AB＋AC＝2EC.证明：∵EA＝FA，CE＝BF，
∴AB＋AC＝AB＋AE＋EC＝AB＋AF＋EC＝BF＋EC＝2EC.
24．(本题满分10分)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，OG⊥AD于点G，点F在AD上，且EF∥OG，连接OE.
(1)求证：四边形EFGO是矩形；
(2)若AB＝6，AG＝OG＝2，求BC的长．
(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC.
∵E为CD的中点，∴OE为△ACD的中位线，
∴OE∥FG.
∵EF∥OG，∴四边形EFGO为平行四边形．
∵OG⊥AD，∴∠OGF＝90°，
∴平行四边形EFGO为矩形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD.
∵E为CD的中点，∴DE＝CD＝×6＝3，
由(1)，得四边形EFGO为矩形，OE为△ACD的中位线，
∴∠EFD＝90°，OG＝EF＝2，OE＝GF，OE＝AD，
∴AD＝2OE＝2GF.
在Rt△EFD中，由勾股定理，得FD＝＝＝.
∵AD＝AG＋GF＋FD＝2＋GF＋，
∴2GF＝2＋GF＋，∴GF＝2＋，
∴AD＝2＋GF＋＝2＋2＋＋＝4＋2，
∴BC＝4＋2.
25．(本题满分10分)如图，将菱形ABCD的边AD和CD分别延长至点E和点F，且使DE＝AD，DF＝CD，连接AF，FE，EC，CA，BE.
(1)求证：四边形ACEF是矩形；
(2)若AD＝2，∠ADC＝60°，求BE的长．
(1)∵DE＝AD，DF＝CD，∴四边形ACEF是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，
∴AD＋DE＝CD＋DF，即AE＝CF，
∴平行四边形ACEF是矩形；
(2)如图，过B作BG⊥EC交EC的延长线于点G，
则∠BGC＝90°.
由(1)，可知AE＝2AD＝4，四边形ACEF是矩形，
∴∠ACE＝90°，∴∠ACG＝90°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ADC和△ABC是等边三角形，∴AC＝AD＝2，∠ACB＝60°，
∴CE＝＝＝2.
∵∠BCG＝∠ACG－∠ACB＝90°－60°＝30°，
∴BG＝BC＝1，∴CG＝＝＝，
∴EG＝CE＋CG＝2＋＝3，
∴BE＝＝＝2，即BE的长为2.
26．(本题满分10分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.
(1)求证：四边形EDFG是正方形；
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．
(1)连接CD，如图1所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.
在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.
∵∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．
∵O为EF的中点，GO＝OD，
∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，
∴四边形EDFG是正方形；
(2)过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴DE′＝BC＝2，AB＝4，E′为AC的中点，
∴2≤DE＜2(点E与点E′重合时取等号)，
∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8，
∴当E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.
过关检测（第19章 四边形）
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共36分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1．如图，正六边形的边长为12，AP，BP分别平分∠BAF，∠ABC，则△ABP的周长为( )
A．24 B．36
C．38 D．40
2．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AD∥BC B．AC⊥BD
C．AD∥BC，AB＝CD D．OA＝OC，OB＝OD
3．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝24厘米，BC边上的高是10厘米，EF是AD和BC的平行线，图中阴影部分的面积是( )
A．100平方厘米 B．110平方厘米
C．120平方厘米 D．130平方厘米
4．如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3.
(1)以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D； (2)分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； (3)分别连接DC，BC.
则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是( )
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
5．四条边都相等，且对角线也相等的四边形是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
6．定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是( )
7．如图，在正方形网格中，如果把三角形ABC的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点C′，连接BC′，则线段BC′与线段AC的关系是( )
A．垂直 B．相等
C．平分 D．平分且垂直
8．如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是线段BD，BC，AC，AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是( )
A．当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形
B．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB＝CD时，四边形EFGH为菱形
D．当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，点D是AB上一动点，作DE∥AC，且DE＝2，连接BE，CD，P，Q分别是BE，DC的中点，连接PQ，则PQ的长为( )
A．6 B．2
C． D．6.5
10．如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，B，C，且相互平行，若l1，l2的距离为8，l2，l3的距离为6，则正方形的对角线长为( )
A．10 B．10
C．14 D．12
11．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE是菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA.其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，EF，GH相交于点O，且OA＝4，EF⊥AB，GH⊥BC，BE＝BH，则四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为( D )
A．4 B．4 C．8 D．16
第Ⅱ卷(非选择题 共84分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
13．如图，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为__ __．
14．如图，在 ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，连接BE，DF，则BE，DF之间的数量和位置关系分别是__ __．
15．春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型．如图，这个图案是由正六边形ABCDEF、正方形EDMN及△FEN拼成的(不重叠，无缝隙)，则∠EFN的度数是__ __．
16．如图，∠EOD＝90°，点A，B分别在OE，OD上，∠EAB与∠ABD的平分线交于点P，PC⊥AB于C，若PC＝2，则OP＝__ __．
17．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(－3，1)，则点B的坐标为__ __．
18．如图，D是△ABC内部一点，AC⊥BD，且AC＝2，BD＝3，依次取AB，BC，CD，AD的中点，并顺次连接得到四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积是__ __.
三、解答题(本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
19．(本题满分6分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P，求证：四边形BPCO是矩形．
20．(本题满分6分)如图是以正八边形为“基本图形”构成的一种密铺图案，图中间的四边形是什么四边形，请说说你的理由．
21．(本题满分10分)如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF.
(1)求证：四边形EBFD是菱形；
(2)若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积．
22．(本题满分10分)如图，以边长为2的正方形CDEF的对角线交点O为端点引两条互相垂直的射线，分别与正方形CDEF的边交于A，B两点，求线段AB的最小值．
23．(本题满分10分)AD是△ABC的角平分线，M是BC的中点，FM∥AD交AB的延长线于F，交AC于E.
(1)求证：CE＝BF；
(2)探索线段CE与AB＋AC之间的数量关系，并证明．
24．(本题满分10分)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，OG⊥AD于点G，点F在AD上，且EF∥OG，连接OE.
(1)求证：四边形EFGO是矩形；
(2)若AB＝6，AG＝OG＝2，求BC的长．
25．(本题满分10分)如图，将菱形ABCD的边AD和CD分别延长至点E和点F，且使DE＝AD，DF＝CD，连接AF，FE，EC，CA，BE.
(1)求证：四边形ACEF是矩形；
(2)若AD＝2，∠ADC＝60°，求BE的长．
26．(本题满分10分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.
(1)求证：四边形EDFG是正方形；
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．
