人教版五年级数学下册《长方体与正方体的表面积》讲义

五年级数学下册《长方体与正方体的表面积》讲义
一、知识框架
在之前的学习中，我们已经认识了长方体和正方体的基本特征，如长方体有 6 个面，相对的面完全相同；正方体的 6 个面都相等。在此基础上，我们进一步学习长方体与正方体的表面积，这不仅加深对立体图形的认识，也为解决生活中的实际问题提供帮助，后续还将关联到体积等知识的学习。
二、考点梳理
（一）长方体与正方体表面积的定义
★长方体：长方体 6 个面的总面积，叫做它的表面积。长方体相对的面的面积相等，即上面（下面）的面积 = 长 × 宽，前面（后面）的面积 = 长 × 高，左面（右面）的面积 = 宽 × 高。
★正方体：正方体 6 个面的总面积，叫做它的表面积。正方体的 6 个面都是正方形且面积都相等，每个面的面积 = 棱长 × 棱长。
（二）长方体与正方体表面积的计算公式
★长方体表面积公式：，其中表示长，表示宽，表示高。这是因为长方体有三组相对的面，每组相对面的面积分别为、、，将三组面的面积相加后乘以 2，就得到长方体的表面积。
★正方体表面积公式：，其中表示正方体的棱长。由于正方体 6 个面面积都相等，每个面面积为，所以正方体表面积为 6 个面面积之和，即 。
三、重点题型解析
（一）直接应用公式计算表面积
无盖容器表面积计算
例 1：做一个长 6 分米，宽 4 分米，高 3 分米的长方体无盖玻璃鱼缸，至少需要多少平方分米的玻璃？
【解题思路】这是一个求长方体部分表面积的问题。因为鱼缸无盖，所以只需求 5 个面的面积之和，即下面、前面、后面、左面、右面的面积之和。下面的面积为长 × 宽，即平方分米；前面和后面面积相同，为长 × 高，平方分米；左面和右面面积相同，为宽 × 高，平方分米。将这 5 个面的面积相加，平方分米。
【规范解答】
（平方分米）
答：至少需要 84 平方分米的玻璃。
长方体通风管表面积计算
例 2：加工厂要制作一个长方体形状的通风管，管口是边长 3 分米的正方形，管长 4 米。制作这个通风管至少需要多少平方米铁皮？
【解题思路】通风管是没有两端的面的，所以这个长方体通风管只有 4 个面，且这 4 个面的面积相等。先统一单位，3 分米 = 0.3 米，每个面的面积为 0.3×4，那么 4 个面的总面积就是。
【规范解答】
3 分米 = 0.3 米
（平方米）
答：制作这个通风管至少需要 4.8 平方米铁皮。
（二）棱长变化对表面积的影响
例 3：一个正方体的棱长扩大到原来的 2 倍，它的表面积扩大到原来的几倍？
【解题思路】设原正方体棱长为，则原表面积为。当棱长扩大到原来的 2 倍，新棱长为，新表面积为。用新表面积除以原表面积，，可知表面积扩大到原来的 4 倍。
【规范解答】
设原正方体棱长为，原表面积
新棱长为，新表面积
答：它的表面积扩大到原来的 4 倍。
（三）拼接与切割问题
正方体拼接成长方体的表面积变化
例 4：手工课上，小红把两个棱长为 3 厘米的正方体拼成一个长方体。这个拼成的长方体的表面积是多少平方厘米？
【解题思路】两个正方体拼成长方体后，表面积会减少 2 个正方形的面。可以先算出两个正方体的表面积之和，再减去减少的 2 个面的面积；也可以根据拼成后长方体的长、宽、高，直接套用长方体表面积公式计算。
【规范解答】
方法一：两个正方体表面积之和为平方厘米，减少的 2 个面的面积为平方厘米，所以拼成的长方体表面积为平方厘米。
方法二：拼成后的长方体长为厘米，宽和高仍为 3 厘米，表面积平方厘米。
答：拼成的长方体的表面积是 90 平方厘米。
长方体切割成正方体的表面积变化
例 5：有一个长方体木块，长 10 厘米，宽 8 厘米，高 6 厘米。如果把它锯成一个最大的正方体，正方体的表面积比原来长方体表面积减少多少平方厘米？
