人教版五年级数学下册《公因数与最大公因数的应用》讲义
文档属性
| 名称 | 人教版五年级数学下册《公因数与最大公因数的应用》讲义 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 15.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-30 13:29:30 | ||
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文档简介
五年级数学下册《公因数与最大公因数的应用》讲义
一、考点梳理
（一）公因数与最大公因数定义
★公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。例如，8 的因数有 1、2、4、8，12 的因数有 1、2、3、4、6、12，那么 8 和 12 公有的因数 1、2、4 就是它们的公因数。
★最大公因数：公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。如 8 和 12 的最大公因数是 4。
（二）求最大公因数的方法
★列举法：分别列出两个数的因数，再找出它们的公因数，最后确定最大公因数。例如求 16 和 24 的最大公因数，16 的因数有 1、2、4、8、16，24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24，它们的公因数有 1、2、4、8，所以最大公因数是 8。
★分解质因数法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公因数。比如，16 = 2×2×2×2，24 = 2×2×2×3，公有质因数为 2、2、2，那么 16 和 24 的最大公因数就是 2×2×2 = 8。
★短除法：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。
（三）最大公因数的应用场景
在生活中，涉及将物品等分成若干相同部分，或者将大的物体分割成小的相同物体时，常常会用到最大公因数的知识。比如裁剪布料、切割木板、分配物品、搭建模型等问题。
二、重点题型解析
例 1：裁剪布料问题
有一块长 48 分米、宽 36 分米的布料，要把它剪成同样大小的正方形布料，且没有剩余，正方形布料的边长最长是多少分米？
【解题思路】
要把长方形布料剪成同样大小的正方形且没有剩余，那么正方形的边长必须是 48 和 36 的公因数。题目要求正方形布料的边长最长，就是求 48 和 36 的最大公因数。
方法一：列举法。48 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36。它们的公因数有 1、2、3、4、6、12，所以最大公因数是 12，即正方形布料的边长最长是 12 分米。
方法二：分解质因数法。48 = 2×2×2×2×3，36 = 2×2×3×3，公有质因数为 2、2、3，最大公因数为 2×2×3 = 12。
方法三：短除法。用短除法对 48 和 36 进行计算，除数依次为 2、2、3，将除数相乘 2×2×3 = 12，得出最大公因数是 12。
例 2：分配物品问题
把 42 本故事书和 30 本科技书平均分给若干个小组，使每组中故事书的本数相同，科技书的本数也相同，最多可以分给几个小组？每个小组分得故事书和科技书各多少本？
【解题思路】
要使每组中故事书和科技书的本数分别相同，那么小组数就是 42 和 30 的公因数，要求最多可以分给几个小组，就是求 42 和 30 的最大公因数。
通过短除法，用 2 和 3 依次去除 42 和 30，可得最大公因数为 2×3 = 6，即最多可以分给 6 个小组。
42÷6 = 7（本），每个小组分得故事书 7 本；30÷6 = 5（本），每个小组分得科技书 5 本 。
三、巩固练习
（一）基础题
有两根彩带，一根长 21 厘米，另一根长 28 厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不许有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？
【分析】本题考查最大公因数在切割彩带问题中的应用，需先求出 21 和 28 的最大公因数，进而得出每小段的长度和总段数。
手工课上，老师把 36 张红纸和 45 张蓝纸平均分给若干个小组，每个小组得到的红纸和蓝纸数量分别相同，最多能分给几个小组？每个小组分得红纸和蓝纸各多少张？
【分析】该题要求将两种颜色的纸平均分配，实际是求 36 和 45 的最大公因数，从而确定小组数以及每个小组分得的纸张数。
（二）进阶题
把一个长 56 厘米、宽 42 厘米的长方形铁片，剪成边长是整厘米数，且面积相等的小正方形铁片，恰好没有剩余，至少可以剪成多少块？
【分析】要使剪成的小正方形数量最少，那么小正方形的边长应最大，即求 56 和 42 的最大公因数，再计算长方形铁片能剪成的小正方形数量。
