过关检测（第18章 勾股定理）
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共36分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1．下列四组数中是勾股数的是( )
A．5，12，13
B．0.3，0.4，0.5
C．32，42，53
D．6，7，8
2．下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是( )
3．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为3，5，4，则正方形D的面积为( )
A．15 B．12
C．27 D．45
4．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度与这根芦苇的长度分别是( )
A．12，13 B．13，12
C．25，24 D．以上答案都不对
5．在数学实践活动中，伍伍利用四个全等的直角三角形纸片拼成了一个“伍伍弦图”．如图，连接小正方形的一条对角线，并把部分区域涂上颜色，大直角三角形的两条直角边的长分别是6和8，则图中阴影部分的面积是( )
A．36 B．64 C．100 D．50
6．如图，一圆柱体的底面圆周长为20 cm，高AB为6 cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是( )
A．2 cm B．2 cm
C．2 cm D．2 cm
7．下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是( )
A．1，1， B．3，4，5 C．5，12，13 D．，，
8．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2.若AC＝6，BC＝8，则阴影部分面积S1＋S2是( )
A．9π B．12.5π
C．14 D．24
9．如图，有两棵树AB和CD(都与水平地面AC垂直)，树AB高8米，树梢D到树AB的水平距离DE(DE⊥AB)的长度为8米，AE＝CD＝2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为( )
A．10米 B．9米
C．8米 D．7米
10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形(如图2).设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则图2中EF的长为( )
A．3 B．4
C．2 D．3
11．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )
A．5 B．5
C．10＋5 D．25
12．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝18，点E，F分别在AD，BC上，沿EF将此长方形折叠，使点B与点D重合，下列结论中正确的有( )
①ED2＝AB2＋AE2；②△BEF的面积为30；③△ABE的面积为18.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第Ⅱ卷(非选择题 共84分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
13．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＋S2－S1＝18，则图中阴影部分的面积为__ __.
14．云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的，如图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为 m，其边缘AB＝CD＝24 m，点E在CD上，CE＝4 m，一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为__ __m.
15．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，则小巷的宽为__ __米．
16．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ(θ＝30°).要在楼梯上铺一条地毯，已知BC＝2 m，楼梯宽1 m，则地毯的面积至少需要__ __m2.
17．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ cm，AB＝ cm，则△ABC的面积为__ _ __.
18．如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，则第2 025个正方形的边长为__ _ __.
三、解答题(本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
19．(本题满分6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BC＝6，AB＝10，求AC和CD的长．
20．(本题满分6分)荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5 m，将它往前推送1.8 m(水平距离BC＝1.8 m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝1.1 m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
21．(本题满分10分)如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1＝S2＋S3.
(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系？(不必证明)
(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；
(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请你猜想S1，S2，S3之间的关系？
22．(本题满分10分)【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3，4，5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
当勾为3时，股4＝(9－1)，弦5＝(9＋1)；
当勾为5时，股12＝(25－1)，弦13＝(25＋1)；
当勾为7时，股24＝(49－1)，弦25＝(49＋1).
请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：
(1)如果勾用n(n≥3，且n为奇数)表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝__ __，弦＝__ __．
【问题解决】
(2)古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1(m为大于1的整数)，则a，b，c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；
(3)毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2＋2a＋1(a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？
23．(本题满分10分)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF.若AB＝4，BC＝8，求D′F的长．
24．(本题满分10分)如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4.
(1)∠ADC是直角吗？请说明理由．
(2)求DF的长．
25．(本题满分10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M.
(1)求证：CM＝CD；
(2)若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
26．(本题满分10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E，F.
(1)如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；
(2)如图2，若AF＝BC，求证：BF2＋EF2＝AE2.
图1过关检测（第18章 勾股定理）
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共36分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1．下列四组数中是勾股数的是( A )
A．5，12，13
B．0.3，0.4，0.5
C．32，42，53
D．6，7，8
2．下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是( B )
3．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为3，5，4，则正方形D的面积为( B )
A．15 B．12
C．27 D．45
4．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度与这根芦苇的长度分别是( A )
A．12，13 B．13，12
C．25，24 D．以上答案都不对
5．在数学实践活动中，伍伍利用四个全等的直角三角形纸片拼成了一个“伍伍弦图”．如图，连接小正方形的一条对角线，并把部分区域涂上颜色，大直角三角形的两条直角边的长分别是6和8，则图中阴影部分的面积是( D )
A．36 B．64 C．100 D．50
6．如图，一圆柱体的底面圆周长为20 cm，高AB为6 cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是( D )
A．2 cm B．2 cm
C．2 cm D．2 cm
底面周长为20 cm，半圆弧长为10 cm，画展开图形如右图，
由题意，得BC＝10 cm，AB＝6 cm，
根据勾股定理，得AC＝＝＝2(cm).
