期中真题专项复习03 解答题（含答案）--2024-2025学年八年级数学下册（北京版）

2024-2025学年八年级数学下册（北京版）
期中真题专项复习03 解答题
一、解答题
1．（2024八下·海淀期中）如图，四边形中，，，、分别是、的中点，，求的长．
2．（2024八下·海淀期中）已知：一次函数图象如图，
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP＝2，求点P的坐标．
3．（2024八下·北京市期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度，得到点，点在直线上．
（1）求的值和点的坐标；
（2）如果一次函数的图象与线段有公共点，则的取值范围是______．
4．（2024八下·海淀期中）在平面直角坐标系中，对于线段，若在坐标系中存在一点P使得四边形为菱形，则称线段为点O的“关联线段”．
（1）已知点，则下列点N中，可以使得成为点O的“关联线段”的是 　　；
①②③
（2）已知点O的“关联线段”过点，且，求出线段的最大值；
（3）已知点，若存在点O的“关联线段”与直线有交点，直接写出k的取值范围为 　　．
5．（2024八下·平谷期中）在平面直角坐标系中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P、Q两点为垂距等点．如图所示P、Q两点即为垂距等点．
（1）已知点A的坐标为．
① 在点中，为点A的垂距等点的是 ；
② 若点B在y轴的负半轴上，且A、B两点为垂距等点，则点B的坐标为 ；
（2）直线与x轴交于点C，与y轴交于点D．
① 当E为线段上一点时，若在直线上存在点F，使得E、F两点为垂距等点，求n的取值范围．
② 已知正方形的边长为2，是对角线的交点，且正方形的任何一条边均与某条坐标轴垂直．当E为直线l上一动点时，若该正方形的边上存在点G，使得E、G两点为垂距等点，直接写出t的取值范围．
6．（2024八下·北京市期中）在平面直角坐标系中，对于点，，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等积点．已知点．
（1）在，，中，点的等积点是_____．
（2）点是点的等积点，点在轴上，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标，写出求解过程．
7．（2024八下·北京市期中）如图，在中，，在边上截取，连接，过点作于点．已知，，如果是边的中点，连接，求的长．
8．（2024八下·北京市期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与x轴交于点．
（1）分别求直线和的表达式；
（2）过动点且垂直于轴的直线与，的交点分别为C，D，当点C 位于点D左方时，请直接写出n的取值范围．
9．（2024八下·北京市期中）已知直线经过点，．
（1）求直线的解析式；
（2）若直线与直线相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式的解集．
10．（2024八下·北京市期中）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若存在实数，，，使得且，则称点为以点和为端点的线段的等差点．
（1）若线段的两个端点坐标分别为和，则下列点是线段等差点的有__________；（填写序号即可）
①；②；③；④．
（2）点A，都在直线上，已知点A的横坐标为，，．
①如图1，当时，线段的等差点在线段上，求满足条件的点的坐标；
②如图2，点横坐标为2，以为对角线构造正方形，在正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段上存在其中某条线段的等差点，直接写出的取值范围__________．
11．（2024八下·北京市期中）已知一次函数．
（1）点在函数的图象上，求m的值．
（2）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．求点A、B的坐标．
（3）已知，求三角形的面积．
12．（2024八下·东城期中） 如图，正方形中，点是对角线上任意一点，连接，以点为垂足，过点作，交于点，连接，取的中点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）若，求的大小（用含的式子表示）；
（3）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
13．（2024八下·北京市期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由直线平移得到的，且经过点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，若对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
