2025年浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校3月中考数学模拟试卷(pdf版,含答案)

2025 年保俶塔申花实验学校九年级第二学期
中考数学模拟试卷（3 月份）
一.选择题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个选项符合题意）
1．下列实数中，无理数是 ( )
A． 3 B 2．0 C． D． 5
3
2．据《人民日报》3月 12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球 PCT (《专利合作条
约》 )国际专利申请总量为 27.26万件，中国申请量为 69610件，是申请量最大的来源国．数据 69610用科
学记数法表示为 ( )
A． 6961 10 B． 696.1 102 C． 6.961 104 D． 0.6961 105
3．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是 ( )
A． B． C． D．
4．在下列长度的四条线段中，能与长 6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是 ( )
A．1cm B． 2cm C．13cm D．14cm
5．下列运算正确的是 ( )
A． a3 a3 a9 B． a4 a2 a2 C． (a3)2 a5 D． 2a2 a2 2
6．如图，在 Rt△ ABC中， AC BC 2，点 D在 AB的延长线上，且CD AB，则 BD的长是 ( )
A． 10 2 B． 6 2 C． 2 2 2 D． 2 2 6
7 m m．若双曲线 y 与直线 y nx的一个交点坐标为 ( 1,2)，则关于 x的不等式 nx的解集为 ( )
x x
A． 1 x 1 B． x 1或 x 1 C． 1 x 0或 x 1 D． x 1或 0 x 1
8 5．如图，在 ABC中， AB AC BC， AD BC于D， O为 ABC的内切圆，设 O
3
的半径为 R， AD R的长为 h，则 的值为 ( )
h
A 3 B 2 C 1 D 1． ． ． ．
8 7 3 2
9．已知点 P1(x
2
1， y1)， P2 (x2， y2 )为抛物线 y ax 4ax c(a 0)上两点，且 x1 x2 ，则下列说法正确的
是 ( )
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A．若 x1 x2 4，则 y1 y2 B．若 x1 x2 4，则 y1 y2
C．若 a(x1 x2 4) 0，则 y1 y2 D．若 a(x1 x2 4) 0，则 y1 y2
10．如图，已知正方形 ABCD和正方形 BEFG，且 A、 B、 E三点在一条直线上，连接CE ，以CE 为边构
造正方形CPQE ，PQ交 AB于点M ，连接CM ．设 APM ， BCM ．若点Q、B、F 三点共线，
tan n tan ，则 n的值为 ( )
A 2． B 3．
3 5
C 6． D 12．
7 13
二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．因式分解： a2 4a ．
12．如图，若圆锥的母线长为 12，底面半径为 4，则其侧面展开图的圆心角为 ．
13．如图， AD，BE 均为△ ABC的高，且 AB AC，连结DE交 AB于点O，若 C 38 ，则 OEB的度
数为 ．
（第 12题） （第 13题） （第 15题） （第 16题）
14．若一元二次方程 2x2 4x 1 0 的两根为m， n，则 3m2 4m n2 的值为 ．
15．如图， O 与直线 l相交，圆心O到直线 l的距离OA 3，在直线 l上取点 B使 AB 3，将直线 l绕点
B逆时针旋转15 后得到直线m，若直线m恰好与 O相切于点C，则 O的半径为 ．
16．如图，在 ABCD中，点 E是CD边上的一点，若 AB 5，CE 2，将△ BCE 沿 BE 翻折得△ BGE，
连结 AG，点 A在 EG的延长线上， BG恰好平分 ABE ，则 AG的长为 ， cos EAD的值为 ．
三、解答题：（本大题有 8 小题，共 72 分）
17．（8分）计算：
2
（1） | 1| 3 8 1 ( ) 2 a 2 3 ( 4)；（2） ．
3 a 1 1 a
18．（8分）某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），
C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对
这五个项目的选择情况，学校从七年身全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据
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进行整理、描述和分析，部分信息如下：
