人教版八年级数学下册18.2.1 矩形 练习题(含详解)

18.2.1 矩形练习题
一、单选题
1．四边形的两条对角线（ ）时，连接四条边的中点，得到的新四边形是矩形．
A．垂直 B．相等 C．垂直平分 D．相等平分
2．如图，点E、F分别为矩形边、上的两点，连接、相交于点G，且，连接，则下列结论一定正确的是（ ）

A． B． C． D．平分
3．如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（　　）
A．四边形的面积是定值 B．的值不变
C．的值不变 D．
4．已知大小一样的矩形和矩形如图1摆放，，现在把矩形绕点A旋转，如图2，交于点M，交于点N，若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，矩形ABCD中，点E为AB上一个动点，沿DE折叠 ADE得到，点A的对应点为点F，连接CF，过点F作交BC于点G，若，，当为等腰直角三角形时，AE的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点为平面直角坐标系第一象限内一点，轴于点，轴于点，平分，于点，则的值是（ ）

A．1 B．2 C． D．
7．如图，矩形纸片，，点P是边上一点，，矩形纸片沿折叠，点A落在G处，的延长线交于点H，则的长为（ ）
A．8 B． C．10 D．
8．如图，在中，，，D为边上一动点，连接．以为底边，在的左侧作等腰直角三角形 ADE，点F是边上的定点，连接，当取最小值时，若，则为（ ）（用含的式子表示）
A． B． C． D．
9．如图．每个小正方形的边长为1，格点线段与交于点，与交于点，连接．有下列结论①；②；③；④；⑤；⑥的面积为0.75．其中正确的结论有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．如图有两张等宽的矩形纸片，矩形不动，将矩形按如下方式缠绕：如图所示，先将点与点重合，再先后沿、对折，点、点所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后点刚好与点重合，则图中两张纸片的长度之比（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，，作点关于直线的对称点，如果也等于直角，直线必然经过一个定点，这个定点应该是 .

12．如图，A点坐标为，为轴负半轴上一个动点，以为直角顶点，为腰作等腰按逆时针排列，若点在第四象限，过作轴于点，则的值为 ．

13．已知：如图，点E在矩形的边的垂直平分线上，连接、，若，，，则 ．

14．如图，点在的左侧运动，且，∠D=90 ，，，点在上，且，点在上运动，当动到的中点时，则最小值为 ．
15．如图，将一副三角板放置在盒子中，已知的斜边恰好与盒子的长度相等，可以左右移动，，则线段的长度的取值范围是 ．

16．如图，在中，是中线，作点关于对称的点，连接、、，若，，则点到的距离 ．

17．如图，点D为的边上一点（），点D关于的对称点分别为点E、F，连接，点A经过，连接，连接，延长到G，使，连接交于点M，连接，当ME⊥FG，时，则AD长 ．

18．如图，矩形的边长为4，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ．
三、解答题
19．如图：直线，的顶点E、H分别在直线、上，交于F点，，为的角平分线．
（1）用尺规作图：作的角平分线（不写过程，需保留作图痕迹）；
（2）的角平分线交直线于M，连接，求证：四边形为矩形．
20．如图，矩形中，，，点E、点F分别是对角线上的点，且，过点E作，交于点G，平移，使B、F的对应点分别是G、H，连接．
（1）当 ADE是以为腰长的等腰三角形时，求的长；
（2）连接．判断四边形的形状，并说明理由；
21．如图，在矩形中，，，对角线，交于点，点，分别是，延长线上的点，且，，连接，点为的中点．连接，交于点，连接．
（1）猜想：是的中点吗？并加以证明；
（2）求的长．
22．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点经过最低点，最终荡到最高点处，若，点A与点的高度差米，水平距离米，求点与点的高度差的长．
23．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：．
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型．
（1）请在上图2中选择其中一个模型进行证明．
【模型应用】
（2）如图3，正方形中，，，求的面积．
（3）如图4，四边形中，，，，，，求 ADE的面积．
24．如图1，已知四边形是矩形，点E是上一点，连接交于点G，延长交延长线于点F．
（1）若，，求证：；
（2）如图2．在（1）的条件下，连接，求证：；
（3）如图3，四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交于P，若，，四边形的面积为 　　．（直接写出答案，无需证明）
答案：
一、单选题
1．A
【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，由为三角形的中位线，根据中位线定理得到与平行，根据两直线平行，同位角相等得到，同理根据三角形中位线定理得到与平行，再根据两直线平行，同位角相等及等量代换得到，得到四边形是矩形．
解：如图，