14．（2024八下·北京市期中）一次函数的图象经过点（-1，0）和（0，2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）若直线与该一次函数的图象相交，且交点在第三象限，直接写出n的取值范围．
15．（2024八下·北京市期中）在平面直角坐标系中，对于点，如果点满足条件：以线段为对角线的正方形，且正方形的边分别与轴，轴平行，那么称点为点的“和谐点”，如下图所示．
已知点，，．
（）已知点的坐标是．
①在，，中，是点的“和谐点”的是__________．
②已知点的坐标为，如果点为点的“和谐点”，求的值；
（）已知点，如果线段上存在一个点，使得点是点的“和谐点”，直接写出的取值范围．
16．（2024八下·北京市期中）一次函数的图象如图所示．
（1）求k，b的值；
（2）求一次函数的图象与两坐标轴所围成三角形的面积；
（3）根据图象，直接写出不等式的解集．
17．（2024八下·丰台期中）在平面直角坐标系中，，，．若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称点为矩形的矩宽点．
例如：下图中的点为矩形的一个矩宽点．
（1）在点，，中，矩形的矩宽点是______；
（2）若点为矩形的矩宽点，求的值．
18．（2024八下·朝阳期中）如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，AF＝5，BF＝12，AB＝13，BC＝19，求DF的长度．
19．（2024八下·朝阳期中）下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为角的平行四边形”的尺规作图过程．
已知：矩形．
求作：平行四边形，使．
作法：如图，
①分别以A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F；
②作直线；
③以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接；
④以点G为圆心，以长为半径作弧，交直线于点H，连接．则四边形即为所求作的平行四边形．
根据小明设计的尺规作图过程，填空：
（1）的大小为______________；
（2）判定四边形是平行四边形的依据是______________________________．
20．（2024八下·北京市期中）在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．
（1）如图1，已知点，．
①设点与线段上一点的距离为，则的最小值是　　，最大值是　　；
②在，，这三个点中，与点是线段的一对平衡点的是　　；
（2）如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于轴，对角线的交点为点，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是正方形的一对平衡点，求的取值范围；
（3）已知点，，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为．若线段上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出的取值范围．
21．（2024八下·西城期中）在平面直角坐标系中，对于直线和直线，在上取一点，在上取一点，若，以，为邻边作菱形，则菱形为的相关菱形，称为的相关菱角，的对边称为的相关菱边．特别地，当时，直线，即直线，代表轴．
例如：如图，，，，则菱形为的相关菱形，为的相关菱角，的对边为的相关菱边．
（1）若菱形是的相关菱形，则的相关菱角的度数是______；
（2）若菱形是的相关菱形，当点在的相关菱边上时，求的值；
（3）当的相关菱边与（其中）的相关菱边都经过点时，直接写出的取值范围．
22．（2024八下·东城期中） 在平面直角坐标系中，对于点和线段，其中，给出如下定义：若存在实数，使得，则称点是点关于线段的“中旋点”．
（1）已知点，点是关于线段的“中旋点”．
①若点的坐标是，则点的坐标是 ；
②若点的坐标是，点的坐标是，点是线段上任意一点，求线段长的取值范围；
（2）已知点，以为对角线构造正方形，在该正方形边上任取两点（包括顶点）构造线段，若直线上至少存在一个点关于的“中旋点”，直接写出的取值范围．
23．（2024八下·东城期中） 如图，在等腰中，．点为的中点，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止，过点作，交于点．设点运动的路程为，点的距离为．
（1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）解决问题：当点的距离恰好是点运动的路程的2倍时，点的距离是　 　．
24．（2024八下·西城期中）下表是一次函数（，为常数，）中与的两组对应值．
0
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知直线，当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围．