7．下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是( D )
A．1，1， B．3，4，5 C．5，12，13 D．，，
8．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2.若AC＝6，BC＝8，则阴影部分面积S1＋S2是( D )
A．9π B．12.5π
C．14 D．24
9．如图，有两棵树AB和CD(都与水平地面AC垂直)，树AB高8米，树梢D到树AB的水平距离DE(DE⊥AB)的长度为8米，AE＝CD＝2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为( A )
A．10米 B．9米
C．8米 D．7米
10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形(如图2).设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则图2中EF的长为( D )
A．3 B．4
C．2 D．3
11．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( D )
A．5 B．5
C．10＋5 D．25
把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1.∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD＋BC＝10＋5＝15，AD＝20.在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得AB＝＝＝25；把长方体的右侧表面剪开与上面这个表面所在的平面形成一个长方形，如图2.∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD＋BC＝20＋5＝25，在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得AB＝＝＝5；把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3.
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC＝CD＋AD＝10＋20＝30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得AB＝＝＝5.∵25＜5＜5，∴蚂蚁爬行的最短距离是25.
12．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝18，点E，F分别在AD，BC上，沿EF将此长方形折叠，使点B与点D重合，下列结论中正确的有( C )
①ED2＝AB2＋AE2；②△BEF的面积为30；③△ABE的面积为18.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
由折叠性质，可知BE＝DE.在长方形ABCD中，∠A＝90°，则在Rt△ABE中，由勾股定理，可得BE2＝AB2＋AE2，即ED2＝AB2＋AE2，故①正确；在Rt△ABE中，AB＝6，设AE＝x，则BE＝DE＝AD－AE＝18－x，由BE2＝AB2＋AE2得62＋x2＝(18－x)2，解得x＝8，∴△ABE的面积为AB·AE＝×6×8＝24≠18，故③错误；
如图所示，由折叠性质可知∠DEF＝∠BEF，在长方形ABCD中，AD∥BC，则∠DEF＝∠EFB，∴∠EFB＝∠BEF，即BF＝BE＝DE＝18－8＝10，∴△BEF的面积为BF·AB＝×10×6＝30，故②正确；综上所述．正确的结论是有2个．
第Ⅱ卷(非选择题 共84分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
13．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＋S2－S1＝18，则图中阴影部分的面积为__4.5__.
14．云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的，如图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为 m，其边缘AB＝CD＝24 m，点E在CD上，CE＝4 m，一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为__4__m.
如图，线段AE即为滑行的最短路线长．
∵横截面图中半圆的半径为 m，
∴AD＝2π××＝12(m).
∵CD＝24 m，点E在CD上，CE＝4 m，
∴DE＝CD－CE＝24－4＝20(m).
在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE＝＝＝4(m)，即他滑行的最短路线长为4 m．
15．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，则小巷的宽为__2.7__米．
16．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ(θ＝30°).要在楼梯上铺一条地毯，已知BC＝2 m，楼梯宽1 m，则地毯的面积至少需要__(2＋2)__m2.
17．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ cm，AB＝ cm，则△ABC的面积为__4_cm2__.
18．如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，则第2 025个正方形的边长为__()2_024__.
∵第1个正方形的边长AB＝1，∴根据勾股定理，得第2个正方形的边长AC＝，根据勾股定理，得第3个正方形的边长CF＝()2，根据勾股定理，得第4个正方形的边长GF＝()3，根据勾股定理，得第5个正方形的边长GN＝()4，…，根据勾股定理得，第n个正方形的边长＝()n-1，∴第2 025个正方形的边长为()2 025-1＝()2 024.
三、解答题(本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
19．(本题满分6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BC＝6，AB＝10，求AC和CD的长．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，
∴AC＝＝＝8.
∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，即8×6＝10CD，
∴CD＝4.8.
