2025年浙江省杭州市杭州中学九年级下册三月月考数学试卷(pdf版,含答案)

2025 年杭州中学九年级（下）月考
数学试卷 2025.03
一.选择题（共 10 题，每小题 3 分）
1．如果把收入 2025元记作 2025，那么支出 2025元记作 ( )
A 2025 B 1． ． C． | 2025 | D． 2025
2025
2．2024年“十一”黄金周，某旅游城市共接待游客大约 1680000人次，这个数用科学记数法可表示为 ( )
A． 0.168 107 B．1.68 106 C．16.8 105 D．16.8 106
3．下列算式，计算结果为 a2 的是 ( )
A． a a B． 2a2 2 C． a a D． a6 a3
4．在平面直角坐标系中，点 A(2, 3)与点 B(a,b)关于 y轴对称，则 ( )
A． a 2， b 3 B． a 2， b 3 C． a 2， b 3 D． a 2， b 3
5．将抛物线 y (x 3)2 4先向右平移 1个单位长度，再向上平移 2个单位长度，得到的抛物线的函数表达
式为 ( )
A． y (x 4)2 6 B． y (x 1)2 3 C． y (x 2)2 2 D． y (x 4)2 2
6．如图，△ ABC与△ DEF 是位似图形，点O为位似中心．已知OA : AD 2 :1，则△ ABC与
△ DEF 的相似比为 ( )
A． 2 : 3 B．1: 3 C． 2 :1 D．3 : 2
7．一个物体的三视图如图所示，根据图中的数据，可求这个物体的侧面积为 ( )
A． 24 cm2 B．12 cm2 C． 60 cm2 D． 44 cm2
8．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重 16
两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只 x两，燕每只
y两，则可列出方程组为 ( )
A 5x 6y 16 B 5x 6y 16 6x 5y 16 6x 5y 16． ． C． D．
5x y 6y x 4x y 5y x
6x y 5y x 5x y 4y x
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9 BG 1．如图，菱形 ABCD中，点 E是CD的中点， EF 垂直 AB交 AB延长线于点 F ，若 ， EF 2 5 ，
CG 3
则菱形 ABCD的边长是 ( )
A 3 5 B 14． ． 5
5
C．5 D．6
10．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A( 1, y1)、 B(2, y2 )、C(4, y3 )是抛物线 y ax
2 bx(a 0)上的三个点，
若 y2 y1 y3且 y1y2 0，抛物线对称轴为直线 x t，则 t的取值范围是 ( )
A． 0 1 t B 1． t 1 C．1 3 t D 3． t 2
2 2 2 2
二.填空题（共 6 小题，每小题 3 分）
11．因式分解： x2 2x ．
12．若一组数据 3，4， x，6，7的众数是 3，则这组数据的中位数为 ．
13 a 2 3．计算： ．
a 1 1 a
14．某班开展“垃圾分类”知识竞赛，若从甲、乙、丙 3位同学中随机选 2 位同学参加，则丙被选中的概
率是 ．
15．如图，O为Rt ABC斜边 AB上一点，以OA为半径的 O交边 AC于点 D，BD恰好为 O的切线，若
ABD 28 ，则 CBD 度．
（第 15题） （第 16题）
16．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片 ABCD，
AB 24， BC 20，他在边 BC上取中点 N，又在边 AB上任取一点M ，再将△ BMN沿MN 折叠得到△
B MN ，连结 AB ． AB 达到最小值时，求 BM ．
三.解答题（共 8 小题）
17．（6 1分）计算： 3tan30 ( ) 2 3 8 ．
2
18．（6分）已知 y y1 y2， y1与 (x 1)成反比例， y2 与 x成正比例，且当 x 2时， y1 4， y 2．求 y
关于 x的函数解析式．
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19．（8分）某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一
