期中真题专项复习04 解答题（含答案）--2024-2025学年八年级数学下册（华师大版）

2024-2025学年八年级数学下册（华师大版）
期中真题专项复习04 解答题
一、解答题
1．（2024八下·重庆市期中）如图1，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴正半轴上且，直线过A，C两点．
（1）求直线的解析式；
（2）直线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标，若不存在说明理由；
（3）如图2，点D是x轴正半轴上一点且，点N是y轴上的一点，使得直线与直线所成的夹角等于与的和，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
2．（2024八下·重庆市期中）如图．直线经过，
（1）求直线的解析式；
（2）直线的解析式为与直线交于点D，与x轴交于点C，求的面积．
3．（2024八下·重庆市期中）如图，以正方形ABCD的CD边长作等边△DCE，AC和BE交于点F，连接DF．
（1）求∠AFD的度数；
（2）求证：AF＝EF．
4．（2024八下·铜梁期中）如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒．
（1）________，________．（用含t的代数式表示）
（2）当四边形为平行四边形时，求t的值．
（3）如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
5．（2024八下·南岸期中）如图，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B．点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线的函数解析式．
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．
①若的面积为2，求点P的坐标．
②点M在线段上运动的过程中，连接，若，求点Q的坐标．
6．（2024八下·重庆市期中）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求的面积．
7．（2024八下·綦江期中）如图1，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，动点Q以1个单位长度每秒的速度从C点出发，沿C→B→A运动，到达A停止运动，设点Q的运动时间为x秒，△QAC的面积为y，请解答以下问题：
图1
（1）求出y关于x的函数关系式并注明x的取值范围；
（2）在图2中画出y的函数图象；
图2
（3）根据图象直接写出当△QAC面积等于6时对应x的值.
8．（2024八下·綦江期中）如图.直线经过，
（1）求直线的解析式；
（2）直线的解析式为与直线交于点D，与x轴交于点C，求△BDC的面积.
9．（2024八下·綦江期中）如图，菱形的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．
（1）求证：四边形AEBO为矩形；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．
10．（2024八下·丰都县期中） 如图，正方形中，E是边上一点，连接，以为边在右侧作正方形，连接，交于点N，连接．过点F作交的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）求证：．
11．（2024八下·重庆市期中）如图，在平面直角坐标系中，直线，与x轴，y轴交于点A、B，直线与直线交于点D，直线l过点A与y轴交于点C，点C的纵坐标是．
（1）求直线的解析式；
（2）若点E在x轴上，且，求点E坐标；
（3）点Q是线段的一点，且到y的距离为1，点P在直线上的动点，求的最小值．
12．（2024八下·丰都县期中） 如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，与交于点O．求证：．
13．（2024八下·重庆市期中）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点．且经过定点，直线与交于点．
（1）求的面积；
（2）在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由：
（3）平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标（并请写出求出其中一个点的过程）．
14．（2024八下·重庆市期中）近日，白象方便面爆红全网，其中“红烧牛肉面”与“麻辣竹笋面”深受网友喜爱．某超市订购“红烧牛肉面”花费6000元，订购“麻辣竹笋面”花费3200元，其中一箱“红烧牛肉面”的订购单价比一箱“麻辣竹笋面”的订购单价多20元，并且订购“红烧牛肉面”的数量是“麻辣竹笋面”的1.25倍．
（1）求超市订购“红烧牛肉面”和“麻辣竹笋面”的数量分别是多少箱；（请列分式方程作答）
（2）该超市以100元和80元的单价销售“红烧牛肉面”和“麻辣竹笋面”，在“红烧牛肉面”售出，“麻辣竹笋面”售出后，超市为了尽快回笼资金，决定对剩余的“红烧牛肉面”每箱打a折销售，对剩余的“麻辣竹笋面”每箱降价2a元销售，很快全部售完，若要保证超市总利润不低于6060元，求a的最小值．
15．（2024八下·綦江期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E是∠DAB的角平分线与BD的交点，小谷想在平行四边形ABCD里面再剪出一个以AE为边的平行四边形，小谷的思路是：做∠BCD的角平分线，将其转化为证明三角形全等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形使问题得到解决，请根据小谷的思路完成下面的作图与填空：
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的角平分线与BD交于点F，连接AF，CE．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）根据（1）中作图，求证：四边形AECF为平行四边形．
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC， ▲ ．
∴ ▲ .
∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD.
∴，.
∴ ▲
∵在△AED与△CFB中，
∵，
∴△AED≌△CFB（ASA）．
∴AE＝CF， ▲ ．
∴180°－∠AED＝180°－∠CFB，即∠AEF＝∠CFE，
∴ ▲ ．
∴四边形AECF为平行四边形．
16．（2024八下·重庆市期中）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着落，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，中国航天又达到了一个新的高度．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A.；B.；C.；D.）其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表和九年级抽取的学生成绩扇形统计图如表和图：
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 90 90 b 38.7
九年级 90 c 100 38.1
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）你认为这次比赛中 年级成绩相对更好，理由是 ；
（3）若该校九年级共1400人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（）的九年级学生人数．
17．（2024八下·江北期中）如图，在中，，是直线上的两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，且，求的长．
18．（2024八下·重庆市期中）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，．
（1）求直线的解析式；
（2）点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标；
（3）如图2，在轴负半轴有一点，将直线平移过点得直线，连接，若点为直线上一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
19．（2024八下·重庆市期中）解方程
（1）
（2）
20．（2024八下·万州期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出一次函数时，自变量的取值范围；
（3）点P为反比例函数图象上第一象限的一点，若，求P点坐标．
21．（2024八下·万州期中）阳春三月催新芽，植树造林正当时，为提升人们的环保意识，传播普及“植绿、护绿、爱绿”的生态文明意识，同时又为大家创造亲身体验劳动的乐趣，感受美化环境的意义．开心农场在3月初推出了植树活动．农场购入甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花费了4000元，购买乙种树苗花费了5400元，已知购买一棵甲种树苗比购买一棵乙种树苗多花4元，且购买的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍．
（1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元？
（2）适逢植树节在周末，且天气晴好，不断有客户预约参加植树活动，于是农场决定第二次购入甲、乙两种树苗共300棵．在第二次购买中，一棵甲种树苗的价格比第一次购买时的价格降低了12.5%，一棵乙种树苗的价格比第一次购买时的价格减少了4元．如果第二次购买甲、乙两种树苗的总费用不超过10000元，那么该农场第二次最多可购买甲种树苗多少棵？
22．（2024八下·开州期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点D的坐标为，．
（1）求点C的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使得的值最小，请求出的最小值及点P的坐标；
（3）点Q在x轴上，直接写出以点B、D、Q为等腰三角形时的点Q的坐标．
23．（2024八下·綦江期中）如图，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴正半轴上且，直线y＝kx＋b过A，C两点.
图1
（1）求直线AC的解析式；
（2）直线AC上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标，若不存在说明理由；
（3）如图2，点D是x轴正半轴上一点且OD＝OC，点N是y轴上的一点，使得直线DN与直线DB所成的夹角等于∠ABC与∠ACB的和，直接写出所有符合条件的点N的坐标.
