2025届高考考向核心卷
数学（新高考Ⅰ卷）参考答案
1.答案：A
解析：由，得，所以，又，所以.故选A.
2.答案：A
解析：由得，所以，故选A.
3.答案：D
解析：，，且，，解得，故选D.
4.答案：C
解析：由得，（另解：也可以去分母化为，则），所以，所以
.故选C.
5.答案：B
解析：设球的半径为R，由球的表面积为可知，，所以，则该圆台的高为.圆台及其内切球的轴截面如图所示，设圆台的下底面半径为r，易知该圆台的母线长，则，即，解得，所以此圆台的体积，故选B.
6.答案：C
解析：因为，当时，，由指数函数单调性可知，在上单调递减，此时；当时，，由一次函数的单调性可知，在上单调递减，此时.因为方程有两个不相等的实数根，所以函数的图象与的图象有两个交点.因为函数是增函数，当时，得，当时，得，所以，所以实数a的取值范围为，故选C.
7.答案：D
解析：由，得.函数有两个零点，即函数的图象与直线有两个交点.作出，的图象，如图.由图象可知，，解得.故选D.
8.答案：D
解析：由为偶函数，得，则.两边取导数，得①.由的图象关于点对称，得②.得，所以，则数列中所有奇数项是公差为2的等差数列，所有偶数项是公差为2的等差数列.在中，令，得.在中，令，得.在中，令，得，所以，所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列，所以，则.故选D.
9.答案：AC
解析：因为，所以A正确；从该地7岁儿童中任选1名儿童，其身高低于的概率为，所以B错误；由，，可得C正确；从该地7岁儿童中任选2名儿童，这2名儿童身高都高于的概率为，所以D错误.故选AC.
10.答案：ACD
解析：令，可得，解得或，所以函数存在两个不同的零点，故A正确；易得的定义域为R，，令，可得或，当时，，所以在，上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，故B不正确；易得时，，时，，作出的图象如图所示.易知方程的根为和，其中.若时，，则，所以t的最大值为2，故C正确；方程有两个实根等价于的图象与的图象有两个不同的交点，结合图象可知，故D正确.故选ACD.
11.答案：ABC
解析：对于A，曲线，令，得关于y的一元三次方程，令，则，所以方程最多有两个实根，即函数最多有两个极值点，即方程最多有三个实根，因此曲线与直线最多存在3个交点，故A正确；
对于B，若曲线如题图所示，则存在，使得直线与曲线有三个交点，即存在，使得关于y的方程有三个实根.令，则.假设，则都有且等号不恒成立，即单调递增，则方程在上最多有一个实根，与题图矛盾，假设错误.故，故B正确；
对于C，当时，曲线，即为函数的图象，设，，定义域关于原点对称，且，所以是偶函数，故存在a，使得曲线是偶函数的图象，故C正确；
对于D，当时，曲线的方程为.令，得，令，则，，，由零点存在定理可知，方程至少有两个实根，则对应的y值不唯一，不符合函数的定义，故D错误.故选ABC.
12.答案：2
解析：双曲线C的渐近线方程为，即，焦点坐标为，虚轴顶点坐标为.因为焦点到渐近线的距离是虚轴顶点到渐近线的距离的2倍，所以，则，所以.
13.答案：
解析：设是的切线，切点为，则解得则，则的最小值即为两平行线与间的距离，即.
14.答案：
解析：法一：由题意知，从8张卡片中随机抽出3张的基本事件总数为.因为所有数字之和为36，所以要使3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，则3张卡片上的数字之和为18.罗列出“抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等”的基本事件情况：①“3，7，8”和“1，2，4，5，6”；②“4，6，8”和“1，2，3，5，7”；③“5，6，7”和“1，2，3，4，8”共3种情况，所以“抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等”的概率.
法二：由题意知，从8张卡片中随机抽出3张的基本事件总数为.因为所有数字之和为36，所以要使3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，则3张卡片上的数字之和为18.考虑抽出的3张卡片上的数字之和为18，则相当于从，，，，，0，1，2中选择3个数，使其和为0.若中间数为0，则有2种情况；若中间数为1，则有1种情况.所以“抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等”的概率.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以由正弦定理得，…………………………………………………………2分
所以.
由余弦定理得，………………………………………………4分
又，所以.…………………………………………………………………………6分
（2）由（1）得，，
所以，…………………………………………………………………7分
所以，当且仅当时取等号，………………10分
所以，……………………………………………12分
所以b的最小值为.…………………………………………………………………………13分
16.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题知双曲线的右焦点为，也是椭圆的右焦点，
所以.……………………………………………………………………………………2分
又因为椭圆过点，
所以，解得，，………………………………………………………4分
故椭圆的标准方程为.………………………………………………………………5分
（2）证明：设，，，
由题得，，，均不为零.
由，可设（，），
不妨设，，………………………………………………………………7分
则有①，②，…………………………………………………………9分
又A，B在椭圆上，所以③，④，……………………………………11分
将①②分别代入③④，
化简得⑤，
且⑥，………………………………………………14分
即点Q同时满足⑤⑥，
因此点Q在定直线上.……………………………………………………………15分
17.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，.
，，.
，，，，
为直角三角形，.…………………………………………………………3分
平面，平面ABCD，.
，，，平面PCD，平面PCD.