用 48 朵红花和 36 朵黄花做成花束，若每束花里红花的朵数相同，黄花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？
【分析】本题需先求出 48 和 36 的最大公因数，以确定花束的数量，再计算每束花中红花和黄花的总数。
（三）拓展题
有三根钢管，长度分别是 16 米、24 米和 36 米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不许有剩余，每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？
【分析】这道题考查多个数的最大公因数应用，通过求 16、24 和 36 的最大公因数，得到每小段的长度，进而算出总段数。
某小区要在一条长 180 米、宽 60 米的长方形绿化带四周等距离地安装路灯，要求四个角都要安装且距离尽可能大。一共需要安装多少盏路灯？
【分析】要使路灯距离尽可能大且四个角都安装，需先求出 180 和 60 的最大公因数，即相邻两盏路灯的距离，再根据长方形周长公式计算路灯数量。
参考答案
（一）基础题
21 的因数有 1、3、7、21，28 的因数有 1、2、4、7、14、28，21 和 28 的最大公因数是 7，所以每小段最长是 7 厘米。21÷7 = 3（段），28÷7 = 4（段），一共可以截成 3 + 4 = 7（段）。
36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36，45 的因数有 1、3、5、9、15、45，36 和 45 的最大公因数是 9，即最多能分给 9 个小组。36÷9 = 4（张），每个小组分得红纸 4 张；45÷9 = 5（张），每个小组分得蓝纸 5 张。
（二）进阶题
56 的因数有 1、2、4、7、8、14、28、56，42 的因数有 1、2、3、6、7、14、21、42，56 和 42 的最大公因数是 14，即小正方形边长为 14 厘米。56÷14 = 4，42÷14 = 3，至少可以剪成 4×3 = 12（块）。
48 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36，48 和 36 的最大公因数是 12，即可以做成 12 束花。48÷12 = 4（朵），36÷12 = 3（朵），每束花里最少有 4 + 3 = 7（朵）。
（三）拓展题
16 = 2×2×2×2，24 = 2×2×2×3，36 = 2×2×3×3，16、24 和 36 的最大公因数是 4，所以每小段最长是 4 米。16÷4 = 4（段），24÷4 = 6（段），36÷4 = 9（段），一共可以截成 4 + 6 + 9 = 19（段）。
180 和 60 的最大公因数是 60，即相邻两盏路灯的距离是 60 米。长方形绿化带的周长为（180 + 60）×2 = 480（米），480÷60 = 8（盏），一共需要安装 8 盏路灯。
一、考点梳理
（一）公因数与最大公因数定义
★公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。例如，8 的因数有 1、2、4、8，12 的因数有 1、2、3、4、6、12，那么 8 和 12 公有的因数 1、2、4 就是它们的公因数。
★最大公因数：公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。如 8 和 12 的最大公因数是 4。
（二）求最大公因数的方法
★列举法：分别列出两个数的因数，再找出它们的公因数，最后确定最大公因数。例如求 16 和 24 的最大公因数，16 的因数有 1、2、4、8、16，24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24，它们的公因数有 1、2、4、8，所以最大公因数是 8。
★分解质因数法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公因数。比如，16 = 2×2×2×2，24 = 2×2×2×3，公有质因数为 2、2、2，那么 16 和 24 的最大公因数就是 2×2×2 = 8。
★短除法：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。
（三）最大公因数的应用场景
在生活中，涉及将物品等分成若干相同部分，或者将大的物体分割成小的相同物体时，常常会用到最大公因数的知识。比如裁剪布料、切割木板、分配物品、搭建模型等问题。
二、重点题型解析
例 1：裁剪布料问题
有一块长 48 分米、宽 36 分米的布料，要把它剪成同样大小的正方形布料，且没有剩余，正方形布料的边长最长是多少分米？
【解题思路】
要把长方形布料剪成同样大小的正方形且没有剩余，那么正方形的边长必须是 48 和 36 的公因数。题目要求正方形布料的边长最长，就是求 48 和 36 的最大公因数。
方法一：列举法。48 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36。它们的公因数有 1、2、3、4、6、12，所以最大公因数是 12，即正方形布料的边长最长是 12 分米。