，设相交于点O，
，
又点、分别是、边的中点，
是三角形的中位线，
，
，
又点、分别是、各边的中点，
是三角形的中位线，
，
，
∴
即四边形是矩形．
故选：A．
2．D
【分析】根据全等三角形的判定和性质分析推理A，B，C，根据面积法和角平分线的判定分析推理D．
解：在矩形中，，但，
∴即便也无法证明Rt与Rt全等，
∴无法证明，故选项A不符合题意；
无法证明，
∴无法证明，故选项B不符合题意；
连接，

仅有，，无法证明与全等，
∴无法证明，故选项C不符合题意；
过点D作，，连接，

在矩形中，，
∴，
又∵，
∴，即平分，故选项D符合题意，
故选：D．
3．C
【分析】过点C作，交的延长线于点G，可得四边形是平行四边形，，推出，即可判断结论A；由，可判断结论B；利用勾股定理即可判断结论D；根据选择题有唯一选项即可得出答案．
解：过点C作，交的延长线于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形的面积是定值，故A正确；
∵，
∴的值不变，故B正确；
∵，
∴，故D正确；
∴的值不变不成立，
故选：C．
4．D
【分析】设与交于点H，由已知可得、都是等腰直角三角形，由勾股定理可得、的长，从而可求得的长．
解：设与交于点H，如图，
∵四边形、四边形都是矩形，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
同理，是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理可得，
∴，
由勾股定理得：，
∴．
故选：D．
5．D
【分析】作，由为等腰直角三角形，设，则，由此可得，所以E、F、C三点共线，再由即可求解；
解：如图，作，
∵为等腰直角三角形，
∴，
设，
，即，
解得：，
∴，
∴，
∴E、F、C三点共线，
∵，
∴
∴，
∴；
故选：D．
6．D
【分析】延长交轴于点，证四边形是矩形，得，再证，，，从而代入即可得解．
解：延长交轴于点，如图，

∵轴，轴，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵平分，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵轴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．D
【分析】如图，连接，过作于，则四边形为矩形，由折叠的性质可知， ，设，，则，，在中，由勾股定理得，即，则①，在，中，根据勾股定理可得，即，整理得②，①②得，，则，，求的值，进而可得的值．
解：如图，连接，过作于，则四边形为矩形，
由折叠的性质可知， ，
设，，则，，
在中，由勾股定理得，即，
∴①，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，整理得②，
①②得，，整理得，
∴，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
8．D
【分析】如图，取的中点H，连接，交于，作直线，交于，设，取的中点，连接，，证明，则在直线上运动，且，当，，三点共线时，，此时最短，从而可得结论．
解：如图，取的中点H，连接，交于，作直线，交于，
∵，，
∴，，，
∵等腰直角三角形，，
∴，
设，
取的中点，连接，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在直线上运动，且，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，，
当，，三点共线时，
，此时最短，
∵，
∴，
∴，
故选D．
9．B
【分析】先证明，再逐个选项推理即可．
解：如图，
由图可得，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵中，
∴，
∴，故③错误；
∵，，
∴，故④错误；
连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，故⑤正确；
∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为0.75，故⑥正确；
综上所述，正确的有①②⑤⑥；
故选：B．
10．D
【分析】通过证明，结合折叠的性质，确定是等边三角形，然后再证明，得到，在中，因为，根据角所对的直角边等于斜边的一半，可得，设，则，则，再求即可．
解：如图，
由题意可知，，
，
，
，
，
，，
由折叠过程可知，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
设，
则，
，
，
故选：D．
二、填空题
11．中点
【分析】此题考查了对称，连接和，利用，，则利用三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
解：如图，连接和，

根据对称性可知，，
∵，，
∴当点为的中点时，，
故答案为：中点．
12．
【分析】如图：作于，先证可得，再说明，然后证明四边形是矩形得到，最后根据即可解答．
解：如图：作于，