图2
24．（2024八下·梁平期中） 如图，点分别在正方形的边上，分别交于点，若．求证：
（1）
（2）
25．（2024八下·梁平期中） 如图，为平行四边形的对角线，，E是中点，F是的中点，连接并延长交于点G．连接．
（1）求证：．
（2）证明四边形是菱形．
26．（2024八下·开州期中）如图，在菱形中，点、分别是、上一点，连接、，且，．
（1）求证：；
（2）若，点是线段的中点，连接，求证：．
27．（2024八下·重庆市期中）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．
图1 图2
（1）求直线的解析式；
（2）点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标；
（3）如图2，将直线水平向左平移个单位得直线，直线与轴交于点，连接，若点为平面内一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出直线与轴交点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．（1）：；
（2）存在，M的坐标为或；
（3）N的坐标或．
2．（1）；
（2）．
3．（1）解：在△ADF和△ABF中，
，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
又∵△DCE是等边三角形，
∴CE＝CB，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180﹣90﹣60）÷2＝15°，∠ABF＝75°，
∴∠AFD＝∠AFB＝180°﹣45°﹣75°＝60°；
（2）证明：∵由（1）可得∠ABF＝75°＝∠ADF＝75°，
∴∠FDC＝15°，
∴∠EDF＝75°，∠EDF＝∠ADF，
在△AFD和△EFD中，
，
△AFD≌△EFD（SAS），
∴AF＝EF．
（1）通过证明 △ADF≌△ABF ，得到CE=CB，继而可求出 ∠CBE＝∠CEB＝15°，∠ABF＝75°，在根据三角形内角和定理，最后求出 ∠AFD=60°；（2）由（1）得到 ∠ABF＝∠ADF＝75°，在求出 ∠FDC＝15° ， 算出∠EDF＝75° ，在证明 △AFD≌△EFD 即可推出 AF＝EF 。
4．（1）
（2）
（3）或2
5．（1）
（2）①或；②或
6．（1）
（2）
7．（1）
（2）函数的图象如图：
（3）x＝3或x＝5
（1）分两种情况：点Q在BC上和点Q在AB上，分别根据三角形面积计算公式求解即可；
（2）根据两点法画出函数图象即可；
（3）在函数图象上画出直线y=6，求出直线与图象交点的横坐标即可．
8．（1）由题意得：
解得：，
所以的解析式为：
（2）联立：得
所以：
令得
所以
所以
（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）联立直线与直线的解析式，求出点D坐标，再根据直线的解析式求出点坐标，确定三角形BDC的底和高，利用三角形面积公式即可求解。
9．（1）证明：
∵，
∴四边形AEBO是平行开，
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴，即.
∴四边形AEBO是矩形
（2）∵菱形ABCD，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形ABCD的面积为：
（1）先证明四边形AEBO是平行四边形，再根据菱形的性质可得∠AOB=90°，结合矩形的定义求证即可；
（2）根据菱形的性质求出OA的长，再利用勾股定理求AE的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
10．（1）∵四边形和四边形是正方形，且，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）延长到M，使得，连接，如图：
∵四边形是正方形，
∴，，.
在和中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴.
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（1）根据正方形的性质准备条件，根据AAS证明，根据全等三角形的性质求证即可；
（2）延长EB到M，使得BM=DN，连接AM，先根据SAS证明，再根据SAS证明，根据全等三角形的性质即可求证．
11．（1）
（2）或
（3）
12．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴．
根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，根据平行线的性质准备条件，根据ASA证，即可得出结论．
13．（1）6
（2）存在，点E的坐标为
（3）存在，点Q的坐标为或或
14．（1）订购“红烧牛肉面”的数量是100箱，“麻辣竹笋面”的数量是80箱．
（2）8
15．（1）作图如图.
（2）证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，．
∴
∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD.
∴，.
∴
∵在△AED与△CFB中，
∵，
∴△AED≌△CFB（ASA）．
∴AE＝CF，．
∴180°－∠AED＝180°－∠CFB，即∠AEF＝∠CFE，
∴．
∴四边形AECF为平行四边形．
（1）根据作已知角的平分线的作法，求作即可；
（2）根据推理过程，结合平行四边形的性质以及角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，求解即可．
16．（1）40；96；
（2）九，八年级和九年级的平均成绩相同，九年级的中位数和众数都比八年级高，说明九年级的高分段人数多，并且九年级的方差比八年级的方差小，成绩更稳定．
（3）980人
17．（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
．
．
在和中，
，
．
，．
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
∴由勾股定理可得：，
连接交于，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
设，
，
，
，
在△ADF中，∠ADF=90°，
由勾股定理可得：，
，
解得：（负值舍去），
的长为．
故答案为：.
