北京市第五十七中学2024~2025学年九年级下册数学3月月考（pdf版,无答案）

57中九年级阶段性练习 2025.3.27
学校 姓名
一、选择题（共 16分，每题 2分）
1. 一个正五棱柱如右图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是
（A） （B） （C） （D）
2. 若关于 x的一元二次方程 x2 2x m 0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为
（A）m 1 （B）m 1 （C） m 1 （D）m 1
3. 实数 a在数轴上对应点的位置如图所示．若实数 b满足 a+b<0，则 b的值可以是
（A） 2 （B） 1 （C）0 （D）1
4. 如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）6
5. 投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是
1 1 1 1
（A） （B） （C） （D）
12 6 3 2
6. a b 2 2 1 2b 如果 ，那么代数式 的值是a b a b
1
（A） （B）1 （C） 2 （D）2
2
7.如图， PA,PB切 O于 A，B两点．连接 AB，连接OP交 AB于点 C，
若 AB 8，OC 2，则 PC的长为
（A） 2 5 （B） 4 5 （C）8 （D）10
8.小明近期计划阅读一本总页数不低于 300页的名著，他制定的阅读计划如下：
星期 一 二 三 四 五 六 日
页数 15 20 15 10 20 40 30
若小明按照计划从星期 x开始连续阅读，10天后剩下的页数为 y，则 y与 x的图象可能为
（A） （B）
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（C） （D）
第二部分 非选择题
二、填空题（共 16题，每题 2分）
1
9. 若代数式 有意义，则实数 x的取值范围是 ．
2 x
10. 2分解因式： ax 4a = ．
11. 如上图，正方形 ABCD，点 A在直线 l上，点 B到直线 l的距离为 3，点 D到直线 l的距离为 2，则正方形的边
长为 ．
k
12. 在平面直角坐标系 xOy中，点 A(1，y1)和点 B(3，y2 )在反比例函数 y 的图象上．若 y1 yx 2
，写出一个满足
条件的 k 的值 ．
13. 咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱．咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为 95％；从三个
月到五个月，发芽率会逐渐降到 75％；从五个月到九个月，发芽率会逐渐降到 25％．农科院记录了某批咖啡树
种子的发芽情况，结果如下表所示：
种子数量 n 10 50 150 300 500 800
发芽数量m 9 41 133 261 431 689
m
发芽率 0.9 0.82 0.887 0.87 0.862 0.861
n
据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是 （填“三个月内”“三至五个月”或“五至九
个月”）．
14.如图，矩形 ABCD中，点 P在边 AD上，PD = 2AP,连接 CP并延长，交 BA的延长线于点 E，连接 BD交 CP于点
BE
Q.则 的值为
CD
第 14题图 第 15题图
15．如图，AB为☉O的弦，C为☉O上一点，OC⊥AB于点 D. 若OA 10，AB=6，则 tan AOD = ．
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16．初三年级收到一批书籍放在图书馆，现需要把这批书籍整理到各班班级书架上，需要进行以下四个步骤：运回
书籍、擦书架、查损坏、贴书签，志愿者分为甲、乙、丙三个小组完成任务，任务要求如下：
①运回书籍只能由甲小组完成.，运回书籍完成后，才能进行其他三个步骤，这三个步骤可由任意小组完成并可
同时进行.
②一个步骤只能由一个小组完成，此步骤完成后该小组才能进行其他步骤.
③每个班级每个步骤所需时间如下表所示：
在不考虑其他因素的前提下，若由甲小组单独完成 1个班级的整理任务，则需要____分钟；若由甲、乙、
丙合作完成 4个班级的整理任务，则最少需要____分钟.
三、解答题（共 68 分，第 17 - 21题，每题 5 分，第 22 - 24 题，每 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，
第 27 - 28 题，每题 7 分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
1 1
17 ．计算： 1 3 tan 60 (π 2023）0 ．
2
x 1 2
18．解不等式 ≥ x 1，并把它的解集在数轴上表示出来．
2 3
19．下面是过直线外一点，作已知直线的平行线的两种方法. 请选择一种作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留
作图痕迹），并完成证明.
已知：如图，直线 l及直线 l外一点 P.
求作：直线 PQ，使得 PQ∥l.
作法：如图，
P
l
A B
①在直线 l上取两点 A，B，连接 AP；
②分别以点 P，点 B为圆心，AB，AP的长为半径画弧，两弧在 l上方交于点 Q；
③作直线 PQ.
所以直线 PQ就是所求作的直线.
证明：连接 BQ.
∵AP = ，AB = ，
∴四边形 APQB是平行四边形
（ ）（填推理的依据）.
∴PQ∥l （ ）
（填推理的依据）.