根据上信息，解决下列问题：
（1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标
注相应数据）；
（2）图②中项目 E对应的圆心角的度数为 ；
（3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级 800名学生中选择项目 B（乒乓球）的人数．
19．（8分）如图，在 ABC中， AB AC，以 AB为直径的 O与 BC交于点D，连接 AD．
（1）求证： BD CD．
（2）若 O与 AC相切，求 B的度数．
（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧 AD的中点 E．（不写作法，保留作图痕迹）
20．（8分）如图 1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示
意图如图 2，此时测得点 A到 BC所在直线的距离 AC 3m， CAB 60 ；停止位置示意图如图 3，此时测
得 CDB 37 （点C， A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图 3中所有点在同一平面内．定滑
轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（参考数据： sin37 0.60， cos37 0.80，
tan 37 0.75， 3 1.73)
（1）求 AB的长；
（2）求物体上升的高度CE （结果精确到 0.1m)．
21．（8分）如图 1， AC是一段遥控车直线双车道跑道．甲、乙两遥控车分别从 A， B两处同时出发，7秒
后甲车先到达C点．设两车行驶时间为 x（秒 )，两车之间的距离为 y（米 )，根据图象解决下列问题：
（1）甲车经过 秒追上乙车， a ．
（2）设相遇后两车之间的距离为 y1，求 y1与 x的
函数关系式．
（3）两遥控车出发后多长时间，它们之间的距离
为 4米？
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22．（10分）综合与实践
【问题情境】
如图，在正方形 ABCD中，点 E在线段 AD上，点 F 在线段CD上，且始终满足 AE CF ，连接 BE ，BF ，
将线段 BE绕点 E逆时针旋转一定角度，得到线段 EG（点G是点 B旋转后的对应点），并使点G落在线段
BC上， EG与 BF 交于点H ．
【初步分析】
（1）线段 EG与 BF的数量关系为 ，位置关系为 ；
【深入分析】
（2）如图②，再将线段 EG绕点 E逆时针旋转90 ，得到线段 EM（点M 是点G旋转后的对应点），连接 FM ，
请判断四边形 BEMF 的形状，并说明理由；
（3）如图③，若点G落在 BC的延长线上，且当点H 恰好为 EG的中点时，设CD与 EG交于点 N，AD 3，
求CG的长．
23．（10分）已知二次函数 y mx2 2mx 3，其中m 0．
（1）若二次函数经过 ( 1,4)，求二次函数解析式．
（2）若该抛物线开口向上，当 1 x 2时，抛物线的最高点为M ，最低点为 N，点M 的纵坐标为 9，求
点M 和点 N的坐标．
（3）在二次函数图象上任取两点 (x1 ， y1)， (x2 ， y2 )，当a x1 x2 a 2时，总有 y1 y2，求 a的取值范
围．
24．（12分）在 ABC内接于 O，点D在 O上，连结 AD，AO，分别交 BC于点 E，F ， CAD BAO．
（1）求证： AD BC．
（2）若 AO / /CD．
①求证：CA CF ．
②若CD 5， BF 10 ，求 BC的长．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C B B C A D A
9 4a．解：抛物线对称轴为直线 x 2，当 x1 x 4时， x2a 2 2
2 2 x1，
则当 a 0时， y1 y2；当 a 0时， y1 y2 ；
当 x1 x2 4时， x2 2 2 x1，则当 a 0时， y2 y1；当 a 0时， y1 y2；
故 A、 B选项都不正确；
若 a(x1 x2 4) 0，则 a与 x1 x2 4同号，由上可知 y1 y2，故C不正确；
若 a(x1 x2 4) 0，则 a与 x1 x2 4异号，由上可知 y1 y2，故 D正确；
故选： D．
10．解：过点Q作QN AB于 N，连接Q、B、F ，则 QNE QNM 90 ，
EC EQ，CB CD， GBE CEQ BCD PCE A 90 ，
点Q、B、F 三点共线， QBN EBF 45 ， EBF 、 BQN都是等腰直角三角形， QN BN ，
BCE BEC 90 ， QEN BEC 90 ， BCE QEN ，
ENQ CBE 90
在 ENQ和 CBE 中， QEN BCE ， ENQ CBE (AAS )， EN CB，QN EB，

EQ CE
QN BN ， EN CB 2EB， EB QN BN BG CG ，