25．（2024八下·海淀期中）将平面直角坐标系中的一些点分成两类．每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点，，称与中的最大值为点M和点N的“垂平距离”，记作．将各类中任意两点间的最大“垂平距离”记为该类的“星内距离”，两个“星内距离”的最大值定义为这种分类的“星系距离”．
如图，，，，，．
（1）点A， B，E，O中，与点C的“垂平距离”为3的点是______；
（2）①点P是平面内的一个动点，若将点B，D，P分在同一类时，该类的“星内距离”是4，则动点P所构成图形的面积为______；
②已知直线上恰好存在唯一的一个点Q，满足将点B，D，Q分在同一类时，该类的“星内距离”是4，求b的值；
（3）已知直线l平行于，与x轴交于点，若l上的任意一点R均满足将点A，B，C，D，E，R分为两类时，所能得到的最小的“星系距离”大于4，请直接写出t的取值范围______．
26．（2024八下·海淀期中）如图，四边形是菱形，对角线，交于点O，E是延长线上一点，且，，，求的长度．
27．（2024八下·北京市期中）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两条坐标轴的距离之和等于点Q到两条坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为和谐点．例如，图1中的P，Q两点即为和谐点．
（1）已知点．
①在点中，点A的和谐点是 ；
②若点B在y轴上，且A，B两点为和谐点，则点B的坐标是 ；
（2）已知点，点，连接，点M为线段上一点．
①经过点且垂直于x轴的直线记作直线l，若在直线l上存在点N，使得M，N两点为和谐点，则n的取值范围是 ；
②若点，点，在以线段为斜边的等腰直角三角形的某条边上存在点K，使得M，K两点为和谐点，则m的取值范围是 ．
28．（2024八下·西城期中）在平面直角坐标系中，对于正方形和它边上的动点P，以为斜边作等腰且O，P，Q三点按顺时针排列，则称点Q是点P关于正方形的“相关点”．已知，，，，这里．
（1）如图1，若，当点P在正方形的边上运动时，设点P关于正方形的“相关点”为点Q．
①若点Q恰好也在正方形的边上，这样的点P的个数是_________；
A.0个；B.1个；C.2个；D.4个
②设点P的横坐标为p，求点Q的坐标；
（2）当时，对于正方形和它边上的动点P，则所有点P关于正方形的“相关点”组成图形的面积为_________；
（3）如图2，，，当点P在正方形的四条边上运动时，若线段上有且只有一个P关于正方形的“相关点”，直接写出a的取值范围．
29．（2024八下·东城期中）如图1，点A(a，b)在平面直角坐标系xOy中，点A到坐标轴的垂线段AB，AC与坐标轴围成矩形OBAC，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点A称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”.
(1)在点P(1，2)，Q(2，－2)，N(，－1)中，是“垂点”的点为 ；
(2)点M(－4，m)是第三象限的“垂点”，直接写出m的值 ；
(3)如果“垂点矩形”的面积是，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标 ；
(4)如图2，平面直角坐标系的原点O是正方形DEFG的对角线的交点，当正方形DEFG的边上存在“垂点”时，GE的最小值为 .
30．（2024八下·海淀期中）中，点是边上一点（不与B、C组合），连结，若P是的中点，则称点为中边的“有缘点”．其中，若、，则点的坐标为．
已知
（1）点、、、中，是中边的“有缘点”的有______．
（2）已知中，，点在轴上方，若第二、四象限的角平分线上存在边的“有缘点”，求的取值范围；
（3）中，在轴上，点的横坐标为t，交轴于点，交轴于点，且Q、M分别是、的中点，假设三边的“有缘点”组成图形，若图形的面积满足：，直接写出t的值．
答案解析部分
1．
2．（1）y＝﹣x+1；（2）P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．
3．（1），
（2）
4．（1）①③
（2）
（3）
5．（1）①，②
（2）①②或
6．（1）和
（2）或
7．2
8．（1）（2）
9．（1）
（2）
（3）
10．（1）①④
（2）①或；②或．
11．（1）6
（2）点的坐标为，点的坐标为
（3）4
12．（1）解：补全图形如下：
（2）解： 四边形为正方形
为的中点，
（3）解：
证明：连接，如图所示：
四边形为正方形
在和中，
，
为的中点，
由（2）可知
为等腰直角三角形，
（1）根据文字描述，补全图形即可；
（2）首先根据正方形的性质得出∠ADB=45°，进而得出∠ODE=45°-α，然后再根据直角三角形斜边上的中线，得出OE=OD，即可得出∠POE=90°-2α；
（3）。 连接，如图所示： 首先根据SAS可证得△ADE≌△CDE，从而得出AE=CE，然后通过证明△AOE是等腰直角三角形，得出，等量代换为CE=.