【解题思路】锯成的最大正方体的棱长为长方体最短的边，即 6 厘米。分别算出长方体和正方体的表面积，再求两者的差值。
【规范解答】
原长方体表面积
（平方厘米）
正方体表面积（平方厘米）
减少的面积为（平方厘米）
答：正方体的表面积比原来长方体表面积减少 160 平方厘米。
四、巩固练习
（一）基础题
新年快到了，小明要给一个正方体礼品盒包装彩纸，礼品盒棱长 1.2 分米。包装这个礼品盒至少需要多少平方分米的彩纸？
【分析】本题直接考查正方体表面积公式的应用，正方体 6 个面面积相同，可直接套用公式计算。
小区新修建了一个长方体形状的游泳池，长 50 米，宽 25 米，深 2 米。为了保证居民安全与卫生，需要在它的四周和底面贴瓷砖，那么贴瓷砖的面积是多少平方米？
【分析】这是求长方体 5 个面的表面积，即缺少上面的面，根据长方体表面积的计算方法，分别算出各个面的面积再求和。
（二）进阶题
要制作一个长 2 米，宽和高都是 0.5 米的长方体烟囱，至少需要多少平方米的铁皮？
【分析】长方体烟囱没有上下两个面，只需计算 4 个侧面的面积。
把三个棱长 4 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来三个正方体表面积之和减少了多少平方厘米？
【分析】三个正方体拼成长方体，表面积会减少 4 个正方形面的面积，求出这 4 个面的面积即可。
（三）拓展题
有一个长方体，它的前面和上面的面积之和是 209 平方厘米。已知它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？
【分析】根据长方体前面和上面的面积公式，得到长 ×(宽 + 高)=209，将 209 分解质因数，再结合质数的性质确定长、宽、高，最后计算长方体的表面积。
用三个长 5 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米的长方体拼成一个大长方体，怎样拼才能使拼成的大长方体的表面积最大？最大表面积是多少平方厘米？
【分析】要使拼成的大长方体表面积最大，就要把最小的面拼在一起。先确定每个小长方体各个面的面积，找出最小面，再计算拼成后的大长方体的表面积。
一个正方体木块，棱长是 8 厘米。如果在这个木块的六个面的中心位置各挖去一个棱长为 2 厘米的小正方体，这时剩下的立体图形的表面积是多少平方厘米？
【分析】在大正方体六个面中心挖去小正方体后，大正方体的表面积不仅没有减少，反而增加了 6 个小正方体 4 个侧面的面积。可先算出大正方体的表面积，再加上增加的面积，得到剩下立体图形的表面积。
参考答案
（一）基础题
正方体表面积（平方分米）
答：包装这个礼品盒至少需要 8.64 平方分米的彩纸。
贴瓷砖面积为
（平方米）
答：贴瓷砖的面积是 1550 平方米。
（二）进阶题
0.5×2×4 = 4（平方米）
答：至少需要 4 平方米的铁皮。
4×4×4 = 64（平方厘米）
答：这个长方体的表面积比原来三个正方体表面积之和减少了 64 平方厘米。
（三）拓展题
因为，假设长为 11，那么宽 + 高 = 19，把 19 写成两个质数相加，。
长方体表面积
（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是 486 平方厘米。
小长方体三个面的面积分别为：平方厘米，平方厘米，平方厘米，最小面是的面。
拼成后的大长方体长为厘米，宽 4 厘米，高 2 厘米。
表面积
（平方厘米）
答：把的面拼在一起，拼成的大长方体表面积最大，最大表面积是 196 平方厘米。
大正方体表面积为平方厘米，增加的面积为平方厘米。
剩下立体图形的表面积为平方厘米。
答：剩下的立体图形的表面积是 480 平方厘米。