人教版八年级数学下册18.2.3正方形 复习题(含详解)

18.2.3正方形复习题
一、单选题
1．下列命题：
①对角线相等的菱形是正方形；
②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
④对角线互相垂直的矩形是正方形；
其中是真命题的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．如图，在正方形中，为上一点，连接于点，连接，设，若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
3．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　）
A．2 B． C． D．
5．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，平分交于点D，按下列步骤作图．
步骤1：分别以点C和点D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；
步骤2：作直线，分别交，于点E，F；
步骤3：连接，．
若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，矩形的面积为288，分别是边的三等分点，若，则阴影四边形的周长为（ ）

A．20 B．25 C．30 D．40
8．如图，在正方形中，，延长至E，使，连接平分交于点F，连接，则的长为（　　）

A． B． C． D．
9．如图，在正方形中，点E是上一点，过点E作交于点F，连接，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．正方形，如图放置，，，相交于点P，Q为边上一点，且，则的最大值为（ ）

B． C．7 D．
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，，直线l经过点且与x轴平行，是直线l上一动点，以AD为边向右作正方形ABCD．
（1）点C的坐标是 （用含m的式子表示）．
（2）当时， ．
12．如图，CDBE，且，点为的中点，若四边形为正方形，则 ．
13．如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是 ．

14．如图，四边形中，．则 ．
15．点A坐标为，点在轴的负半轴上沿负方向运动时，作，其中．直线与轴交于，当点的运动过程中，的值为 ．

16．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论：
①四边形一定是矩形；
②四边形可能是菱形；
③连接，四边形不可能是正方形；
④当G为中点时，是等腰三角形．
其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
17．如图，已知正方形的边长为，是边延长线上一点，，是边上一点，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接交折痕于点，则的长是 ．
18．如图，正方形边长为12，P为边上一个动点，以为直角边作等腰，当点P沿边从B点运动至点C时，线段中点Q所经过的路径长为 ．
三、解答题
19．如图，正方形中，点、分别是边、上的点，点是直线上的点．
（1）若，求证：；
（2）若，，设直线、相交所成的角为 ，________（直接写答案）．
20．已知：正方形，点E是上一点，以点E为圆心作圆，分别交，于点F，G．作，，交于H．延长．作于P．
（1）求证：四边形是菱形
（2）求证：（注：尽可能用数字表示角）
21．如图，是等腰直角三角形，，与关于对称，为边上一点，连接并延长交于点，作交于点．
（1）求证：；
（2）探究：当为何值时，点与点关于对称．
22．如图，已知正方形的边长为1，点在延长线上，连接，，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：．
（2）设，的面积为，求关于的函数表达式．
（3）当时，求的值．
23．如图1，在正方形中， ，过D点作分别交线段、于E、F两点
（1）若，求证：．
（2）如图2，，请探究线段、、的数量关系
（3）在（2）的条件下，，则的值是 ．
24．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，顶点为原点，顶点，分别在轴和轴上，点坐标为，动点在边上（不与端点重合），将沿翻折，点的对称点为点．
（1）如图①，当平分时，的度数为______；
（2）如图②，过点作轴交于点，交于点．当为等腰直角三角形时，求点的坐标；
（3）如图③，延长交于点，当点在边上移动时，的周长是否发生变化？如果是，请求出变化范围，如果不是，请说明理由．
答案：
一、单选题
1．A
【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，是真命题，符合题意．
真命题有个，
故选A．
2．A
【分析】本题考查正方形性质及全等三角形判定与性质等知识点，过点C作于G，由四边形是正方形，利用证得，得出，结合，推出，即是等腰直角三角形，，再运用三角形外角性质即可得出答案，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
解：过点C作于G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
3．C
【分析】本题考查正方形的性质，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题关键．由正方形的性质可求出，当四边形为菱形，且时，连接交于，可得是等边三角形，则，进而得到，由勾股定理可求出，进而可求出．
解：如图1，四边形是正方形，，
，
在图2中，连接交于，
，，
是等边三角形，则，
四边形是菱形，
，，，
，
，
故选：C．
4．D
【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解．
解：分别取的中点为，连接，
分别是的中点，
，
又，
，
四边形是正方形，
，
故选：D．
5．B
【分析】由第一次折叠可知，，则四边为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解．
解：四边形为矩形，
．
由第一次折叠可知，，
四边形为正方形，
，
．
由第二次折叠可知，，
，
，
，
，
．
故选：B．
6．D
【分析】由作图可知，四边形是正方形，根据，可得，由此即可解决问题．
解：∵平分，，
∴，
由作图可知，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：D．
7．A
【分析】证明四边形是菱形，根据矩形的面积为288，得出，根据，设，则，得出，求出，负值舍去，得出，，根据勾股定理得出，得出，求出菱形的周长即可．
解：连接，如图所示：

