人教版五年级数学下册《因数和倍数》讲义
文档属性
| 名称 | 人教版五年级数学下册《因数和倍数》讲义 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 15.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-30 09:25:19 | ||
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文档简介
五年级数学下册《因数和倍数》讲义
一、知识要点回顾
（一）因数和倍数的基本概念
★在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就称被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。例如，在中，12 是 3 和 4 的倍数，3 和 4 是 12 的因数。因数和倍数是相互依存的，不能孤立存在。
★一个数的因数个数有限，最小因数是 1，最大因数是它本身；一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。
（二）2、5、3 的倍数特征
★2 的倍数：个位数字是 0、2、4、6、8 的数。其中，是 2 的倍数的数被称作偶数，不是 2 的倍数的数则为奇数。
★5 的倍数：个位数字是 0 或 5 的数。
★3 的倍数：一个数各位数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
（三）质数与合数
★质数：只有 1 和它本身两个因数的数，如 2、3、5、7 等。最小的质数是 2。
★合数：除了 1 和它本身，还有其他因数的数，如 4、6、8、9 等。最小的合数是 4。
★ 1 既不是质数也不是合数。
二、典型例题剖析
（一）因数和倍数的应用
例 1：小明家的电话号码是一个七位数，百万位上是 6，万位上是 8，任意相邻的三个数字之和是 19。请你写出小明家的电话号码。
【解题思路】已知百万位数字为 6，万位数字为 8，由于任意相邻三个数字之和是 19，所以十万位数字为。接着，依据此规则，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为。因此，小明家的电话号码是 6586586。
（二）2、5、3 的倍数特征的应用
例 2：从 0、3、5、7 这四个数字中任选三个数字组成一个三位数，使它既是 2 的倍数，又是 3 和 5 的倍数，这个三位数最大是多少？最小是多少？
【解题思路】因为这个三位数既是 2 的倍数，又是 5 的倍数，所以个位数字必定是 0。要使这个三位数是 3 的倍数，那么各位数字之和需是 3 的倍数。从 3、5、7 中选取两个数字，只有 5 和 7 的组合满足和是 3 的倍数。要得到最大的三位数，百位应选 7，十位选 5，即 750；要得到最小的三位数，百位选 5，十位选 7，即 570。
（三）质数和合数的应用
例 3：两个质数的和是 18，积是 65，这两个质数分别是多少？
【解题思路】将 65 分解因数，。在这些因数中，1 既不是质数也不是合数，65 是合数，而 5 和 13 均为质数，且，所以这两个质数是 5 和 13。
三、巩固练习
（一）基础题
一个数既是 28 的因数，又是 28 的倍数，这个数是（ ）。
找出 24 的所有因数：（ ），其中最大因数是（ ），最小因数是（ ）。
在 1、2、15、23、36、47、55、68、71、90 中，质数有（ ），合数有（ ）。
（二）中等题
五（2）班学生排队做操，若每排站 6 人或每排站 8 人，都正好站完，且班级人数在 40 - 50 人之间，五（2）班有多少人？
把 45 块水果糖和 30 块巧克力分别平均分给一个组的同学，都能正好分完，这个组最多有几位同学？
从数字卡片 2、3、4、5 中任选三张，按要求组成三位数。
奇数：（ ）
2 的倍数：（ ）
3 的倍数：（ ）
5 的倍数：（ ）
既是 2 的倍数，又是 3 和 5 的倍数：（ ）
（三）拓展题
有三个自然数，它们的和是 1251，这三个自然数的公因数最大可以是多少？
一个四位数，千位数字是 4，这个数同时是 2、3、5 的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？
学校组织五年级学生参加植树活动，人数在 30 和 50 人之间，如果分成 3 人一组，4 人一组，6 人一组或 8 人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人？
把 32 支铅笔和 40 块橡皮全部平均分给同样数量的小朋友，最多能分给几个小朋友？每人将分得几支铅笔和几块橡皮？
参考答案
（一）基础题
28
1、2、3、4、6、8、12、24；24；1
质数：2、23、47、71；合数：15、36、55、68、90
（二）中等题
6 和 8 的最小公倍数是 24，24×2 = 48，所以五（2）班有 48 人。
45 和 30 的最大公因数是 15，所以这个组最多有 15 位同学。
奇数：243、253、423、453、523、543
2 的倍数：234、254、324、342、352、354、432、452、524、532、534、542
3 的倍数：234、243、324、342、423、432
5 的倍数：235、245、325、345、425、435
既是 2 的倍数，又是 3 和 5 的倍数：无
（三）拓展题
设这三个自然数分别为，，（、、互质），则。当时，，所以这三个自然数的公因数最大可以是 417。
同时是 2 和 5 的倍数，个位一定是 0。要是 3 的倍数，各位数字之和是 3 的倍数。千位是 4，要使四位数最小，百位为 0，十位为 2，这个数是 4020；要使四位数最大，百位为 9，十位为 9，这个数是 4980。