20．(本题满分6分)荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5 m，将它往前推送1.8 m(水平距离BC＝1.8 m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝1.1 m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
由题意，得∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2.设绳索AD的长度为x m，则AC＝(x－1.1＋0.5)m，
∴x2＝1.82＋(x－0.6)2，解得x＝3，
答：绳索AD的长度是3 m．
21．(本题满分10分)如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1＝S2＋S3.
(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系？(不必证明)
(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；
(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请你猜想S1，S2，S3之间的关系？
(1)S2＋S3＝S1.理由如下：设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
∵S3＝AC2，S2＝BC2，S1＝AB2，∴AC2＋BC2＝AB2，
即b2＋a2＝c2.在Rt△ABC中，∵b2＋a2＝c2，∴S2＋S3＝S1.
(2)S1＝S2＋S3.
证明：由题意，可得出S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，
∴S1＝c2，S2＝a2，S3＝b2，
∴S2＋S3＝(a2＋b2)＝c2＝S1，即S1＝S2＋S3.
(3)由(1)(2)，可得出S1＝S2＋S3.
22．(本题满分10分)【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3，4，5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
当勾为3时，股4＝(9－1)，弦5＝(9＋1)；
当勾为5时，股12＝(25－1)，弦13＝(25＋1)；
当勾为7时，股24＝(49－1)，弦25＝(49＋1).
请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：
(1)如果勾用n(n≥3，且n为奇数)表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝__(n2－1)__，弦＝__(n2＋1)__．
【问题解决】
(2)古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1(m为大于1的整数)，则a，b，c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；
(3)毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2＋2a＋1(a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？
(2)∵a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1(m表示大于1的整数)，
∴a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2＝c2，∴a2＋b2＝c2
∴a，b，c为勾股数，故柏拉图公式正确；
(3)∵弦与股的差为1，2a2＋2a＋1(a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，∴另外两个数的表达式分别是2a2＋2a，2a＋1.
23．(本题满分10分)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF.若AB＝4，BC＝8，求D′F的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝4，AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF.
由折叠的性质，得∠AEF＝∠CEF，AE＝CE，∠D′＝∠D＝90°，AD′＝CD＝4，D′F＝DF，
∴∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE＝CE.
设AF＝AE＝CE＝x，则BE＝8－x.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2，
即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，
∴AF＝5，
∴D′F＝DF＝AD－AF＝8－5＝3.
24．(本题满分10分)如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4.
(1)∠ADC是直角吗？请说明理由．
(2)求DF的长．
(1)∠ADC是直角．理由如下：
∵DE是△ADC的高，∴∠AED＝∠CED＝90°.
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴AD2＝AE2＋DE2＝42＋22＝20.
同理，CD2＝5，∴AD2＋CD2＝25.
∵AC＝AE＋CE＝4＋1＝5，∴AC2＝25，
∴AD2＋CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC是直角；
(2)∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC＝5.
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°.
∵F是边AB的中点，∴DF＝AB＝.
25．(本题满分10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M.
(1)求证：CM＝CD；
(2)若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.
∵∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，
∴∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠ABD＋∠BME＝∠CBD＋∠CDM＝90°，
∴∠BME＝∠CDM.
∵∠BME＝∠CMD，∴∠CDM＝∠CMD，∴CD＝CM；
(2)在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6.
如图，过点D作DF⊥AB于点F.
∵BD平分∠ABC，∠ACB＝90°，∴CD＝FD.
在Rt△BCD和Rt△BFD中，
∵BD＝BD，CD＝FD，∴Rt△BCD≌Rt△BFD(HL)，
∴BF＝BC＝6，∴AF＝4.
在Rt△ADF中，AD2＝DF2＋AF2，∴(8－CD)2＝CD2＋42，解得CD＝3.
∵CD＝CM，∴CM＝3.
26．(本题满分10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E，F.
(1)如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；
(2)如图2，若AF＝BC，求证：BF2＋EF2＝AE2.
图1
(1)如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD.
∵BC＝10，
∴BD＝5.
在Rt△ABD中，∵AB＝13，
∴AD＝＝＝12.
在Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BD＝5，
∴AF＝AD－DF＝12－5＝7；
图2
(2)如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF，CH.
在△CHB和△AEF中，
∴△CHB≌△AEF(SAS)，∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH.
∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH.
在Rt△CFH中，由勾股定理，得CF2＋FH2＝CH2，
∴BF2＋EF2＝AE2.
