甘肃省张掖市肃南裕固族自治县第二中学2024—2025学年下学期九年级第一次月考数学（含答案）

甘肃省张掖市肃南裕固族自治县第二中学2024—2025学年
下学期九年级第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各数中为负数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在和之间的正整数有（ ）
A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3. 如图，直角三角板的直角顶点在直线上，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 若，是正整数，且满足，则下列与关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，则该三角形边上的高为（ ）
A. 2 B. C. D.
6. 如图是嘉嘉用6块相同的小正方体搭成的几何体，若淇淇拿走其中的个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，则的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 某服装店现有一款热卖的羽绒服，进价为280元／件，售价为400元／件，现准备打折销售，在保证利润率（利润率）不低于的情况下，打折，则下列说法正确的是（ ）
A. 依据题意得
B. 依据题意得
C. 该款羽绒服可以打7.5折
D. 该款羽绒服最多打7.7折
8. 已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（ ）
A. 甲和乙的方法均正确
B. 甲和乙的方法均不正确
C. 甲的方法正确，乙的方法不正确
D. 甲的方法不正确，乙的方法正确
9. 关于的一元二次方程中，，则方程的根的情况为（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个正实数根
C. 两根之积为 D. 两根之和为
10. 如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知两地相距1200米，甲和乙两人均从地出发，向地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离（米）和甲出发的时间（分）之间的关系，现有如下结论：①乙每分钟比甲多走10米；②乙用18分钟追上了甲；③乙比甲早1分钟到达终点；④图中点的坐标为．则下列结论正确的有（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
12. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，点位于第一象限内，，并且点到轴的距离为，点对应的坐标为，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且，或 D. 且，或
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 放学后轮到第六组的同学们打扫卫生，该组有4名男生，5名女生，打扫结束后需要随机选择一名同学倒垃圾，则选到男生的概率是______．
14. 如图，点和点在反比例函数图象上，延长与轴相交于点，若，则点的纵坐标为______．
15. 如图，将沿弦向下翻折，使翻折后的弧恰好经过原所在圆的圆心，已知，若点是的中点，点在弦上，则周长的最小值为______．
16. 如图，已知抛物线，线段，若抛物线和线段有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数的值为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，数学课上，老师用四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例如：若按的顺序运算，则可列算式．
（1）直接写出算式的结果；
（2）若嘉嘉同学选择了顺序，请列出算式并计算该算式的结果．
18. 【发现】两个差为4的正整数的积与4的和总是某个正整数的平方．
计算】
（1）一个数为3，另一个数为7，它们的差为4，则是正整数______的平方．
（2）若较小的正整数是，算出这两个正整数的积与4的和，并说明该数是哪个正整数的平方．
【延伸】两个差为6的正整数的积与的和始终为某个数的平方，若较小的正整数为，求的值．
19. 心理健康月期间，某中学进行了情景剧表演，现有4位评委老师甲、乙、丙、丁给两个班的情景剧现场打分，满分10分，图1是1班和2班不完整的评分条形统计图，已知两个班的平均分相等．
（1）评委丙给2班的打分是______分；
（2）1班成绩的众数是______分，2班成绩的中位数是______分；
（3）若按照图2的四位评委老师的评分权重计算两个班级的最终得分，请说明哪个班能够获胜．
20. 为了加强道路管理，严查超速行为，某地交管部门在主要路段拍照测速，如图13，一架无人机在道路正上方的点处，米，现有一辆轿车沿着方向行驶，无人机第一次拍摄时，轿车在点处，测得轿车的俯角为，无人机第二次拍摄时，轿车行驶到点，测得轿车的俯角为，无人机两次拍摄的时间间隔为3秒．（图中的点均在同一平面内，参考数据：）
（1）求轿车在拍摄时间内行驶的距离的长．
（2）若该路段限速60千米／时，超速未超过，采取警告措施，超过，则需要交罚款．请通过计算说明该司机是否需要交罚款．