平面，.………………………………………………………………5分
，，平面PAD，平面PAD.
又平面PAD，.…………………………………………………………………7分
（2）由（1）可知AD，CD，PC两两垂直.
如图，以C为坐标原点，CP所在的直线为z轴，CD所在的直线为x轴，过点C且平行于AD的直线为y轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，.………………………………………………9分
设平面AMB的法向量为，
则即
令，则，，.……………………………………………………11分
设平面CMB的法向量为，
则即
令，则，，.……………………………………………13分
，
二面角的正弦值为.…………………………………15分
18.答案：（1）函数的单调递减区间为，无单调递增区间
（2）（ⅰ）
（ⅱ）证明见解析
解析：（1）依题意，函数的定义域为，
，
当时，在上恒成立，……………………………………………………2分
所以函数在上单调递减，
所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.…………………………………4分
（2）（ⅰ）由（1）可知，
令，，则.
因为在上恒成立，所以函数在上单调递减，
当时，由（1）可知，函数在上单调递减，
所以函数不存在极值点，不符合题意；…………………………………………………6分
当时，，
所以当时，，则，
所以函数在上单调递减.
因为，所以当时，，
所以函数不存在大于1的零点，不符合题意；…………………………………………9分
当时，，因为，，
所以存在，满足，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数存在极值点.……………………………………………………………………11分
因为，
，所以，此时，且，
即函数存在大于1的零点，此时实数m的取值范围为.……………………12分
（ⅱ）证明：依题意即
所以，即.………………………………………………………14分
因为在上恒成立，且，，即，
所以，即，………………………………………………16分
两边取对数得，
则，所以.……………………………………………………………17分
19.答案：（1）42人
（2）（i）分布列见解析，数学期望为
（ii）证明见解析，聚点A的值为
解析：（1）由已知可得，
.
又，
，………………………………………………………………3分
所以，
所以，
所以，……………………………………………………………………………5分
当时，，
所以预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有42人.…………………………………6分
（2）（i）由题知X的所有可能取值为0，1，2，
；
；
，……………………………………………………………9分
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以.…………………………………………………………10分
（ii）设经过n次挑战后，挑战权在乙、丙组的概率分别为，，
则当时，，，，
由后两个等式相加，得.①
因为，所以，，
代入①式得，…………………………………………………………………12分
即，
所以.
因为，，
所以，……………………………………………………………………………14分
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，…………………………………………15分
所以由，得，即，
所以对任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数（表示不超过x的最大整数），使得当时，，
所以数列为“聚点数列”，聚点A的值为.……………………………………………17分2025届高考考向核心卷
数学（新高考Ⅰ卷） 分值：150分 时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A.1 B. C. D.2
3.设，，若，则( )
A. B.0 C.6 D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.2
5.已知圆台的上底面半径为1，表面积为的球在圆台内，且与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.当时，函数有两个零点，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知及其导函数的定义域为R，为偶函数，的图象关于点对称，则( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知某地7岁儿童的身高X（单位：cm）服从正态分布，且，则下列说法正确的是( )
A.从该地7岁儿童中任选1名儿童，其身高不低于的概率是0.5
B.从该地7岁儿童中任选1名儿童，其身高低于的概率是0.7
C.从该地7岁儿童中任选1名儿童，其身高超过与不超过的概率相等
D.从该地7岁儿童中任选2名儿童，这2名儿童身高都高于的概率为0.18
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A.函数存在两个不同的零点
B.函数的极大值为，极小值为
C.若时，，则t的最大值为2
D.若方程有两个实根，则
11.如图，是某同学发现的一种曲线，因形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线.对于小恐龙曲线，下列说法正确的是( )
A.曲线与直线最多存在3个交点
B.若曲线如题图所示（x轴向右为正方向，y轴向上为正方向），则
C.存在a，使得曲线是偶函数的图象
D.当时，曲线中的部分可以表示为y关于x的某一函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知双曲线（，）的焦点到渐近线的距离是虚轴顶点到渐近线的距离的2倍，则双曲线C的离心率__________.
13.点M，N分别是曲线和直线上任意一点，则的最小值为___________.
14.有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8. 现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求B；
（2）若，求b的最小值.
16.（15分）已知椭圆的右焦点与双曲线的右焦点重合，且椭圆C过.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当过的动直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B时，在线段AB上取一点Q，满足，证明：Q在某定直线上.
17.（15分）如图，已知四棱锥，底面ABCD为直角梯形，，平面，，，，M为棱PD上一点，且.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
18.（17分）已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若存在正数a，b，且a为函数大于1的零点，b为函数的极值点.
（ⅰ）求实数m的取值范围；
（ⅱ）证明：.
19.（17分）高血压（也称血压升高），是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象，典型症状包括头痛、疲倦或不安、心律失常、心悸耳鸣等.最新的调查显示，中国成人高血压的患病率为，大概每三位成人中就有一位是高血压患者.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展.
（1）某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动.下表为开展活动后近5个季度社区高血压患者的血压情况统计.
季度x 1 2 3 4 5
血压明显降低（或治愈）人数y 320 270 210 150 100
若血压明显降低（或治愈）人数y与季度变量x（季度变量x依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？
（2）社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组.若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，.
（i）经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数X的分布列与数学期望；
（ii）定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（A是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，A称为数列的聚点.经过n次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点A的值.
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，.