3、4、6、8 的最小公倍数是 24，在 30 和 50 人之间，24 的倍数是 48，所以五年级参加植树活动的学生有 48 人。
32 和 40 的最大公因数是 8，所以最多能分给 8 个小朋友。每人分得铅笔支，橡皮块。
一、知识要点回顾
（一）因数和倍数的基本概念
★在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就称被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。例如，在中，12 是 3 和 4 的倍数，3 和 4 是 12 的因数。因数和倍数是相互依存的，不能孤立存在。
★一个数的因数个数有限，最小因数是 1，最大因数是它本身；一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。
（二）2、5、3 的倍数特征
★2 的倍数：个位数字是 0、2、4、6、8 的数。其中，是 2 的倍数的数被称作偶数，不是 2 的倍数的数则为奇数。
★5 的倍数：个位数字是 0 或 5 的数。
★3 的倍数：一个数各位数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
（三）质数与合数
★质数：只有 1 和它本身两个因数的数，如 2、3、5、7 等。最小的质数是 2。
★合数：除了 1 和它本身，还有其他因数的数，如 4、6、8、9 等。最小的合数是 4。
★ 1 既不是质数也不是合数。
二、典型例题剖析
（一）因数和倍数的应用
例 1：小明家的电话号码是一个七位数，百万位上是 6，万位上是 8，任意相邻的三个数字之和是 19。请你写出小明家的电话号码。
【解题思路】已知百万位数字为 6，万位数字为 8，由于任意相邻三个数字之和是 19，所以十万位数字为。接着，依据此规则，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为。因此，小明家的电话号码是 6586586。
（二）2、5、3 的倍数特征的应用
例 2：从 0、3、5、7 这四个数字中任选三个数字组成一个三位数，使它既是 2 的倍数，又是 3 和 5 的倍数，这个三位数最大是多少？最小是多少？
【解题思路】因为这个三位数既是 2 的倍数，又是 5 的倍数，所以个位数字必定是 0。要使这个三位数是 3 的倍数，那么各位数字之和需是 3 的倍数。从 3、5、7 中选取两个数字，只有 5 和 7 的组合满足和是 3 的倍数。要得到最大的三位数，百位应选 7，十位选 5，即 750；要得到最小的三位数，百位选 5，十位选 7，即 570。
（三）质数和合数的应用
例 3：两个质数的和是 18，积是 65，这两个质数分别是多少？
【解题思路】将 65 分解因数，。在这些因数中，1 既不是质数也不是合数，65 是合数，而 5 和 13 均为质数，且，所以这两个质数是 5 和 13。
三、巩固练习
（一）基础题
一个数既是 28 的因数，又是 28 的倍数，这个数是（ ）。
找出 24 的所有因数：（ ），其中最大因数是（ ），最小因数是（ ）。
在 1、2、15、23、36、47、55、68、71、90 中，质数有（ ），合数有（ ）。
（二）中等题
五（2）班学生排队做操，若每排站 6 人或每排站 8 人，都正好站完，且班级人数在 40 - 50 人之间，五（2）班有多少人？
把 45 块水果糖和 30 块巧克力分别平均分给一个组的同学，都能正好分完，这个组最多有几位同学？
从数字卡片 2、3、4、5 中任选三张，按要求组成三位数。
奇数：（ ）
2 的倍数：（ ）
3 的倍数：（ ）
5 的倍数：（ ）
既是 2 的倍数，又是 3 和 5 的倍数：（ ）
（三）拓展题
有三个自然数，它们的和是 1251，这三个自然数的公因数最大可以是多少？
一个四位数，千位数字是 4，这个数同时是 2、3、5 的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？
学校组织五年级学生参加植树活动，人数在 30 和 50 人之间，如果分成 3 人一组，4 人一组，6 人一组或 8 人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人？
把 32 支铅笔和 40 块橡皮全部平均分给同样数量的小朋友，最多能分给几个小朋友？每人将分得几支铅笔和几块橡皮？
参考答案
（一）基础题
28
1、2、3、4、6、8、12、24；24；1
质数：2、23、47、71；合数：15、36、55、68、90
（二）中等题
6 和 8 的最小公倍数是 24，24×2 = 48，所以五（2）班有 48 人。
45 和 30 的最大公因数是 15，所以这个组最多有 15 位同学。
奇数：243、253、423、453、523、543
2 的倍数：234、254、324、342、352、354、432、452、524、532、534、542
3 的倍数：234、243、324、342、423、432
5 的倍数：235、245、325、345、425、435
既是 2 的倍数，又是 3 和 5 的倍数：无
（三）拓展题
设这三个自然数分别为，，（、、互质），则。当时，，所以这三个自然数的公因数最大可以是 417。
同时是 2 和 5 的倍数，个位一定是 0。要是 3 的倍数，各位数字之和是 3 的倍数。千位是 4，要使四位数最小，百位为 0，十位为 2，这个数是 4020；要使四位数最大，百位为 9，十位为 9，这个数是 4980。
3、4、6、8 的最小公倍数是 24，在 30 和 50 人之间，24 的倍数是 48，所以五年级参加植树活动的学生有 48 人。
32 和 40 的最大公因数是 8，所以最多能分给 8 个小朋友。每人分得铅笔支，橡皮块。