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20．为防治污染，保护和改善生态环境，某汽车厂生产新型汽车，汽车尾气排放量要求如下：A类物质排放量不超
过 30 mg/km ，A，B 两类物质排放量之和不超过 60 mg/km .已知该型号某汽车的 A 类比 B 两类物质排放量多
20 mg/km .经过一次技术改进，该汽车的 A类物质排放量降低了 50%，B类物质排放量降低了 80% ，A，B两类物
质排放量之和为 52 mg/km .判断这次技术改进后该汽车的 A类物质排放量是否符合要求，并说明理由.
21 1．在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象由正比例函数 y＝ x的图象平移得到，且经过点
2
（2，3）．
（1）求 k，b的值；
（2）当 x＜2时，对于 x的每一个值，函数 y=mx 2(m≠0)的值小于一次函数 y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出 m
的取值范围．
22．已知：如图，在四边形 ABCD中， AB∥DC,AC BD ，垂足为 M，过点 A作 AE AC，交CD的延长线
于点 E．
（1）求证：四边形 ABDE是平行四边形；
AC 8,sin ABD 4
（2）若 5 ，求 BD的长．
23．青少年的健康素质是全民族健康素质的基础． 某校为了解学生寒假参加体育锻炼的情况，从七、八、九年级
学生中各随机抽取了该年级学生人数的5%，调查了他们平均每周参加体育锻炼的时长，并对这些数据进行整理、
描述和分析，下面给出部分信息．
a．七、八年级学生平均每周参加体育锻炼时长数据的折线图如下：
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b．九年级学生平均每周参加体育锻炼的时长：
7，8，8，11，9，7，6，8
c．七、八、九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数、中位数、众数：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 7．1 7 6，10
八年级 7 m n
九年级 p 8 8
根据所给信息，回答下列问题：
（1）表中 m的值是___________，n的值是___________，p的值是___________；
（2） 2 2 2 2 2 2设七、八、九三个年级学生参加体育锻炼时长的方差分别是 s1 ， s2 ， s3 ，直接写出 s1 ， s2 ， s3 之间的大小
关系___________（用“<”连接）；
（3）估计全校九年级所有学生中，共有___________名学生参加体育锻炼的时长不少于 9小时．
24如图，以 BC为直径的半圆 O上有一动点 F，点 E为弧 CF的中点，连接 BE、FC相交于点 M，延长 CF到 A点，
使得 AB＝AM，连接 AB、CE．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
5
(2)若 tan∠ACB＝ ，BM＝10．求 EC的长．
12
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25．数学学习小组的同学共同探究体积为 330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表
面积与底面半径的关系．
具体研究过程如下，请补充完整：
（1）建立模型：设该容器的表面积为 S cm2，底面半径为 x cm，高为 y cm，则
330 x2 y， ①
S 2 x2 2 xy， ②
330
由①式得 y 2 ，代入②式得 x
S 660 2 x2 ． ③
x
可知，S是 x的函数，自变量 x的取值范围是 。
（2）探究函数：
根据函数解析式③，按照下表中自变量 x的值计算（精确到个位），得到了 S与 x的几组对应值：
x / cm … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 …
S / cm2 … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 …
在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）解决问题：根据图表回答，
①半径为 2.4cm的圆柱形容器比半径为 4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）；
②若容器的表面积为 300 cm2，容器底面半径约为______cm（精确到 0.1）．
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26 xOy A(x ,m) B(x0 2,n)
2
．在平面直角坐标系 中，点 0 ， 在抛物线 y x 2bx 1上.
x 3
（1）当 b=2， 0 时，比较 m与 n的大小，并说明理由；
（2 3 x 4）若对于 0 ，都有 m27. 如图，在△ABC 中，AB AC ， BAC 90 120 ，D为 BC 的中点，E是线段CD上的动点（不
与点C，D重合）．连接 AE，将线段 AE绕点A逆时针旋转 得到线段 AF ，连接 EF 交 AC于点G，过点 B作
AC的平行线交 FE的延长线于点H ．
（1）求证： ACF CBH；
（2）若M 为线段 FH 的中点，连接DM ，用等式表示线段DM 与 FG 之间的数量关系并证明．
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28．在平面直角坐标系 xOy中，⊙O的半径为 1，对于⊙O的弦 AB和⊙O外一点 C，给出如下定义：若直线 CA，
CB都是⊙O的切线，则称点 C是弦 AB的“关联点”．
（1）已知点 A（﹣1，0）．
①如图 1，若⊙O的弦 = 3，在点 1( 1， 3)，C2（﹣1，1）， 3( 1， 3)中，弦 AB的“关联点”
是 ；
②如图 2 ( 1 3，若点 2， 2 )，点 C是⊙O的弦 AB的“关联点”，求 OC的长；
（2）已知点 D（3，0），线段 EF是以点 D为圆心，以 1为半径的⊙D的直径，对于线段 EF上任意一点 S，存
在⊙O的弦 AB，使得点 S是弦 AB的“关联点”．当点 S在线段 EF上运动时，将其对应的弦 AB长度的最大值
与最小值的差记为 t，直接写出 t的取值范围．
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