次测试（满分 10分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m（单位：分）分成四类：A类 (m 10)，B类 7 m 9 ，
C类 4 m 6 ， D类 m 3 ，绘制出如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的人数为 ，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中 A类所对的圆心角是 ，测试成绩的中
位数落在 类；
（3）若该校九年级男生有 500名，请估计该校九年级男生“引
体向上”项目成绩为 A类或 B类的共有多少名？
20．（8分）数学兴趣小组借助无人机测量河道某处宽度．如图所示，在河岸边的C处，兴趣小组令一架无
人机沿 67 的仰角方向飞行 130 米到达点 A处，测得此时河对岸 D处的俯角为 32 ．点 B，C， D在同一
条直线上．
（1）求无人机的飞行高度（点 A到CD的距离）；
（2）求河宽CD．
17
（参考数据： sin 32 ， cos32 17 ， tan 32 5 12 ， sin 67 ，
32 20 8 13
5 12cos67 ， tan 67 ）)
13 5
21．（10分）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店
出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路
原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早 5
分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时
间为 t（分钟），图 1表示两人之间的距离 s（米 )与
时间 t（分钟）的函数关系的图象；图 2中线段 AB
表示小明和商店的距离 y1（米 )与时间 t（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问
题：
（1）填空：妈妈骑车的速度是 米 /分钟，妈妈在家装载货物所用时间是 分钟，点M 的坐标是 ；
（2）请求出图 2中线段 AB表示的小明和商店的距离 y1（米 )与时间 t（分钟）的函数关系式，并指明自变
量 t的取值范围；在图 2中画出妈妈和商店的距离 y2 （米 )与时间 t（分钟）的函数关系的图象；
（3）求 t为何值时，两人相距 180米．
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22．（10分）如图，在 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点O， CAB ACB，过点 B作 BE AB交 AC
于点 E．
（1）求证：△ ABO∽△ BEO；
（2）若 AB 10， AC 16，求OE的长．
23．（12分）已知二次函数 y x2 2ax 3a．
（1）若函数图象经过点 (2,5)．
①求该二次函数的表达式．
②若将平面内一点 A(1,n)向左平移 3m(m 0)个单位，则与图象上的点 B重合；若将点 A向右平移m(m 0)
个单位，则与图象上的点C重合，求 n的值．
（2）设点M (x1， y1)， N (x2， y2 )是该函数图象上的两点，若 x1 x2 3，求证 y
9．
1 y2 2
24．（12分）如图，在Rt ABC中， ACB 90 ，以 BC为直径的 O交 AB于点 D，E是 AC的中点，OE
交CD于点 F ．
（1）若 BCD 36 ， BC 10，求 B D的长；
（2）判断直线DE与 O的位置关系，并说明理由；
（3）求证： 2CE 2 AB EF ．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C D A C B D C
9．解：过C作CM AB延长线于M ，
BG 1 ， 设 BG x，CG 3x， DC BC 4x，
CG 3
点 E是边CD的中点， CE 1 CD 2x， 菱形 ABCD， CE / /AB，
2
EF AB，CM AB， EF / /CM ， 四边形 EFMC是矩形， CM EF 2 5 ，MF CE 2x，
GF / /CM BF BG BF 1 2 2 8， ，即 ， BF x， BM BF FM x 3x x，
FM GC 2x 3 3 3 3
在Rt BCM中，BM 2 CM 2 BC 2 ， (
8 x)2 (2 5)2 (4x)2 3 3 3，解得 x 或 x （舍）， CD 4x 4 6．
3 2 2 2
故选： D．