（1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质得到，再结合AE=CF，即可证出四边形是平行四边形；
（2）先根据勾股定理求出的长度，再连接交于，求得，利用平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程求解即可.
18．（1）
（2）或
（3）存在，或
19．（1）x=；（2）无解
20．（1）
（2）或
（3）P点坐标
21．（1）购买一棵甲种树苗需要40元，购买一棵乙种树苗需要36元；（2）该农场第二次最多可购买甲种树苗133棵．
22．（1）
（2），
（3）或
23．（1）∵于x轴，y轴分别交于A，B两点
∴，
∵
∴
∴
解得：k＝2，b＝4
∴AC：
（2）
设
∴
∴
∴M的坐标坐标为或
（3）N的坐标或
解（3）情况一：如图所示，，为直线与直线所成的夹角，
，
点坐标为，又点，
设直线解析式为，
则，解得，，
直线解析式为，而直线的解析式为：，两者的一次项系数相同，
，
，
，
，
直线，
直线解析式为：，
直线可以看作是直线往右平移形成，故设直线解析式为：，
点坐标为，且点在直线上，
，解得，即直线解析式为：，
点坐标为．
情况二：如图所示，直线与直线交于点，与直线交于点，，为直线与直线所成的夹角，
，
，
又，
，即为等腰三角形，
，
设直线解析式为，
点坐标为，且点在直线上，
，解得，
直线解析式为，
设点坐标为，联立直线解析式：和直线解析式：，得
，解得（），
点坐标为，点，，
，
，
即
整理化简得，，即，
，
，解得，
直线解析式为：，
点坐标为：．
综上所述，所有符合条件的点N的坐标为和．
（1）先求出点A和点B的坐标，再求出点C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式；
（2）若直线上存在点M，设点M的横坐标为m，用含m的代数式表示点M的坐标，利用三角形的面积公式建立方程，求解即可；
（3）分2种情况，情况一：利用直线DB∥AC，当DN∥AB时满足条件，根据直线AB解析式设直线DN解析式为y=-4x+a，再根据点点D在直线DN上，即可求出a；情况二：直线DN与直线DB所成的夹角∠GDB与∠HAG相等，结合DB∥AC，可得到为等腰三角形，GD=GB，设直线DN解析式为y=mx+n，联立直线AB解析式，求出点G坐标，利用两点间的距离公式即可解出m．
24．（1）证明：延长到P使得，
由题意，，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）过点A作，过点D作交于点Q，连，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
（1）延长到P使得，先证出可得，再证出，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（2）过点A作，过点D作交于点Q，连，先证出，可得，再结合，利用勾股定理及等量代换可得.
25．（1）证明：（1）∵四边形平行四边形，
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴，
在和中，，
∴（AAS）；
（2）由（1）得：，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，是的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
（1）利用平行线的性质可得，，利用线段中点的性质可得，再利用“AAS”证出即可；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是菱形．
26．（1）四边形是菱形，
．
，
．
在与中，
，
≌，
，
，即；
（2）如图，延长到点，使，连接、．
点是的中点，
，
在与中，
，
≌，
，，
．
四边形是菱形，
．
由知，，且，．
，
，
是等边三角形，
，
．
由上述知，，
，．
，
．
，
．
在中，，
．
在与中，
，
≌，
，
易证≌，
故，即．
(1)根据菱形的性质得AB=AD，再由已知根据SAS可得≌，可得BE=DF，再由BC=DC，两式相减，即可得解.
(2)延长到点，使，连接、，根据SAS可证得△HAG≌△EFG，可得EF=AH，EF∥AH，由菱形的性质得∠C=60°，由(1)得EC=FC，从而得△EFC是等边三角形，因此EF=EC=AH，
导角可得∠FCE=∠HAD=60°，根据SAS可得△HAD≌△ECD，从而DE=DH，再由GH=GE，根据等腰三角形的三线合一，即可得证.
27．（1）
（2）或
（3）存在，直线与轴的交点坐标为或