2025年北京牛栏山一中高一下学期3月月考数学试卷（PDF版，含简单答案）

2025北京牛栏山一中高一 3月月考
数 学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 4分，共 40分.
1. sin 300 =（ ）
1 1 3 3
A． B． C． D．
2 2 2 2
2. 下列函数中，最小正周期为 π且是偶函数的是（ ）
π
A. y = sin x + B. y = tan x C. y = cos 2x D. y = sin 2x
4
π π
3. 将函数 f (x) = sin 2x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 4 倍（纵坐标不变），再向右平移
3 3
π
个单位长度，得到函数 g (x)的图象，则 g =（ ）
2
1 2 3
A. B. C. D. 1
2 2 2
4. 如图，在△ABC 中，点 N 是 BC 的中点，点 M 是 AN 的中点，
→ → → → →
设AB＝ a ，AC＝ b ,那么MC=（ ）
1 3 1 3 3 1 3 1
A. a + b B. a b C. a + b D. a b
4 4 4 4 4 4 4 4
5. 函数 f (x) = Asin ( x + )（其中 A 0 ， 0 ， 0 ）的图像的一部分，如图所示，则此函
数的解析式是（ ）
3
A． f (x) = 3sin x + B． f (x) = 3sin x +
4 2 4 4
3
C． f (x) = 3sin x + D． f (x) = 3sin x +
8 4 8 4
1+ cos 2x
6. 函数 f (x) = 的图像（ ）
cos x
A. 关于原点对称 B. 关于 y 轴对称 C. 关于直线 x = 对称 D. 关于点 ( ,0)对称
2
7. 已知向量 a ，b 不共线，且向量 c = a + b ，d = a + (2 1)b ，若 c 与 d 反向，则实数 的值为
（ ）
1 1 1
A. 1 B. C. 1或 D. 1或
2 2 2
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8. 已知向量 e1 ，e2 为非零向量，则“ | e1 + e2 |= | e1 | + | e2 |”是“存在非零实数 m，n，使得me1 + ne2 = 0 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9、军事上通常用密位制来度量角．狙击手为了精确命中目标，需要调整射击角度，而狙击枪上的角度单
位为密位制．在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数
字之间加一条短线，单位名称可以省去，如 1 个平角 (即π) = 30 00，1 个周角
(即2π) = 60 00．已知函数 f (x) = 2sin x (cos x 3 sin x)，将 f ( x)图象上所有点
横坐标扩大为原来的 2 倍，再将所得图象向右平移 ( 0)个单位长度后得到函
数 g (x)的图象，若 g (x)的图象关于 y 轴对称，则 的最小值用密位制可以表示为（ ）
A． 25 00 B．10 00 C．02 00 D．50 00
10.在平面直角坐标系 xoy 中，已知 A( 3,0), B(1, 2) ，动点 P 满足OP = OA+ ，其中1 2OB
1, 2 [1,2], 1 + 2 [3,4]，则所有点 P 构成的图形面积为
A． 3 B．2 3 C．3 3 D．4 3
二、填空题：本题共 5小题，每小题 5分，共 25分.
11． sin 72 cos 42 cos 72 sin 42 = _________.
12.已知平面向量a = (2,1)，b = (4, y)，且a //b ，则实数 y =______．
13．已知非零向量a，b 夹角为 45 ，且 a = 2, a b = 2，则 b 等于_________.
14．设a，b，c 是单位向量，且a b＝0，则 (a c ) (b c )的最小值为__________．
15．已知 O，M，N，P，Q 在同一平面内， OM = ON = OP = OQ = 2，且OM 与ON 的夹角为 60 ，则
MP + NQ 的最大值为_________.
三、解答题：本题共 6小题，共 85分.
16、（本小题满分 13 分）已知平面向量 a = (2, 2)，b = (x, 1) (x 0)．从下列条件①，条件②中选出
一个作为已知条件，解答下列问题：
（Ⅰ）求 x 的值；
（Ⅱ）求向量 a ，b 夹角的余弦值．
条件①： a ⊥ (a 2b)； 条件②： a + b = 26 ．
注：如果选择条件①和条件②两个条件分别解答，按第一个解答计分．
1
17、（本小题满分 13 分）已知函数 f (x) = sin x cos x cos2 x + ( 0 )且函数 f ( x)相邻两个对称轴之
2

间的距离为 ：
2
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(1)求 f ( x)的解析式及最小正周期；

(2)当 x 0, 时，对于 f (x) m 0恒成立，求m的取值范围．
2
1
18、（本小题满分 14 分）已知 tan = , 0, ，1 sin = cos 2 , , ．
3 2 2

（1）求 tan + 及sin 的值；
4
（2）求cos( ) 的值．
19、（本小题满分 15 分）如图，某公园摩天轮的半径为 40m，圆心 O 距地面的高
度为 50m，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点 P 的起始位置在距
地面最近处.
(1)已知在 t (min )时点 P 距离地面的高度为
π
f (t ) = Asin ( t + )+ h A 0, 0, .求 t = 23时，点 P 距离地面的高度；
2
(2)当离地面 (50+ 20 3)m 以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点 P 处有多少时间可以看到公园的
全貌.

20、（本小题满分 15 分）已知函数 f (x) = sin (2 x + )，（其中 0， ）的最小正周期为 ，它的
2

一个对称中心为 ,0 .
6
（1）求函数 y = f (x)的解析式；
2
（2）当 x 0, 时，方程 f (x) = 2a 3有两个不等的实根，求实数a的取值范围；
3
1
（3）若方程 f (x) = 在 (0, )上的解为 x1， x2 ，求cos (x1 x2 ) .
3
1 2 3
21.（本小题满分 15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知一列点： P (1, )， P2 (2, )1 ， P3 (3, ) ， ，
2 3 4
n
Pn (n, ) ， ，其中 n N+ ，向量 j = (0,1) .
n +1
（1）求 P1P2 j 和 P2P3 j 的值；
（2）证明：对任意的正整数m ，都有 PmPm+1 j Pm+1Pm+2 j ；
（3）若正整数 k , m, n 满足 k m n ，则下列结论中正确的有___________.（填入所有正确选项的序号）
① Pm k Pm j PmPm+k j ；② | PnP | | P P |；③ | Pn+k m m+k m k Pm | | PnPn+k | .
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