2.5.2 圆与圆的位置关系 教学设计

圆与圆的位置关系
一、教材分析
教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的，学习有着非常重要的意义.
二、学情分析
学生在本小节之前已经学习了直线的方程、圆的方程能够运用方程研究直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系。此时已掌握了一些数形结合的方法以及利用方程解决问题的思想但仍缺乏一定的逻辑推理能力和对知识方法的归纳总结、运用能力。
三、教学方法
本节课主要类比直线与圆的位置关系，利用几何画板做动态演示让学生更加清晰直观的的掌握圆与圆的几种位置关系，同时通过问题串的形式运用数形结合以及方程思想来研究圆与圆的位置关系。
四、教学支持条件
1.几何画板
2.PPT
3.电子白板
4.投影仪
五、教学目标
1. 通过观察几何画板动态演示，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养数形结合的思想。
2.利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长.
3.会用连心线长判断两圆的位置关系.
4.能解决两圆的公共弦长问题.
5.通过圆与圆的位置关系的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力
六、教学重难点
重点：求弦长问题，判断圆和圆的位置关系；
难点：判断圆和圆的位置关系．
七、教学过程
1、复习导入
平面几何中，直线与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断直线与圆之间的位置关系呢？
在解析几何中，我们如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课题，教师板书课题圆与圆的位置关系.
2、研探新知
提出问题
①初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几种？
②判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？
③通过观察几何画板上的动态图形，可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？
④通过几何画板展示的动态图形以及旁边数量的变化思考如何判断两个圆的位置关系呢？
⑤你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？
⑥若将两个圆的方程相减，你发现了什么？
⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？
活动：
教师引导学生回顾学过的知识、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流.教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法.学生观察几何画板的动态演示并思考，发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求解，对这些学生应该给予表扬.同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科.启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径.
讨论结果：①初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有五类，分别是外离、外切、相交、内切、内含.
②判断两圆的位置关系，我们可以类比直线与圆的位置关系的判定，目前我们只有初中学过的几何法，利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.
③根据几何画板所展示的动态图形，可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与两圆半径(R1，R2)的和与差之间的关系.
④判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法，即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
1°当d＞R1+R2时，圆C1与圆C2外离；
2°当d=R1+R2时，圆C1与圆C2外切；
3°当|R1－R2|＜d＜R1+R2时，圆C1与圆C2相交；
4°当d=|R1－R2|时，圆C1与圆C2内切；
5°当d＜|R1－R2|时，圆C1与圆C2内含；
判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R，r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2，即d；第三步：根据d与R，r之间的关系，判断两圆的位置关系.
教师板书：两圆的位置关系
外离 外切 相交 内切 内含
d＞R1+R2 d=R1+R2 |R1－R2|＜d＜R+R2 d=|R1－R2| d＜|R1－R2|
二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况，解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离.
教师总结比较两种方法的优缺点.
几何方法：直观，容易理解，但不能求出交点坐标.
代数方法：
1°只能判断交点，并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切，无交点时不能判断内含还是外离).
2°优点是可以求出公共点.
⑤投影展示学生画的圆
⑥若将两个圆的方程相减，得到一个一元一次方程，既直线方程，由于它过两圆的交点，所以它是相交两圆的公共弦的方程.
⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问题.由点到直线的距离公式来判断.
3、典型例题
题型一：判断两圆的位置关系
例1 已知圆C1：x2+y2+2x+8y－8=0，圆C2：x2+y2－4x－4y－2=0，判断两圆的位置关系.
活动:学生思考交流，教师引导提示，判断两圆的位置关系有两种基本的方法，要合理使用.方法一看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况，方法二利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.
解:方法一:圆C1与圆C2的方程联立得到方程组
①－②得x+2y－1=0，③
由③得y=，把上式代入①并整理得x2－2x－3=0.
方程④的判别式Δ=(－2)2－4×1×(－3)=16＞0，所以方程④有两个不等的实数根，即圆C1与圆C2相交.
方法二:把圆C1:x2+y2+2x+8y－8=0，圆C2:x2+y2－4x－4y－2=0，化为标准方程，得(x+1)2+(y+4)2=25与(x－2)2+(y－2)2=10.
圆C1的圆心是点(－1，－4)，半径长r1=5;
圆C2的圆心是点(2，2)，半径长r2=.
圆C1与圆C2的连心线的长为=3，圆C1与圆C2的半径长之和为r1+r2=5+，
半径长之差为r1－r2=5－.
而5－＜3＜5+，即r1－r2＜3＜r1+r2，
所以圆C1与圆C2相交，它们有两个公共点A、B.
点评:判断两圆的位置关系，一般情况下，先化为标准方程，利用几何法判断较为准确直观.
变式训练
判断下列两圆的位置关系，如果两圆相交，请求出公共弦的方程.
(1)(x+2)2+(y－2)2=1与(x－2)2+(y－5)2=16，
(2)x2+y2+6x－7=0与x2+y2+6y－27=0.
解:(1)根据题意，得两圆的半径分别为r1=1和r2=4，两圆的圆心距d==5.
因为d=r1+r2，所以两圆外切.
(2)将两圆的方程化为标准方程，得(x+3)2+y2=16，x2+(y+3)2=36.
故两圆的半径分别为r1=4和r2=6，
两圆的圆心距d=.
因为|r1－r2|＜d＜r1+r2，所以两圆相交.
题型二：圆的公共弦长问题
例2 已知圆C1:x2+y2+2x－6y+1=0，圆C2:x2+y2－4x+2y－11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
活动：学生审题，思考并交流，探讨解题的思路，教师及时提示引导，因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去x2项、y2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长.
解:设两圆交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A、B两点坐标满足方程组
①－②，得3x－4y+6=0.
因为A、B两点坐标都满足此方程，所以3x－4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.
易知圆C1的圆心(－1，3)，半径r=3.
又点C1到直线的距离为d==.
所以AB=2，即两圆的公共弦长为.
点评:处理圆有关的问题，利用圆的几何性质往往比较简单，要注意体会和应用.
4、课堂小结
本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法.
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