人教版八年级数学下册18.2.2 菱形 复习题(含详解)

18.2.2 菱形复习题
一、单选题
1．我们知道，菱形的性质：“菱形的对角线互相垂直”是真命题，但它的逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题，下列图形可作为判断该逆命题是假命题的反例（ ）
A． B． C． D．
2．菱形和矩形都是特殊的平行四边形，那么下列是菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A．各角都相等 B．各边都相等
C．有两条对称轴 D．对角线相等
3．如图，菱形的边长为2，边在轴上，，对角线、相交于点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若，，则（ ）

A． B． C． D．
5．矩形ABCD中，AD=3，AB=9，点E、F同时分别从点A、C出发沿AB、CD方向以每秒1个单位的速度运动，当四边形EBFD为菱形时，两点运动的时间为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
6．如图，是的角平分线，垂直平分，且交于点D，判断以下结论错误的是（ ）
A． B．
C．是的平分线 D．四边形是矩形
7．小雨在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图1所示）．若的长度为，则菱形的面积为（ ）

A． B． C． D．
8．在菱形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E为AB边上一动点（点E不与点A，B重合），连接EO并延长交CD于点F，连接AF，CE，若四边形AECF一定不是矩形，则∠BAD应满足的条件是（　　）
A．0°＜∠BAD≤90° B．45°＜∠BAD≤135°
C．90°＜∠BAD＜180° D．0°＜∠BAD＜180°
9．如图，菱形ABCD中，，，点M是边CD的中点，直线EF分别与、交于点、，若点与点关于直线对称，则的值为（ ）

A．2 B． C． D．
10．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为AB的中点，点E在边BC（包括点B、C）上，将△BDE沿着直线DE翻折得到△B′DE，设∠BDE为α，当α为（ ）度时，以点A、C、B′、D为顶点的四边形为菱形．
A．60° B．30° C．30°或120° D．45°或60°
二、填空题
11．如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC=90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB= °
12．已知点F是等边的边延长线上一点，以为边，作菱形，使菱形与等边在的同侧，且，连结，若的面积为 ．
13．如图，四边形是菱形，，是边上的动点，交边于点．当线段最短时，．此时点到直线的距离是 ．
14．如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则对角线的长为 ．（结果保留根号）
15．如图，线段，在线段上有一点C，当时，以为直角边在上方作等腰，，P为平面内一点，连接，，将和分别沿，翻折得到和，若A、、P恰好共线，则线段的最小值是 ．
16．如图，在菱形中，点为边上一点，点为边中点，连接，将沿直线翻折至菱形所在平面内，得到，连接并延长交边于点．若，，点到线段的距离为，则折痕的长为 ．
17．两张完全相同的长方形ABCD、EFGH纸条，长、宽分别为12cm、5cm，按如图所示的方式摆放（对角线BD、EG重合），则重叠部分的四边形BPDQ的对角线QP的长是 cm．
18．如图，四边形为菱形，，，点为边上一点．且，过作交、于点、，连接，若点，分别为、的中点，则的长度为 ．
三、解答题
19．如图，菱形，E是的中点，且，．
（1）求的度数； （2）求对角线的长．
20．如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，∠ABD=90°；
（1）求证：四边形为菱形．
（2）连接，若，求的长．
21．如图，四边形的对角线，相交于点，，为矩形对角线，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，求的值．
22．在中，，点D为射线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作菱形，使，连接．
（1）如图1，当点D在线段上时，直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且时，求证：．
23．如图，中，是上一点，于点是的中点，于点，与交于点，若平分，连接．
（1）求证：；
（2）试探究线段之间的数量关系，并证明．
（3）若点为中点，判断四边形是什么四边形？并说明理由．
24．在菱形中，，点是平面内一动点，以为边作等边 APE，其中，，按逆时针方向排列．
（1）如图①，当点在线段上，点在菱形内部时，连接，则线段与的数量关系是 ；与的夹角度数是 ；
（2）如图②，当点在线段上，点在菱形外部时，连接，求证：；
（3）如图③，当点在线段的延长线上时，连接，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系： ．
答案：
一、单选题
1．D
【分析】根据菱形的判定定理判断即可．
解：A、对角线不垂直，不能判断该逆命题是假命题，不符合题意；
B、对角线不垂直，不能判断该逆命题是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直，但四边形是菱形，不能判断该逆命题是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直，但四边形不是菱形，能作为判断该逆命题是假命题的反例，符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】根据矩形的性质与菱形的性质，找出相同的性质即可．
解：∵矩形的性质为：对边平行且相等，四个角都是90°，对角线互相平分且相等，有两条对称轴；
菱形的性质为：四边相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角，有两条对称轴；
∴菱形和矩形都具有的性质是：对边平行且相等，对角线互相平分，有两条对称轴；
故选C．
3．B
【分析】根据菱形性质，求出两点的坐标，再利用中点坐标公式即可得到点的坐标．
解：过作轴于，如图所示：
菱形的边长为2，边在轴上，，
，，
，
菱形的对角线、相交于点，
点的坐标是，即，
故选：B．
4．D
【分析】由题意可得，由菱形的性质可得，由平行线的性质可得，进行计算即可得到答案．
解：根据题意可得：，
四边形为菱形，
，
，
，
，
故选：D．
5．A
【分析】设t秒时四边形EBFD为菱形，根据菱形的性质得到DE=DF=FB=BE，然后表示出AE=t，DF=9-t，从而根据勾股定理列出方程求解即可．
解：设t秒时四边形EBFD为菱形，
此时DE=DF=FB=BE，
则AE=t，DF=9-t，
根据勾股定理得：，
解得：t=4，
即当四边形EBFD为菱形时，两点运动的时间为4秒，故A正确．
故选：A．
6．D
【分析】根据角平分线，可以的∠MAP=∠NAP，根据垂直平分线，可以证AN=PN，MA=PM，再证明出四边形AMPN为菱形即可得出结果．
解：∵垂直平分，
∴，，
∵平分，∴，
∵，∴，
∴，∴，
同理可知，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，是的平分线．
综上所述，选项A、B、C结论正确，不符合题意．
故选：D．
7．B
【分析】作出图形，利用直角三角形的性质求出高，利用菱形的面积公式可求解．
解：如图所示，菱形中，，，