方法二：分解质因数法。48 = 2×2×2×2×3，36 = 2×2×3×3，公有质因数为 2、2、3，最大公因数为 2×2×3 = 12。
方法三：短除法。用短除法对 48 和 36 进行计算，除数依次为 2、2、3，将除数相乘 2×2×3 = 12，得出最大公因数是 12。
例 2：分配物品问题
把 42 本故事书和 30 本科技书平均分给若干个小组，使每组中故事书的本数相同，科技书的本数也相同，最多可以分给几个小组？每个小组分得故事书和科技书各多少本？
【解题思路】
要使每组中故事书和科技书的本数分别相同，那么小组数就是 42 和 30 的公因数，要求最多可以分给几个小组，就是求 42 和 30 的最大公因数。
通过短除法，用 2 和 3 依次去除 42 和 30，可得最大公因数为 2×3 = 6，即最多可以分给 6 个小组。
42÷6 = 7（本），每个小组分得故事书 7 本；30÷6 = 5（本），每个小组分得科技书 5 本 。
三、巩固练习
（一）基础题
有两根彩带，一根长 21 厘米，另一根长 28 厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不许有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？
【分析】本题考查最大公因数在切割彩带问题中的应用，需先求出 21 和 28 的最大公因数，进而得出每小段的长度和总段数。
手工课上，老师把 36 张红纸和 45 张蓝纸平均分给若干个小组，每个小组得到的红纸和蓝纸数量分别相同，最多能分给几个小组？每个小组分得红纸和蓝纸各多少张？
【分析】该题要求将两种颜色的纸平均分配，实际是求 36 和 45 的最大公因数，从而确定小组数以及每个小组分得的纸张数。
（二）进阶题
把一个长 56 厘米、宽 42 厘米的长方形铁片，剪成边长是整厘米数，且面积相等的小正方形铁片，恰好没有剩余，至少可以剪成多少块？
【分析】要使剪成的小正方形数量最少，那么小正方形的边长应最大，即求 56 和 42 的最大公因数，再计算长方形铁片能剪成的小正方形数量。
用 48 朵红花和 36 朵黄花做成花束，若每束花里红花的朵数相同，黄花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？
【分析】本题需先求出 48 和 36 的最大公因数，以确定花束的数量，再计算每束花中红花和黄花的总数。
（三）拓展题
有三根钢管，长度分别是 16 米、24 米和 36 米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不许有剩余，每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？
【分析】这道题考查多个数的最大公因数应用，通过求 16、24 和 36 的最大公因数，得到每小段的长度，进而算出总段数。
某小区要在一条长 180 米、宽 60 米的长方形绿化带四周等距离地安装路灯，要求四个角都要安装且距离尽可能大。一共需要安装多少盏路灯？
【分析】要使路灯距离尽可能大且四个角都安装，需先求出 180 和 60 的最大公因数，即相邻两盏路灯的距离，再根据长方形周长公式计算路灯数量。
参考答案
（一）基础题
21 的因数有 1、3、7、21，28 的因数有 1、2、4、7、14、28，21 和 28 的最大公因数是 7，所以每小段最长是 7 厘米。21÷7 = 3（段），28÷7 = 4（段），一共可以截成 3 + 4 = 7（段）。
36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36，45 的因数有 1、3、5、9、15、45，36 和 45 的最大公因数是 9，即最多能分给 9 个小组。36÷9 = 4（张），每个小组分得红纸 4 张；45÷9 = 5（张），每个小组分得蓝纸 5 张。
（二）进阶题
56 的因数有 1、2、4、7、8、14、28、56，42 的因数有 1、2、3、6、7、14、21、42，56 和 42 的最大公因数是 14，即小正方形边长为 14 厘米。56÷14 = 4，42÷14 = 3，至少可以剪成 4×3 = 12（块）。
48 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36，48 和 36 的最大公因数是 12，即可以做成 12 束花。48÷12 = 4（朵），36÷12 = 3（朵），每束花里最少有 4 + 3 = 7（朵）。
（三）拓展题
16 = 2×2×2×2，24 = 2×2×2×3，36 = 2×2×3×3，16、24 和 36 的最大公因数是 4，所以每小段最长是 4 米。16÷4 = 4（段），24÷4 = 6（段），36÷4 = 9（段），一共可以截成 4 + 6 + 9 = 19（段）。
180 和 60 的最大公因数是 60，即相邻两盏路灯的距离是 60 米。长方形绿化带的周长为（180 + 60）×2 = 480（米），480÷60 = 8（盏），一共需要安装 8 盏路灯。