是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
的坐标是，
，
，
，
四边形是矩形，
，
．
故答案为：．
13．4
解：根据题意，先作出辅助线，然后根据勾股定理可以求得和的长，然后即可得到的长．
【解答】解：作于点F，作，

∵点E在矩形的边的垂直平分线上，，，，
∴，，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：4．
14．5
【分析】过点E作于点G，连接，，根据题意得到，得到当点A，F，G三点共线时，的值最小，即的长度，然后证明出四边形是矩形，然后利用勾股定理求解即可．
解：如图所示，过点E作于点G，连接，，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
∴当点A，F，G三点共线时，的值最小，即的长度
∵，∠D=90°，
∴
又∵
∴四边形是矩形
∴，
∴
∵，
∴
∴在中，
∴最小值为5．
故答案为：5．
15．
【分析】依题意可知，当点B与点E重合时，线段的长度最小；当点A与点F重合时，线段的长度最大，分别求出两个最值即可得解．
解：将矩形盒子作如下标记∶

∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，，
在中，，，，
设，则，
∵，即
解得：
∴，
∴
依题意得：当点B与点E重合时，的长度最小，作图如下：

∵，，
∴
∴，
∴
即
当点A与点F重合时，线段的长度最大，作图如下：

同理可得：
∴
即
综上所示：线段的长度的取值范围是：
16．
【分析】连接，交于点，过点作于点，根据轴对称的性质可得垂直平分，以此可得，进而得到为的中位线，则，根据直角三角形斜边上的中线性质得，根据勾股定理先求出，再求出、，进而得到的长，再根据等面积法得，最后代入计算即可求解．
解：连接，交于点，过点作于点，如图，

点关于对称的为点，
，，
，
为的中线，
，
为的中位线，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得，
，
在中， ，
在中， ，
，
，
，
即点到的距离为．
故答案为：．
17．
【分析】如图所示，连接，先根据对称性得到，进而证明，则，同理得到，进而证明，则，证明得到，则由直角三角形斜边上的中线的性质得到，再证明，进而推出，由此可得．
解：如图所示，连接，

∵点D关于的对称点分别为点E、F，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
同理可得，
∴，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由对称性可知，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，即，
∴，
∴，
故答案为：．
18．或
解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵沿对角线翻折得到，
∴，，
∵以为折痕，将进行翻折，得到，
∴，，
①当点恰好落在上时，如图，
在和中，
∴
∴，即为等腰三角形，
∵
∴点为中点，
∴，
在中，有，
即，解得
②当点恰好落在上时，如图，
∵
∴四边形为矩形，
∴，
∵沿进行翻折，得到，
∴
在中，
，
在和中，
∴≌（）
∴
∴．
故答案为：或．
三、解答题
19．
（1）解：射线即为所求，
（2）为的平分线，
，
为的平分线，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
四边形为矩形．
20．
（1）解：矩形中，，，
∴，
①当时，；
②当时，，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
综上所述，CE的长为2或5；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在 ADE和 CBF中，
∴；
∴，，
∴，即，
∴，
∵平移得，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
21．
（1）解：是的中点，
证明：如图，取中点，连接，
四边形是矩形，对角线，相交于点，
是中点，，，
是中点，
是的中位线，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中点．
（2）解：如图，连接，
四边形是矩形，
．
，
，
，是中点，
，
，
，
在中，，，，
是中点，是中点，
是的中位线，
．
22．
解：过点A作于F，过点C作于G，
∵，，，
∴，，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴AF=BD=4，，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
即，
解得．
则．
故点与点的高度差的长为4.5米．
23．
解：证：（1）例如选第一个图形可证（同理可证第二个）

∵，
∴
又∵，，
∴
（2）过C作延长线的垂线，垂足为F，

则由（1）易得
，
∴，
即边上的高为4，
∴．
（3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为为G、H，

则由（1）易得，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，即边上的高为1，
∴．
24．
解：（1）证明：∵四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：过点作交于，如图2所示：
则，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：∵四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
∵四边形与四边形关于直线对称，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
∴梯形的面积为： ，
故答案为：．