过点A作于点E，则，
∴，
由勾股定理得，
∴菱形的面积为，
故选：B．
8．A
【分析】根据四边形AECF一定不是矩形得到∠EAF≠90°，又点E不与A、B重合，∠EAF＜∠BAD，即可求得∠BAD应满足的条件．
解：如图所示，
∵ 四边形AECF一定不是矩形
∴ ∠EAF≠90°
∵点E不与A、B重合
∴∠EAF＜∠BAD
∴当时，，
故选：A
9．C
【分析】利用勾股定理得出的长，再利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出，进而得出答案．
解：如图所示：延长，过点作于点，连接，，，

，四边形是菱形，
，
，
设，则，，
，
，
，
解得：，
故，
连接，
，，
是等边三角形，
是的中点，
，
，，
，
设，则，
故，
解得：，
的值为：．
故选：C．
10．C
【分析】分为菱形点对角线，菱形的边长两种情况讨论即可
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为AB的中点，
∴，
是等边三角形
折叠
①如图，当为菱形的边长时，
，则
②当为菱形的对角线时，此时与重合，如图
同理可得，则
故选C
二、填空题
11．30
【分析】先证明是等边三角形，得到，再由四边形是矩形，得到，则．
解：∵四边形OD'DC为菱形，
∴，
∵在扭动过程中，CD的长度是不会发生变化的，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：30．
12．
【分析】作EH⊥BF延长线于H点，根据菱形以及等边三角形的性质推出∠EFH=60°，结合边长即可求出EH的长度，从而根据BF和EG求出△BEF的面积即可．
解：如图所示，作EH⊥BF延长线于H点，则∠EHF=90°，
∵△ABC为等边三角形，四边形CDEF为菱形，CD∥AB，
∴∠ABC=60°，CD∥EF，
∴∠ABC=∠DCF=∠EFH=60°，∠FEH=30°，
∵EF=8，
∴CF=EF=8，FH=4，EH=4，
∴BF=BC+CF=18，
∴，
故答案为：．
13．2
【分析】利用菱形的性质得到∠ABC=60°，BD平分∠ADC和∠ABC，，则∠DBC=30°，根据垂线段最短可判断当AM⊥BC时，AM最短，则根据含30度的直角三角形三边的关系计算出AM=3，则AN=2，然后根据角平分线的性质得到点N到CD直线的距离等于NA的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=120°，
∵AD∥BC, BD平分∠ADC和∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°，
当AM⊥BC时，AM最短， 则
∵NM=1，
∴
∴
∴AN=AM-NM=3-1=2，
∵，AM⊥BC，
∴AM⊥AD，
∵BD平分∠ADC，
∴点N到CD的距离等于N点到AD的距离， 而NA=2，
∴此时点N到CD直线的距离是2．
故答案为：2．
14．
【分析】先由菱形的性质得出，求得，再根据直角三角形两锐角互余得 ,连接AC交BD于点O，根据菱形的性质得，，根据AAS证明可得，从而可求出．
解：连接AC，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，，BD=2DO
∴
∵
∴
∵
∴
∵四边形ABCD是菱形，
∴
∴
在和中，
∴≌
∴
∴
故答案为：．
15．
【分析】由题意可知，当P、、D在同一直线上时，最小，此时，连接交于点O，在上取E，使得，连接、，先利用折叠的性质，证明四边形是菱形，推出是的中位线，得到是的中点，然后利用勾股定理，求得，再根据折叠的性质，得到是的中点，推出是的中位线，求得，最后利用即可求出的最小值．
解：当P、、D构成三角形时，；当P、B、D在同一直线上时，，
，
故当P、、D在同一直线上时，最小，，
如图，连接交于点O，在上取E，使得，连接、，
由折叠的性质可知，，，
对角线、互相垂直平分，
四边形是菱形，
，，
，
∴AC=AB-BC=4，
，
是的中位线，
是的中点，
是等腰直角三角形，
，，
由勾股定理得：，
由折叠性质可知，，，
，
是的中点，
是的中位线，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】作，，根据角之间的关系得到，根据勾股定理求得、的长度，从而求得的长度．
解：作，，如下图：
由题意可得：，，，，，
∴，
又∵，
∴
∴
