2025年北京回民学校高三下学期统练(月考)七数学试卷（教师版）（PDF版，含简单答案）

2025北京回民学校高三（下）统练七
数 学
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）设集合 I = {x || x | 3, x Z}, A = {1,2}, B = { 2, 1,2},则A （CI B）=
(A) {1} (B) {1，2} (C) {2} (D) {0，1，2}
5
（2）复数 的虚部为
2 + i
(A) -i (B) i (C) 1 (D) 1
a = 0.315（3）已知 ,b = log1.5 0.3,c =1.5
0.3
，则
(A) a b c (B) b a c (C) a c b (D) b c a
a
（4）已知（x－ ）8展开式中常数项为 1120，其中实数 a 是常数，则展开式中各项系数的和
x
是
(A) 28 (B) 38 (C)1 或 38 (D) 1 或 28
（5）等差数列{an}的前 n项和为 Sn．已知 a1 + 2a3 = 1， S4 = 0．则 Sn的最小值为
(A) 4 (C) 3 (C) 2 (D) 1
（6）在平面直角坐标系 xOy 中，角 以Ox 为始边，它的终边与以原点O 为圆心的单位圆的
2
交点为 P( , y0 )，则 sin( + ) =
3 2
2 2 5 5
（A） （B） （C） （D）
3 3 3 3
（7）已知圆 C：(x-4)2+(y-3)2=1和两点 A(-m，0)，B(m，0) （m>0），若圆 C上存点 P，使
得∠APB=90°，则 m的最大值为
（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7
（8）在△ ABC 中，“对于任意 t 1， BA tBC AC ”是“△ ABC 为直角三角形”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧
0.0025t
含量Q 呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式Q = Q0e ，其
中Q0 是臭氧的初始量， e 是自然对数的底数， e = 2.71828 .试估计（ ）年以后将会有一半
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的臭氧消失. (ln2 0.693)
(A) 267 (B) 277 (C) 287 (D) 297
（10）某次测试成绩满分为 150分，设 n名学生的得分分别为 a ,a , ,a ( a N ，1 i n1 2 n i )， bk
(1 k 150 )为 n名学生中得分至少为 k 分的人数．记M 为 n名学生的平均成绩．则正确的是
(A) b1 + b2 + + b150 (B) b1 + b2 + + bM = M = 150
n 150
(C) bM 1
+ b2 + + b150 (D) b1 + b2 + + bM 150
n 150
二．填空题（本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
2 2
（11）双曲线 = 1的离心率为2，则m = _____
3
a 1
（12）已知数列 *{a }满足 n = （ n ≥ 2， n Nn ）， Sn 为其前 n项和. 若 a5 = 4 ，则 S5 =
an 1 2
_____.
2
（13）已知函数 + 4 < 1f(x)={
2 + 2 ≥ 1
①若 f(x)在 R 上单调递减，则 a 的取值范围为 ，
②若 f(x)的值域为 R，则 a 的取值范围为 。
（14）调查显示，垃圾分类投放可以带来约 0.34 元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，
某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1 kg 积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分
类投放总量不低于100 kg ，则额外奖励 x分（ x为正整数）.月底积分会按照 0.1元/分进行自动
兑换.
①当 x =10时，若某家庭某月产生120 kg 生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换___元；
②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的 40 %，
则 x的最大值为_____.
（15）如图，在棱长为 a的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P ,Q 分别为 AC1, A1B1的中点，点T 在正
方体的表面上运动，满足 PT ⊥ BQ .
给出下列四个结论：
① 点T 可以是棱DD1的中点；
1
② 线段 PT 长度的最小值为 a；
2
③ 点T 的轨迹是矩形；
5
④ 点T 的轨迹围成的多边形的面积为 a2 .
2
第（15）题
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其中所有正确结论的序号是 ．
三．解答题（本题共 6 小题，共 85 分）
（16）（本小题 13 分）
已知函数 f (x) = Asin( x + ) (A 0, 0, 0 π) 的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条
件③ 这三个条件中选择两个作为已知．
（Ⅰ）求函数 f (x) 的解析式；
π
（Ⅱ） f (x) 在区间[0, ]上的最大值和最小值
2
π
条件①： c a = ；
2
π
条件②：b = ；
3
7π
条件③： c = ．
12
注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分．
（17）（本小题满分 15 分）
如图，在多面体 ABCDEF 中，梯形 ADEF 与平行四边形 ABCD所在平面互相垂直，
E
1
AF // DE ， DE ⊥ AD， AD ⊥ BE， AF = AD = DE =1， AB = 2 .
2
（Ⅰ）求证： BF // 平面CDE ；
（Ⅱ）求二面角 B EF D的余弦值；
F
（Ⅲ）判断线段 BE 上是否存在点Q ，使得
C
平面CDQ ⊥平面 BEF ？若存在，求 D
BQ A B
出 的值，若不存在，说明理由．
BE
（18）（本小题 13 分）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用
人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区 2000 名中小学教师中随机抽取 100 名进行了
访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分
数据如下表所示：
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假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．
（1）估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；
（2）现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了 5 名教师，求这 5 名教师中恰有 1人认为人工
智能对于教学“很有帮助”的概率；
（3）对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记 0 分，“有一些帮
助”记 2 分，“很有帮助”记 4 分．统计受访教师的得分，将这 100 名教师得分的平均值记为
0 ，其中年龄在 40 岁以下（含 40 岁）教师得分的平均值记为 1，年龄在 40 岁以上教师得
分的平均值记为 2 ，通过计算比较 0 , 1, 2 的大小关系．
（19）（本小题 14 分）
2 2 3
已知椭圆 x yE : + =1(a b 0) 的左、右顶点分别为 A， B ，且 | AB |= 4，离心率为 .
a2 b2 2
（Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程；
（Ⅱ）设直线 x = 4与 x轴交于点Q ，点 P 是直线 x = 4 上不同于点Q 的一点，直线 BP 与椭圆 E
交于点M ，直线 AM 与直线 x = 4交于点 N ，判断是否存在点 P ，使得 PAN = QMN ？若存
在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.
（20）（本小题 15 分）
已知函数 f(x)=exsinx-ax
(1)当 a=0 时，求曲线 y=f(x)在(0，f(0))处的切线方程；
3
(2)当 a≤0 时，判断 f(x)在[0， ]上的单调性，并说明理由；
4
3
(3)当 a<1 时，求证：任意 x∈[0， ]，都有 f(x)≥0。
4
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（21）（本小题 15 分）
a a a
已知集合M n = x N * x≤2n (n N,n≥ 4)，若存在数阵
1 2 n
T = 满足：
b1 b2 bn
① a1,a2 , ,an b1,b2 , ,bn = M n ；
② ak bk = k(k =1,2, ,n)．
则称集合M n 为“好集合”，并称数阵T 为M n 的一个“好数阵”．
x y z 6
（Ⅰ）已知数阵T = 是M 4 的一个“好数阵”，试写出 x, y, z,w的值；
7 w 1 2
（Ⅱ）若集合M n 为“好集合”，证明：集合M n 的“好数阵”必有偶数个；
（Ⅲ）判断M n (n = 5,6)是否为“好集合”．若是，求出满足条件 n a1,a2 , ,an 的所有“好数
阵”；若不是，说明理由．
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