设 EB QN BN BG CG a ，则 AB BC CD AD 2a， AN 2a a a，
DCP BCP 90 ， BCE BCP 90 ， DCP BCE，
CBE D 90
在 CBE 和 CDP中， CB CD ， CBE CDP( ASA)， BE DP a， PA 2a a a， PA QN，

BCE DCP
PMA QMN
在 PAM 和 QNM 中， ， PAM QNM (AAS)， AM MN 1 AN 1 a，BM 2a 1 a 3 A QNM 90 a，
2 2 2 2
PA QN
1 a 3 a
在Rt PAM中， tan APM tan AM 2 1 ，在Rt BCM BM 3中， tan BCM tan 2 ，
PA a 2 BC 2a 4
tan n tan 1 3 2， n ， n ，故选： A．
2 4 3
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二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11． a(a 4)． 12．120 ． 13．52 ． 14．6． 15． 6 ． 16．
15．解：如图所示，连接OB，OC， 圆心O到直线 l的距离OA 3， OA AB，
AB 3 tan ABO AO 3 ， ， BO AB2 AO2 2 3， ABO 30 ，
AB 3
将直线 l绕点 B逆时针旋转15 后得到的直线m， ABC 15 ，
CBO CBA ABO 45 ，
直线m恰好与 O相切于点C， OC BC， COB 45 ， CB CO，CB2 CO2 BO2 ，
2CO2 (2 3)2 ， CO 6 ， O的半径为 6 ．
16．解： 四边形 ABCD是平行四边形， AB / /CD，
将△ BCE沿 BE 翻折得△ BGE， CBE GBE， CEB AEB，CE GE，
设 CBE GBE ， BG恰好平分 ABE ， ABG GBE CBE ， ABE 2 ，
AB / /CD， CEB ABE 2 ， AEB ABE 2 ， AE AB，
又 CE GE， AG AE GE AB CE 5 2 3；
如图所示，延长 BE交 AD的延长线于点 F ，过点 B分别作 AE， AF 的垂线，垂足分别为H ，M ，
AB AE， AEB ABE 2 ， BAE 180 4 ，
BC / /AD，
F CBE ， EAD BAD BAE (180 3 ) (180 4 ) ，
F EAF ， EF EA 5，
DE CD EF DE 3 5 3 CE AB CE 5 2 3， AB / /DE， △ FED∽△ FBA， ， ，
BF AB 5 BE 5
BF 25 BE BF EF 25 5 10 ，则 ，
3 3 3
在 Rt△ ABH ，Rt△ BEH 中，BE2 EH 2 AB2 AH 2 (10， )2 EH 2 52 (5 EH )2 EH 10，解得： ，
3 9
BH BE 2 HE 2 (10则 )2 (10 )2 20 2 ，GH GE EH 2 10 8 ，
3 9 9 9 9
Rt 20 2 8在 △ BGH 中， BG BH 2 GH 2 ( )2 ( )2 4 6 ，
9 9 3
5 20 2
BM HB

BGH C BAM ， sin BGH sin BAM ， ， AB BH 9 25 3 ，
AB BG BM BG 4 6 9
3
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25 6
在 Rt△ BMF 中，MF BF 2 BM 2 (5 10)2 (25 3)2 25 6
MF 6
， cos EAD cos F 9 25 ，3 9 9 BF 3
3
6
故答案为： ．
3
三、解答题：（本大题有 8 小题，共 72 分）
2
17．解：（1 a 2 3 (a 1)(a 1)）原式 1 2 9 4 12；（2）原式 a 1．
a 1 a 1
18．解：（1）此次调查的总人数为 9 15% 60（人 )，D项目的人数有 60 6 18 9 12 15（人 )，
补全条形统计图如下：
（2）图②中项目 E 12对应的圆心角的度数为 360 72 ；
60
故答案为：72；
18
（3）800 240（名 )，
60
答：估计本校七年级 800名学生中选择项目 B（乒乓球）的人数为 240名．
19．（1）证明： AB是直径， ADB 90 ， AD BC， AB AC ， BD CD；
（2）解： O与 AC相切， AB为直径， BA AC，
AB AC ， BAC是等腰直角三角形， B 45 ；
（3）解：如图，作 ABC的角平分线交 AD于点 E，则点 E即是劣弧 AD的中点．
20．解：（1）由题意得： BCA 90 ，
AC AC 3 1 3m， CAB 60 ，在 Rt△ ABC中，由 cos A ，得 cos60 ， AB 6m；
AB AB 2