10．解：由题意， A( 1, y1)、 B(2, y2 )在抛物线 y ax
2 bx上， y1 a b， y2 4a 2b．
又 y1y2 0， (a b)(4a 2b) 0
b b
． 2a2 (1 )(2 ) 0．
a a
又 a 0， (1 b )(2 b ) 0 b b． ( 1)( 2) 0 b b． 1或 2 b 1 b． 或 1，即 t 1 t 1或 ．
a a a a a a 2a 2 2a 2
y2 y1 y3 ，抛物线开口向上， | t 2 | | t 1| | t 4 |．下面分两种情形进行讨论．
（1）当 t 1时．
1 3 3
①1 t 2． 2 t t 1 4 t． t ． 此时1 t ．
2 2 2
②当 2 t 4时， | t 2 | | t 1| | t 4 |， t 2 t 1 4
3
t． t ．又 2 t 4， 此时无解．
2
③当 t 4时， t 2 t 1 t 4 3． 此时无解．从上可得，1 t ．
2
1
（2）当 t 时，
2
①当 t 1时， | t 2 | | t 1| | t 4 |， 2 t t 1 4 t． 此时无解．
②当 1 1 t 时， | t 2 | | t 1| | t 4 |， 2 t
1 3
t 1 4 t． t ． 此时无解．从上可得，当 t 1
2 2 2
3
时，不合题意．综上1 t ．
2
故选：C．
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二.填空题（共 6 小题，每小题 3 分）
11． x(x 2 20 2)． 12．4． 13．1． 14． ． 15．31． 16． ．
3 3
15．解：连接OD， BD为 O的切线， BDO 90 ，
ABD 28 ， BOD 90 28 62 ，
OD 1 1 OA， A ODA BOD 62 31 ，
2 2
C 90 ， ABC 90 31 59 ， CBD ABC ABD 59 28 31 ，
故答案为：31．
16．解：将△ BMN沿MN 折叠得到△ B MN ， BN NB ，
点 N为的 BC中点， BC 20， BN CN NB 10，
当点M 在边 AB上运动时，点 B 在以 N为圆心， NB为半径的圆弧上运动，
连接 AN，在△ AB N 中， AB AN NB ， A、 B 、 N共线时， AB 的值最小，如图，
最小为 AB AN NB AB2 BN 2 NB 242 102 10 676 10 26 10 16； AB M 90 ，
设 BM x， BM BM x， AM 24 x，
在直角三角形 AB M 中，由勾股定理得：B M 2 B A2 AM 2， x2 162 (24 x)2 x 20 20，解得 ，即 BM ，
3 3
20
故答案为： ．
3
三.解答题（共 8 小题）
17 1．解： 3tan30 ( ) 2 3 8 3 3 4 2 3 2．
2 3
18 k k．解：根据题意，设 y 11 ， y2 k2x(k1、 k2 0)． y y1 y2 ， y 1 k x，x 1 x 1 2
当 x 2 k 4时， y1 4， y 2，
1
． k1 4， k2 1．
k1 2k2 2
4
y x．
x 1
19．解：（1）本次抽样调查的人数为10 20% 50（人 )，
C组人数为 50 10 22 3 15（人 )，
补全的条形统计图如图；故答案为：50人；
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（2） A类所对的圆心角是 360 20% 72 ；
样本量为 50，可知数据从大到小排列，第 25，26个数在 B组，故中位数在 B类；
故答案为：72， B；
（3） A类或 B类的共有 500 (20% 44%) 320 （名 )，
答：估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为 A类或 B类的共有 320名．
20．解：（1）过点 A作 AE CD，垂足为 E，
12
在Rt ACE中， ACE 67 ， AC 130米， AE AC sin 67 130 120（米 )，
13
无人机的飞行高度约为 120米；
（2）如图：
由题意得： AF / /CD， FAD ADE 32 ，
在Rt ADE中， AE 120米， DE AE 120 192（米 )，
tan32 5
8
Rt ACE ACE 67 5在 中， ， AC 130米， CE AC cos67 130 50（米 )，
13
CD CE DE 50 192 242（米 )， 河宽CD约为 242米．
