人教版五年级数学下册《长方体与正方体的体积》讲义
文档属性
| 名称 | 人教版五年级数学下册《长方体与正方体的体积》讲义 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 16.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-30 11:46:39 | ||
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文档简介
五年级数学下册《长方体与正方体的体积》讲义
一、考点梳理
（一）体积的概念
★物体所占空间的大小叫做物体的体积。常用的体积单位有立方厘米（）、立方分米（）、立方米（）。棱长为 1 厘米的正方体，体积是 1 立方厘米；棱长为 1 分米的正方体，体积是 1 立方分米；棱长为 1 米的正方体，体积是 1 立方米。
（二）长方体和正方体体积公式
★长方体体积公式：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高，用字母表示为，其中为长，为宽，为高。长方体体积也可以表述为底面积 × 高，即 ，。
★正方体体积公式：正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长，用字母表示为，这里表示正方体的棱长。由于正方体底面是正方形，其底面积，所以正方体体积同样可以用底面积 × 高来计算，即。
（三）体积单位间的进率
1 立方米 = 1000 立方分米，1 立方分米 = 1000 立方厘米，1 立方米 = 1000000 立方厘米。高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率。
（四）排水法测量体积
当测量一些形状不规则的物体体积时，常用排水法。将物体浸没在盛水的容器中，水面上升的那部分水的体积，就等于物体的体积。若容器为长方体或正方体，可通过计算放入物体前后水的体积差来得到物体体积，即，其中为容器的底面积，为水面上升的高度。
二、重点题型解析
（一）长方体体积公式的应用
例 1：一个长方体水箱，从里面量长 40 厘米，宽 30 厘米，高 20 厘米。这个水箱能装多少升水？
【解题思路】本题求水箱的容积，水箱是长方体形状，容积计算方法和体积相同。利用长方体体积公式，算出体积后，再将单位由立方厘米换算为升。1 升 = 1000 立方厘米。
【解题过程】（立方厘米），24000 立方厘米 = 24000÷1000 = 24 升。
（二）正方体体积公式的应用
例 2：用棱长 1 厘米的小正方体拼成一个稍大的正方体，至少需要多少个小正方体？拼成的正方体体积是多少？
【解题思路】正方体棱长都相等，要用小正方体拼成大正方体，每条棱上至少需要 2 个小正方体。这样就能算出小正方体个数，再根据正方体体积公式算出拼成后的正方体体积。
【解题过程】每条棱上至少 2 个小正方体，那么总共需要小正方体（个）。拼成后的大正方体棱长为 2 厘米，体积（立方厘米）。
（三）体积公式的变换
例 3：一个长方体的体积是 3.6 立方米，已知它的底面积是 240 平方分米，它的高是多少米？
【解题思路】本题涉及单位换算，先将底面积的单位由平方分米换算为平方米，再根据长方体体积公式的变形算出高。
【解题过程】240 平方分米 = 240÷100 = 2.4 平方米，（米）。
（四）排水法的应用
例 4：一个底面边长为 5 分米的正方形的长方体玻璃容器，里面装有水。将一块不规则的石头浸没在水中后，水面从原来的 2 分米上升到了 2.2 分米。这块石头的体积是多少立方分米？
【解题思路】根据排水法，石头的体积等于水面上升的那部分水的体积。容器底面是正方形，可先算出容器底面积，再乘以水面上升的高度，得到石头体积。
【解题过程】容器底面积（平方分米），水面上升高度（分米），石头体积（立方分米）。
三、巩固练习
（一）基础题
一个正方体的棱长是 5 厘米，它的体积是多少立方厘米？
一个长方体的长是 8 分米，宽是 6 分米，高是 4 分米，它的体积是多少立方分米？
在一个棱长为 10 厘米的正方体容器里装满水，然后将水倒入一个长 20 厘米、宽 10 厘米的长方体容器中，求此时长方体容器中水的高度。
（二）进阶题
要制作一个无盖的长方体水槽，长 8 分米，宽 4 分米，高 3 分米，至少需要多少平方分米的铁皮？这个水槽最多能装多少升水？
把一个棱长为 6 分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？
一个长方体玻璃缸，从里面量长 40 厘米，宽 25 厘米，缸内水深 12 厘米。把一块石头浸入水中后，水面上升到 16 厘米，求这块石头的体积。
（三）拓展题
一个长方体，如果高增加 2 厘米，就变成了一个正方体。这时表面积比原来增加 56 平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？
有一个长方体容器，从里面量长 5 分米，宽 4 分米，高 6 分米，里面注有水，水深 3 分米。如果把一块棱长 2 分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？
一个底面是边长为 4 分米的正方形的长方体容器，里面装有 14.4 升水，现在把一个苹果放入水中，此时容器内水深 1.2 分米，求这个苹果的体积。
参考答案
（一）基础题
（立方厘米）
（立方分米）
正方体容器中水的体积（立方厘米），长方体容器底面积（平方厘米），水的高度（厘米）。
（二）进阶题
所需铁皮面积：（平方分米）；水槽容积：（立方分米），96 立方分米 = 96 升。