21. 如图，已知在平面直角坐标系中，点，，，．
（1）求直线的解析式；
（2）当时，连接，若直线与线段有交点，求整数的值；
（3）若线段上存在一点，使得点关于直线对称点在轴上，请直接写出的取值范围．
22. 如图，已知为的直径，点在的延长线上，点是上的两点，连接，，，，，其中，是的切线．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）若，求的半径．
23. 嘉嘉和淇淇在一起玩弹力球，在点处有一个发射装置，向右上方发射一个弹力小球，小球的运动轨迹是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，点，在抛物线上，抛物线交轴于点，最终，小球落在了轴上的点处，随后因为弹力作用，小球被弹起来，继续向右沿着另一条抛物线运动，抛物线和形状相同，且最大高度为．
（1）求抛物线的表达式和其顶点坐标．
（2）在点右侧有一个截面为等腰直角三角形的球筐，斜边为入口，，，当小球落在斜边（包括端点）上时，小球落入球筐，若点的坐标为，判断小球被反弹后，是否能落入球筐，若能，请说明理由，若不能，则为了小球落入球筐，需平移球筐，求平移后点横坐标的取值范围．
24. 【发现问题】如图1，是等边三角形，点在边上，连接，以为边向下作等边三角形，连接．
（1）判断和的位置关系，并说明理由．
（2）探究和的数量关系．
【问题拓展】
（3）如图2，是等边三角形，点在边上，点在边上，连接，以为边向下作等边三角形（点在线段下方），连接．探究和的数量关系．
（4）如图3，在菱形中，，，点为的中点，点为线段延长线上一点，连接交于点，以为边向上作等边三角形，连接．若时，请直接写出的长．
答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. B．
2. C．
3. B．
4. D．
5. B．
6. C．
7. D．
8. A．
9. D．
10. B
11. C
12. D
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. ．
14. 4．
15. ．
16. 2或4．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）解：．
（2）解：由题意列出算式为，
原式，
所列算式的计算结果为．
18. 解：（1）．
故答案为：5；
（2）较小的正整数是，则较大的正整数是，
，
该数是正整数的平方．
【延伸】解：较小的正整数为，则较大的正整数为．
，
要想是完全平方式，则．
19. （1）解：1班平均分为（分），
2班平均分也为9分，
评委丙给2班的打分为（分），
故答案为：10；
（2）解：1班成绩中有两位老师给了9分，则1班成绩众数为9分，
将2班成绩从小到大排列为7，9，10，10，
2班成绩的中位数为（分）；
（3）解：2班获胜，
说明如下：
根据扇形统计图中圆心角的度数可知，甲所对的圆心角为，乙和丁所对的圆心角为，丙所对的圆心角为，
四位评委的权重分别为甲：，乙：，丙：，丁：，
则1班得分为（分）；2班得分为（分）；
，
2班获胜．
20. （1）
解：由题意可得：，，，
在中，，，米，
∴，
设米，则米，
由勾股定理可得：，即，
解得：（负值不符合题意，舍去），
∴米，
∵，
∴，
∴米，
∴轿车在拍摄时间内行驶的距离的长为60米；
（2）解：司机需要交罚款，理由如下：
由题意可得，司机的速度为：，
∵（），，
∴司机需要交罚款．
21. （1）解：设直线的函数解析式为，
直线经过点，，
，
，
直线的函数解析式为．
（2）解：当时，点的坐标为，
当直线经过点时，可列方程为，
解得，
当直线经过点时，可列方程为，
解得，
，
整数的值为或．
（3）解：．
如图，设线段关于直线的对称线段为，则垂直平分线段和，
点，，
，
，
，
．
若点恰好在轴上， 为等腰直角三角形．
点，
点的坐标为．
当点向上平移时，线段与轴有交点，即线段上存在一点，使得点关于直线的对称点在轴上，
．
22. （1）解：连接，如图所示：
，
在中，所对的圆心角，
又是的切线，
，
在中，，
；
（2）证明：是切线，
．
为直径，
，
，
．
又，
．
又为公共角，
；
（3）解：设的半径为，
在中，，
．
又，
，
．
23. （1）解：抛物线过点和，
抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的表达式为，
过点，
将点坐标代入，
可得：，
，
抛物线的表达式为，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：抛物线和抛物线形状相同，最大高度为，
设的表达式为，
同样也经过点，代入可得，
解得：（舍），，
抛物线的表达式为，
将代入，
可得：
解得:（舍），，
点的横坐标为，
小球不能落入球筐，
，
令，
或（舍去），
．
当点横坐标的取值范围为时，小球可以落入球筐．
24. 解：（1）．
理由如下：
和都是等边三角形，
，，，
，
．
又，
，
．
（2），
，
，
和的数量关系是．
（3）如图，在边上截取，连接，可知为等边三角形，
．
为等边三角形，
，，
，
．
又，
，
和的数量关系为．
（4）
如图，过点作，交于点．
在菱形中，，，点为的中点，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
．
∵
∴
∴
，
∴
是的中位线．
，
．
在等边三角形中，，，
．
，
．
又，，
，
．