∴四边形为平行四边形
又∵
∴平行四边形为矩形
∴，
由勾股定理得：，即
∵为的中点
∴
∵
∴
由勾股定理得：
故答案为
17．
【分析】由题意得出∠A＝∠F＝90°，AB＝FB，AD＝FD，即可证明△ABD≌△FBD，得到∠ADB＝∠FDB，进而得到DP＝BP，根据AD∥BC，BH∥DF，证四边形BPDQ是菱形，根据勾股定理求出BD，设BP＝DP＝x，则CP＝12﹣x，在Rt△CDP中，由勾股定理得出方程，解方程求出BP，再利用菱形面积的两种求法即可得出答案．
解：∵四边形ABCD、EFGH是完全相同的矩形，
∴∠A＝∠F＝90°，AB＝FB，AD＝FD，
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴∠ADB＝∠FDB，
∵AB∥CD，DF∥BH，
∴四边形BPDQ是平行四边形，∠ADB＝∠PBD，
∴∠FDB＝∠PBD，
∴DP＝BP，
∴ BPDQ是菱形，
∵长方形ABCD长、宽分别为12cm、5cm，
∴BD＝＝＝13，
设DP＝BP＝x，则CP＝12﹣x，
在Rt△CDP中，CD2+CP2＝DP2，即52+（12﹣x）2＝x2，
解得：x＝，即BP＝，
∴菱形BPDQ的面积＝BP CD＝×5＝，
∵菱形BPDQ的面积＝BD QP，
∴×13 QP＝，
∴QP＝（cm），
故答案为：．
18．
【分析】如图，连接 交于， 连接 过作于 先证明 是等边三角形，求解 证明四边形是平行四边形，可得再求解 再求解 可得 再利用勾股定理可得答案．
解：如图，连接 交于， 连接 过作于
四边形是菱形，
是等边三角形，
四边形是平行四边形，
是的中点，
为等边三角形，
是的中点，
故答案为：
三、解答题
19．
（1）解：如图，连接，
∵四边形是菱形，，
，
是的中点，且，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
又，
．
（2）解：如图，连接，交于点，
∵四边形是菱形，，
，
，
．
20．
解：（1）证明：∵，E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（2）解：连接，如图所示，
由（1）得：四边形为菱形，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴．
21．
解：（1）明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，
，，，，，，
是等边三角形，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
．
22．
解：（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
≌，
．
（2）证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
≌，
，
，，
∴由勾股定理，得，
，
．
23．
解：（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵是的中点，，
∴在中，是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴；
（2），理由如下，
证明：过点作于，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，由（1）可得，
在和中，
∴，
∴，
∴．
（3）解：四边形是菱形，理由如下：
证明：∵在中，为中点，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
24．
（1）解：如图①，连接，延长交于点，与的交点为，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，；
是等边三角形，
，，
，
，
；
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
四边形为菱形，
，
为菱形的对角线，
，
；
故答案为：，；
（2）证明：如图②中，连接，交于，
菱形，，
和都是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
菱形的对角线与相交于，
，，
在中，，
；
（3）解：．
理由：如图③，连接，交于，
同（2）的方法得，，
同（1）的方法得，
．
故答案为：．