圆柱底面半径为分米，体积（立方分米）。
石头体积（立方厘米）。
（三）拓展题
正方体棱长：（厘米），原长方体高：厘米，体积（立方厘米）。
正方体铁块体积：（立方分米），水面上升高度：（分米）。
容器底面积（平方分米），升 = 立方分米，原来水的高度（分米），苹果体积（立方分米）。
一、考点梳理
（一）体积的概念
★物体所占空间的大小叫做物体的体积。常用的体积单位有立方厘米（）、立方分米（）、立方米（）。棱长为 1 厘米的正方体，体积是 1 立方厘米；棱长为 1 分米的正方体，体积是 1 立方分米；棱长为 1 米的正方体，体积是 1 立方米。
（二）长方体和正方体体积公式
★长方体体积公式：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高，用字母表示为，其中为长，为宽，为高。长方体体积也可以表述为底面积 × 高，即 ，。
★正方体体积公式：正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长，用字母表示为，这里表示正方体的棱长。由于正方体底面是正方形，其底面积，所以正方体体积同样可以用底面积 × 高来计算，即。
（三）体积单位间的进率
1 立方米 = 1000 立方分米，1 立方分米 = 1000 立方厘米，1 立方米 = 1000000 立方厘米。高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率。
（四）排水法测量体积
当测量一些形状不规则的物体体积时，常用排水法。将物体浸没在盛水的容器中，水面上升的那部分水的体积，就等于物体的体积。若容器为长方体或正方体，可通过计算放入物体前后水的体积差来得到物体体积，即，其中为容器的底面积，为水面上升的高度。
二、重点题型解析
（一）长方体体积公式的应用
例 1：一个长方体水箱，从里面量长 40 厘米，宽 30 厘米，高 20 厘米。这个水箱能装多少升水？
【解题思路】本题求水箱的容积，水箱是长方体形状，容积计算方法和体积相同。利用长方体体积公式，算出体积后，再将单位由立方厘米换算为升。1 升 = 1000 立方厘米。
【解题过程】（立方厘米），24000 立方厘米 = 24000÷1000 = 24 升。
（二）正方体体积公式的应用
例 2：用棱长 1 厘米的小正方体拼成一个稍大的正方体，至少需要多少个小正方体？拼成的正方体体积是多少？
【解题思路】正方体棱长都相等，要用小正方体拼成大正方体，每条棱上至少需要 2 个小正方体。这样就能算出小正方体个数，再根据正方体体积公式算出拼成后的正方体体积。
【解题过程】每条棱上至少 2 个小正方体，那么总共需要小正方体（个）。拼成后的大正方体棱长为 2 厘米，体积（立方厘米）。
（三）体积公式的变换
例 3：一个长方体的体积是 3.6 立方米，已知它的底面积是 240 平方分米，它的高是多少米？
【解题思路】本题涉及单位换算，先将底面积的单位由平方分米换算为平方米，再根据长方体体积公式的变形算出高。
【解题过程】240 平方分米 = 240÷100 = 2.4 平方米，（米）。
（四）排水法的应用
例 4：一个底面边长为 5 分米的正方形的长方体玻璃容器，里面装有水。将一块不规则的石头浸没在水中后，水面从原来的 2 分米上升到了 2.2 分米。这块石头的体积是多少立方分米？
【解题思路】根据排水法，石头的体积等于水面上升的那部分水的体积。容器底面是正方形，可先算出容器底面积，再乘以水面上升的高度，得到石头体积。
【解题过程】容器底面积（平方分米），水面上升高度（分米），石头体积（立方分米）。
三、巩固练习
（一）基础题
一个正方体的棱长是 5 厘米，它的体积是多少立方厘米？
一个长方体的长是 8 分米，宽是 6 分米，高是 4 分米，它的体积是多少立方分米？
在一个棱长为 10 厘米的正方体容器里装满水，然后将水倒入一个长 20 厘米、宽 10 厘米的长方体容器中，求此时长方体容器中水的高度。
（二）进阶题
要制作一个无盖的长方体水槽，长 8 分米，宽 4 分米，高 3 分米，至少需要多少平方分米的铁皮？这个水槽最多能装多少升水？
把一个棱长为 6 分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？
一个长方体玻璃缸，从里面量长 40 厘米，宽 25 厘米，缸内水深 12 厘米。把一块石头浸入水中后，水面上升到 16 厘米，求这块石头的体积。
（三）拓展题
一个长方体，如果高增加 2 厘米，就变成了一个正方体。这时表面积比原来增加 56 平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？
有一个长方体容器，从里面量长 5 分米，宽 4 分米，高 6 分米，里面注有水，水深 3 分米。如果把一块棱长 2 分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？
一个底面是边长为 4 分米的正方形的长方体容器，里面装有 14.4 升水，现在把一个苹果放入水中，此时容器内水深 1.2 分米，求这个苹果的体积。
参考答案
（一）基础题
（立方厘米）
（立方分米）
正方体容器中水的体积（立方厘米），长方体容器底面积（平方厘米），水的高度（厘米）。
（二）进阶题
所需铁皮面积：（平方分米）；水槽容积：（立方分米），96 立方分米 = 96 升。
圆柱底面半径为分米，体积（立方分米）。
石头体积（立方厘米）。
（三）拓展题
正方体棱长：（厘米），原长方体高：厘米，体积（立方厘米）。
正方体铁块体积：（立方分米），水面上升高度：（分米）。
容器底面积（平方分米），升 = 立方分米，原来水的高度（分米），苹果体积（立方分米）。