2.3《二次函数与一元二次方程、不等式 》 第一课时 教学设计

《一元二次不等式及其解法》教学设计
一．教材分析
本节课是高一数学第一册第二章第三节内容，是基础内容。一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。从思想层面看，本节课突出本现了数形结合思想，借助二次函数的图象研究一元二次方程与一元二次不等式，使我们研究方程和不等式的方法更具有一般性和代表性。因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。
二．学情分析
现阶段高一学生已经掌握了一元一次不等式的解法，一元二次方程的求根等基础知识，不等式的一些基本性质，具备了一定的数形结合的思想，有着一定观察与总结、化归、探究能力.
三．教学目标
1.能够以具体的一元二次函数变化情况为情景，通过函数图象发现一元二次不等式与相应一元二次函数、一元二次方程的联系，并进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，归纳总结出借助一元二次函数解一元二次不等式的方法步骤，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
2.通过从具体实例中抽象出一元二次不等式，在探究一元二次不等式解法中体会化归与转化、函数与方程、数形结合在解决问题时的意义与价值，体会特殊到一般的研究方法，学会从特殊现象中提炼一般规律，形成一般结论.
3.通过这节课的学习， 发展学生“从形到数”“从数到形”的直观想象素养，“由具体到抽象”“从特殊到一般”的数学抽象素养，以及数学运算等核心素养；体会数学的应用意识和提升数学建模的核心素养.
教学重点：
熟练掌握一元二次不等式的解法.
教学难点：
正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系，探求一元二次不等式的解法.
四． 教学过程：
教学 环节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
创设问题情境，引入课题 问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24m,围成的矩形区域的面积要大于,则这个矩形的边长为多少米？ 教师提出问题，要求学生设立未知数，尽可能少引入未知量，建立不等式关系：x2-12x+20<0。学生是很容易忘记x的取值范围，教师需要明确补充完善 打造学生建模能力，经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，引出课题。
一元二次不等式的定义 1.与一元一次不等式类比，这个不等式有什么特点？ 2.根据一元一次不等式的定义，能否给这不等式起个名字？并给出一般形式？ 学生回答问题，教师点评并在白板上展示. 通过类比一元一次不等式得到一元二次不等式定义，让学生了解定义的一般规律，体会特殊到一般的数学思想。
探究一元二次不等式的解法 思考：2x-7>0的解集是什么？你能用该方法解出 x2-12x+20<0的解集吗？ 1.在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题。 如：利用y=2x-7的图象，观察2x-7>0、2x-7<0、 2x-7=0的解集. （1）y=2x-7的图象与x轴交点的横坐标是多少？ （2）在函数y=2x-7中， 2x-7>0,即 >0,对应的函数图象位于x轴 ，图象所对应的x的范围为 ； 2x-7<0,即 <0,对应的函数图象位于x轴 ，图象所对应的x的范围为 ； 2x-7=0,即 =0,对应的函数图象位于x轴 ，图象所对应的x的值为 ； 2.类似的，能否从二次函数的观点来看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 画二次函数图象（草图），通过图象观察一元二次不等式 、 、 的解集. 思考： ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集，也就是函数 y=ax2+bx+c(a＞0)哪段图象对应的x的范围？ ax2+bx+c<0(a＞0)的解集呢？ 3.思考：对于一般一元二次不等式的解集怎么求呢？ △=b2-4acΔ＞0Δ=0[来Δ＜0y=ax2+bx+c(a＞0)图象ax2+bx+c=0(a＞0)的根ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集ax2+bx+c＞0(a<0)的解集
学生通过不等式的性质解出2x-7>0，引导学生了解到用不等式性质解 x2-12x+20<0是不可行的。 1.教师引导学生完成填空.并在黑板上画出不等式、方程与函数图象之间的对应，并总结不等式、方程与函数图象的对应。 2.类比一元一次不等式的解法，让学生小组讨论一元二次不等式、方程与二次函数图象的对应，给出不等式的解集。学生回答，教师在白板上展出不等式、方程与函数的图象之间的对应。 3.学生回答问题，教师点评并在白板上展示答案。 让学生了解到用不等式性质解一元二次不等式是不可行的。 1.通过回顾一元一次不等式、方程与函数图象对应关系，了解到利用函数图象求不等式的一般方法。 2.通过类比利用函数图象解一元一次不等的方法，探究该方法求一元二次不等式的可行性.让学生感受类比思维在数学中的重要性。体会“三个二次”的关系。 3.归纳到一般，让学生了解到解一元二次不等式情况的多样性和方法的统一性，培养学生从特殊到一般的思维。
例题解析 求不等式的解集. 思考：请归纳出解一元二次不等式有怎样的步骤？ 求不等式９x －６x＋１＞０的解集 . 变式1：求不等式９x －６x＋１≥０的解集 . 变式2：求不等式９x －６x＋１≤０的解集 . 变式3：求不等式９x ＋１>６x的解集 . 教师引导学生解决例题1，在黑板上板书。后面变式、例题学生回答或到黑板上完成。教师板书步骤 通过例题，加强学生对用函数图象解一元二次不等式方法的理解，进一步感受数形结合思维的重要性。
归纳小结 1.“三个二次”有怎样的关系？ 2.解一元二次不等式有怎样的步骤？ 3．你学会了哪些数学思维方法？ 学生小结 教师补充 让学生学会自我梳理知识.
布置作业 P53页练习 教师投影展示 学生标记作业 巩固知识，了解学生掌握情况。
五．板书设计
一元二次不等式及其解法 一元二次不等式及其定义 例题1 2. 解一元二次不等式的步骤 屏幕 随机板书