13．（1）
（2）
14．（1）；（2）．
15．（）①，；②或；（2）或
16．（1），
（2）4
（3）
17．（1）和
（2）或
18．3
19．（1）
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
20．（1）①3，；②
（2）
（3）
21．（1）或
（2）的值为
（3）
22．（1）解：①②设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，
∵点是线段上任意一点，∴可设，
∵点是关于线段的“中旋点”．∴，∴，∴，
∴，
令，∴，
∵，∴，
∴当时，的值随着m增大而减小，
∴当时，有最大值，当时，有最小值8，∴；
（2）或．
解：(2)如图2-1所示，当点M在上，点N在上时，
设，
∴，
∴，
∴
当点M固定时，点N从点C运动到点D，那么点Q的纵坐标不变，横坐标从0运动到，
当点N固定时，点M从点A运动到点D，那么点Q的横坐标不变，纵坐标从0运动到2，
∴当点M在上，点N在上时，点Q的运动区域即为四个点组成的正方形区域（不包括顶点E），
同理由对称性可知当点M与点N在正方形的邻边上时，点Q的运动区域为组成的正方形区域（不包括四个顶点）；
如图2-2所示，当点M在上，点N在上时，
设，
∴，
∴，
∴
当点M固定时，点N从点C运动到点D，那么点Q的纵坐标不变，横坐标从运动到，
当点N固定时，点M从点A运动到点D，那么点Q的纵坐标不变，横坐标从运动到，
∴当点M在上，点N在上时，点Q的运动区域即为线段；
同理由对称性可知当点M在上，点N在上时，点Q的运动区域为线段；
当点M和点N都在上时，设，同理得，
∴此时点Q的运功区域为线段（不包括端点），
由对称性可知，当M、N在同一边时，点Q的运动区域即为线段（不包括端点），
综上所述，点Q的运动区域为组成的正方形区域（不包括四个顶点）；
∵直线上至少存在一个点关于的“中旋点”，
∴直线与组成的正方形区域至少有一个交点（不包括顶点），
当直线恰好经过时，，解得；
当直线恰好经过时，，解得；
∴如图2-3所示，当或直线与组成的正方形区域至少有一个交点（不包括顶点），
∴若直线上至少存在一个点关于的“中旋点”，则或．
（1）①根据中旋点的定义，即可得出点Q的坐标；
②首先利用待定系数法求出直线EF的解析式，可设点P， 根据中旋点的定义，可得点Q(2-m，4-m），可得：PQ2=8(m-2)2+8，根据二次函数的性质，即可求得PQ的取值范围；
（2）首先分成两种情况讨论：当点M在上，点N在上时，可得点Q的运动区域为组成的正方形区域（不包括四个顶点）；当点M在上，点N在上时，点Q的运动区域为组成的正方形区域（不包括四个顶点）；综上所述，点Q的运动区域为组成的正方形区域（不包括四个顶点）；然后根据直线上至少存在一个点关于的“中旋点”，可得直线与组成的正方形区域至少有一个交点（不包括顶点），当直线恰好经过时，，解得；当直线恰好经过时，，解得；结合图象可得出若直线上至少存在一个点关于的“中旋点”，则或．
23．（1）解：，
，
点为的中点，
，
当点在上运动时，，
，
由题意得：，则，
，，
，
；
当点在上运动时，，
，
由题意得：，则，
，，
，
；
综上所述，；
（2）解：画出函数图象如图所示：
，
由图象可得，函数的最大值为；
（3）
解：（3）可分成两种情况：①当当点在上运动时，，2x=，解得：x=，所以y=，即 点的距离是；② 当点在上运动时，， 2x=，解得：x=（不合题意，舍去）；综上可得： 点的距离是；
故答案为：；
（1）关于的函数表达式 可分为两段来表示：① 当点在上运动时，，可得出BP=2+x， 根据含30°锐角的直角三角形的性质，可得出； ② 当点在上运动时，， 可得出CP=6-x，从而根据含30°锐角的直角三角形的性质，可得出；综上所述，可得出：；
（2）根据界点，分别描出点（0，1），（2，2）及（6，0），连接（0，1），（2，2），再连接（2，2），（6，0），即可得出函数图象，观察函数图象，可得函数的最大值为2；
（3）可分成两种情况：①当当点在上运动时，，2x=，解得：x=，所以y=，即 点的距离是；② 当点在上运动时，， 2x=，解得：x=（不合题意，舍去）；综上可得： 点的距离是；
24．（1）
（2）
25．（1）A
（2）①；②或7
（3）或
26．
27．（1）①；②或
（2）①；②或
28．（1）①C；②点的坐标为
（2）24
（3）或或
29．（1）Q；（2）－；（3）（－4，），（－，4）；（4）8
30．（1），
（2）
（3）或