21．解：（1 1800）由图可知：小华步行速度为： 60（米 /分钟），
30
1800 60 10
妈妈骑车速度为： 120（米 /分钟）；
10
1800
妈妈回家用时为： 15（分钟），
120
小明到达商店比妈妈返回商店早 5分钟， 可知妈妈在 35分钟时返回商店，
装货时间为： 35 15 2 5（分钟），
由题意得：M 点的横坐标为：15 5 20（分钟），此时纵坐标为： 20 60 1200（米 )，
点M 的坐标为 (20,1200)；
故答案为：120，5， (20,1200)；
1800 0 k b k 60
（2）设 y1与 t的函数关系式为 y1 kt b，将 (0,1800)， (30,0)

，代入得 ，解得 ，
0 30k b

b 1800
y 60t 1800( 0 tt 3300) ；1
①当0 t 15时 y2 120t；
②当15 t 20时 y2 1800；
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1800 20k b
③当 20 t 35时，设此段函数解析式为 y2 kx b，将 (20,1800)， (35,0)，代入得 ，
0 35k b
k 120
解得 ， y2 120x 4200，
b 4200
120t (0 t 15)
综上所述，妈妈和商店的距离 y2 （米 )与时间 t（分钟）的关系式为 y 2 1800 (15 t 20)；

120t 4200 (20 t 35)
其函数图象如图，
（3）由（1）知，小明速度为 60米 /分钟，妈妈速度为 120米 /分钟，
①当二人相遇前相距 180米时，依题意得： 60t 120t 180 1800，解得 t 9；
②当二人相遇后，第一次相距 180米时，依题意得： 60t 120t 180 1800，解得 t 11；
③当妈妈装载完货物后， t 20分钟，妈妈从家里出发开始追赶小华相距 180米时，
此时小华距商店为1800 20 60 600（米 )，只需 10分钟，即 t 30分钟时，小华到达商店，
而此时妈妈距离商店为1800 10 120 600 180， 当 t 30时，120(t 5) 180 1800 2 ，解得 t 33.5，
当 t为 9或 11或 33.5时，两人相距 180米．
22．（1）证明： CAB ACB， AB CB， ABCD是菱形， AC BD， AOB BOE 90 ，
BE AB， EBA 90 ， BEO BAO ABO BAO 90 ， BEO ABO， ABO ~ BEO；
（2）解： ABCD是菱形， OA OC 1 AC 8， AC BD， AOB BOE 90 ，
2
9 9
OB AB2 OA2 102 82 6， ABO ~ BEO， OE OB ，即 OE 6 ，解得OE ，即OE的长为 ．
OB OA 6 8 2 2
23．（1）解：① 函数图象经过点 (2,5)， 4 4a 3a 5， a 1， 该二次函数的表达式为 y x2 2x 3；
②由题意可知 B(1 3m,n)，C(1 m,n)，
B、C是二次函数 y x2 2x 3图象上的点， B、C关于对称轴直线 x 2 1对称，
2 1
1 3m 1 m
1，解得m 2， C(3,n)，把 x 3代入 y x2 2x 3，得 n 9 6 3 12；
2
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（2）证明： x1 x2 3， x2 3 x1，
M (x1， y1)， N (3 x1， y2 )是二次函数 y x
2 2ax 3a图象上两点，
y y x2 2ax 3a (3 x )21 2 1 1 1 2a(3 x1) 3a 2x
2
1 6x 9
3 9
2(x 2 91 1 ) ， 2 0， ．2 2 y1 y2 2
24．解：（1）连接OD．
BCD 36 72 5 ， DOB 72 B D的长 2 ．
180
（2） AE EC，OB OC， OE / /AB，
CD AB， OE CD， OD OC， DOE COE，
OD OC
在 EOD和 EOC中， DOE COE， EOD EOC， EDO ECO 90 ， OD DE，

OE OE
DE是 O的切线．
（3） OE CD， DF CF， AE EC， AD 2EF ，
CAD CAB， ADC ACB 90 ， ACD∽ ABC， AC 2 AD AB，
AC 2CE， 4CE 2 2EF AB ， 2CE 2 EF AB．
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