∵矩形，
∴
∵分别是边的三等分点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形
∴，
同理可证：，
∴四边形是平行四边形
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵
，即，
同理可证，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∵矩形的面积为288，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的周长为，
即阴影部分的周长为20．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了正方形的性质与判定、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理的应用等，解题的关键是构造正方形．
作，构造正方形，设，易证，由此列出比例式可求解a的值，然后在中，利用勾股定理即可求得的长度．
解：过点F作于点M，作于点N，如图所示．

∵四边形为正方形，，
∴
∵，
∴四边形为矩形．
∵平分，
∴．
∴四边形为正方形．
∴，
设，则
∵，
∴
即，
解得：
在中，，
由勾股定理，得
故选：C．
9．C
【分析】过点作于，于，根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质证得，得到，根据等腰三角形的性质和平角的定义即可求出答案.
解：过点作于，于，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选: ．
10．B
【分析】如图，连接，取的中点O，连接，延长至E，使，连接，，利用等腰直角三角形性质可得 ，由，可得，，利用勾股定理可得，再由三角形中位线定理可得，再证得，进而得出是的中线，即，由，即可求得答案．
解：如图，连接，取的中点O，连接，延长至E，使，连接，，

∵四边形、是正方形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即Q是的中点，
又∵点O是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
在中，，
∴的最大值为，
故选：B．
二、填空题
11． （m+5，8-m）， 2
【分析】（1）过点D作DM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于N，交直线l于F，证明△ADM≌△CDF（AAS），根据全等三角形的性质即可求解；
（2）连接AC，先分别表示CN=8-m， AN=m+2，再利用勾股定理即可求解．
解：（1）过点D作DM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于N，交直线l于F，
∵直线l经过点（0，5）且与x轴平行，
∴CF⊥直线l，DM=NF=5，MN=DF，DM⊥直线l，
∴∠AMD=∠MDF=∠CFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形．
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADC-∠ADF=∠MDF-∠ADF=90°-∠ADF，
∴∠CDF=∠ADM，
∵D（m，5），A（3，0），
∴OM=m，AM=3-m，
在△ADM和△CDF中，
∴△ADM≌△CDF（AAS），
∴CF=AM=3-m，DF=DM=5，
∴MN=DF=5，
∴ON=OM+MN=m+5，CN=NF+CF=5+3-m=8-m，
∴点C的坐标是（m+5，8-m），
故答案为：（m+5，8-m）；
（2）连接AC，过点D作DM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于N，交直线l于F，
∵ON=m+5，CN=8-m，
∴AN=m+5-3=m+2，
Rt△ANC中，AN2+CN2=AC2，
∴
∴m=2或4，
∵0＜m＜3，
∴m=2，
故答案为：2．
12．
【分析】首先根据点为的中点，可证得，即可证得四边形为平行四边形，，再根据正方形的性质，即可求得．
解：点为的中点，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
四边形为正方形，
，
．
故答案为：．
13．且
【分析】依据条件先判定四边形为平行四边形，再根据又，，得出四边形为菱形，再根据，即可得到菱形是正方形．
解：应满足的条件是：且，
理由：、、、分别是、、、的中点，
在中，是的中位线，
，，
同理，，
同理，，
则且，
四边形为平行四边形，
又，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
，
菱形为正方形，
故答案为：且．
14．45°
【分析】作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F，易证四边形AECF为矩形，可得∠FAE＝90°，再根据∠DAB＝90°，可得∠DAF＝∠BAE，即可证明△BAE≌△DAF，可得AE＝AF，即可判定矩形AECF为正方形，即可解题．
解：作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F，
∵∠AEC＝∠AFC＝∠BCD＝90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠FAE＝90°，即∠DAF＋∠DAE＝90°，
∵∠DAE＋∠BAE＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
在△BAE和△DAF中，
∠AEB＝∠F，∠BAE＝∠DAF，AB＝AD，
∴△BAE≌△DAF（AAS），
∴AE＝AF，
∴矩形AECF为正方形，
∴∠ACB＝45°；
故答案为：45°．
15．
【分析】过点A作轴于点D，过点A作轴于点D，证明形是正方形，则，，再证明，得到，由和得到，则，，则，即可得到的值．