（2）在 Rt△ ABC中，由勾股定理得： BC AB2 AC 2 3 3(m)，在 Rt△ BCD中， sin CDB BC ，
BD
sin37 3 3 0.6， BD 5 3m，由题意得， BC AB BE BD，
BD
BE BC AB BD 3 3 6 5 3 6 2 3(m) ， CE BC BE 3 3 (6 2 3) 5 3 6 2.7(m) ，
答：物体上升的高度约为 2.7m．
21．解：（1）由图象可知，甲车经过 3秒追上乙车；
甲的速度比乙的速度快 6 3 2（米 /秒），则 7秒时甲、乙之间的距离为 2 (7 3) 8（米 )， a 8．
故答案为：3，8．
（2） y1 2(x 3) 2x 6， y1与 x的函数关系式为 y1 2x 6．
（3）当0 x 3时，当之间的距离为 4米时，得 6 2x 4，解得 x 1；
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当3 x 7时，当之间的距离为 4米时，得 2x 6 4，解得 x 5．
答：两遥控车出发后 1秒或 5秒时，它们之间的距离为 4米．
22．解：（1） EG BF， EG BF ；理由如下：
四边形 ABCD是正方形 A C ABC 90 ， AB CB，
又 AE CF， ABE CBF (SAS )， BE BF ， ABE CBF ．
由旋转的性质，得 BE EG， EG BF ， EBG EGB．
又 ABE EBG ABC 90 ， CBF EGB 90 ， BHG 90 ，即 EG BF ．
故答案为： EG BF， EG BF ；
（2）四边形 BEMF 为菱形，理由如下：
由旋转的性质，得 EG EM ， GEM 90 ，
又 EG BF ， BHE 90 ， EM BF， GEM BHE 90 ， EM / /BF ， 四边形 BEMF 是平行四边形，
又 BE BF ， 四边形 BEMF 是菱形；
（3） 点H 是 EG的中点， BF EG， BF是 EG的垂直平分线， BE BG， EBF GBF ．
ABE CBF ABE CBF EBF 1 1又 ， ABC 90 30 ．
3 3
四边形 ABCD是正方形， D 90 ，AB AD CD BC 3， 在Rt ABE中，BE AB 3 2 3，
sin 60 3
2
BG 2 3， CG BG BC 2 3 3．
23．解：（1）把 ( 1,4) 1 1 2代入函数解析式得m 2m 3 4， m ， 函数解析式为： y x2 x 3；
3 3 3
（2） 抛物线开口方向向上， m 0，
y mx2 2mx 3 m(x 1)2 3 m， 抛物线的顶点为 (1,3 m)，
当 x 1时 y随 x增大而减小，当 x 1时， y随 x增大而增大， 最低点 N (1,3 m)，
当 x 1时， y 3m 3，当 x 2时， y 3，且m 0， 3m 3 3， 最高点M ( 1,3m 3)，
3m 3 9， m 2，代入M 点和 N点坐标得：M ( 1,9)， N (1,1)；
（3）①当m 0时，
则有当 x 1时 y随 x增大而减小，当 x 1时， y随 x增大而增大，
又 当a x1 x2 a 2时，总有 y1 y2，此时 a 2 1，
a 1，
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②当m 0时，
则有当 x 1时 y随 x增大而增大，当 x 1时， y随 x增大而减小，
又 当a x1 x2 a 2时，总有 y1 y2，此时 a 1，
综上，当m 0时 a 1；当m 0时， a 1．
24．（1）证明：延长 AO交 O于点M ，连结CM ，如图，
AM 为 O的直径， ACM 90 ， BCM ACE 90 ，
BCM BAO， BAO ACE 90 ，
CAD BAO， CAD ACE 90 ，即 AEC 90 ， AD BC；
（2）①证明： AO / /CD， FAE D，
D B， FAE B，
CAF CAE FAE， FAB B AFC，又 CAD BAO，即 CAE FAB，
CAF AFC， CA CF ；
②解： CAD FAB， D B ACD AC CD 5， ∽ AFB， ，
AF BF 10
设 AC 5a，则 AF 10a，由①知CF CA， CF 5a，
设CE x，则 EF 5a x，由（1）知 AD BC， AE 2 AC 2 CE 2 ， AE2 AF 2 EF 2，
AC 2 CE 2 AF 2 EF 2 ， (5a)2 x2 ( 10a)2 (5a x)2 ， x 4a，即CE 4a， EF a，
AE AC2 CE2 (5a)2 (4a)2 3a，
FAE AE EF B， AEF BEA， AEF∽ BEA， ，即 AE2 EF EB，
EB AE
(3a)2 a (a 10) 10 5 10 5 10 13 10 ，解得 a ， CF 5a ， BC CF BF 10 ．
8 8 8 8
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