解：过点A作轴于点D，过点A作轴于点D，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点A坐标为，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴ ADC≌ AEB（ASA），
∴，
∵点，点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：
16．①③④
【分析】根据正方形的性质可得，，可得四边形是平行四边形，从而判断①；根据矩形的性质可得，再由在中，，可得，从而判断②；根据三角形中位线定理可得，从而得到不平行，从而判断③；证明，可得，从而判断④，即可．
解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故①正确；
∵四边形是矩形，
∴点M是的中点，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴四边形不可能是菱形，故②错误；
如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴点M是的中点，
∵N为的中点，
∴，
∵G为上一动点（不与端点B，C重合），
∴点D，F，G不可能共线，
∴不平行，
即四边形不可能是正方形，故③正确；
如图，连接，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∵G为中点，点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，故④正确；
故答案为：①③④
17．
【分析】此题考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度；由正方形的性质得，，则，由翻折得，则，所以，，则，因为垂直平分，所以，由勾股定理，求得，即可根据等面积法，求得，于是得到问题的答案．
解：四边形是边长为的正方形，
，，
，
由翻折得，
，
，，
，
点与点关于直线对称，
垂直平分，
，
，且，
，
解得，
，
，
解得，
故答案为：．
18．
【分析】连接相交于点O，连接，过点E作交的延长线于T．根据正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质可确定，根据线段的和差关系和等边对等角确定，根据平行线的判定定理可确定，根据正方形的性质和三角形的中位线定理可确定，进而可确定点Q的运动轨迹是，最后根据正方形的性质和勾股定理即可求出的长度．
解：如下图所示，连接相交于点O，连接，过点E作交的延长线于T，
∵ APE是等腰直角三角形，
．
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，
∴，
∴，
．
，
∵四边形是正方形，
，
，
∴，
，
∴，
∵正方形中，相交于点O，
∴O是的中点，，
∴，
，
∵Q是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点Q在直线上，
∵点P在BC边上移动，
∴点Q的运动轨迹是，
∵正方形的边长是12，且相交于点O，
∴，O是的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
19．
解：（1）如图所示，过点G作于点H，

∵四边形是正方形
∴，，
∴四边形是矩形
∴
∴
∵∠B=90
∴
∵
∴
∴
∴在和中
∴△GHF≌△ABE（AAS）
∴；
（2）如图所示，过点G作于点H，与交于点O，

∵四边形是正方形
∴，，
∴四边形是矩形
∴
∴
∴在和中
∴
∴
∵∠B=90
∴
∴
∴
∴；
如图所示，

同理可得，
∴
∵
∴
∴
∴
综上所述，或．
20．
解：（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵以点E为圆心作圆，分别交，于点F，G，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）证明：过点E作，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴．
21．
（1）解：∵是等腰直角三角形，，与关于对称，
∴，且，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵与关于对称，又点与点关于对称，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
设，则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴．
22．
解：（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）解：∵四边形为正方形，边长为，
，，，
，
由（1）得，
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）解：当时，
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴，．
23．
解：（1）在正方形中， ，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2），理由见详解
延长至点W，使得，连接，如图，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵在正方形中， ，，
∴，
如图，

在（2）已证明：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．
（1）解：由折叠的性质可知，，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵轴，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
如图②，连接，

∵正方形，点坐标为，
∴，，
∴三点共线，
∴ ADE是等腰直角三角形，
设，则，，
由勾股定理得，，即，解得，
∴；
（3）解：不变，理由如下：
如图③，连接，

由折叠、正方形的性质可知，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长不变．